📄 Treść zadania
Kąt \(α\) jest ostry i \(sinα=\frac{7}{13}\). Wtedy \(tgα\) jest równy:
A
\(\frac{7}{6}\)
B
\(\frac{7\cdot13}{120}\)
C
\(\frac{7}{\sqrt{120}}\)
D
\(\frac{7}{13\sqrt{120}}\)
Krok 1. Obliczenie wartości cosα.
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:
$$cos^2α=1-sin^2α$$
$$cos^2α=1-\left(\frac{7}{13}\right)^2$$
$$cos^2α=1-\frac{49}{169}$$
$$cos^2α=\frac{120}{169}$$
$$cosα=\sqrt{\frac{120}{169}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{120}{169}}$$
$$cosα=\frac{\sqrt{120}}{13} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{120}}{13}$$
Kąt \(α\) jest ostry, więc ujemną wartość cosinusa odrzucamy.
Krok 2. Obliczenie wartości \(tgα\).
Znając wartość sinusa i cosinusa bez problemu wyliczymy wartość tangensa:
$$tgα=\frac{sinα}{cosα}$$
$$tgα=\frac{\frac{7}{13}}{\frac{\sqrt{120}}{13}}$$
$$tgα=\frac{7}{13}:\frac{\sqrt{120}}{13}$$
$$tgα=\frac{7}{13}\cdot\frac{13}{\sqrt{120}}$$
$$tgα=\frac{7}{\sqrt{120}}$$