📄 Treść zadania
Reszta z dzielenia liczby naturalnej \(x\) przez \(9\) jest równa \(7\). Reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez \(9\) jest równa:
A
\(2\)
B
\(4\)
C
\(6\)
D
\(8\)
Krok 1. Zapisanie liczby \(x\) w postaci wyrażenia algebraicznego.
Zastanówmy się co to znaczy, że po podzieleniu liczby \(x\) przez \(9\) mamy resztę równa \(7\). Przykładowo takimi liczbami mogą być \(16\), \(25\) lub też \(34\). Mielibyśmy wtedy taką sytuację:
$$16=9\cdot1+7$$
$$25=9\cdot2+7$$
$$34=9\cdot3+7$$
To oznacza, że taką liczbę \(x\) możemy zapisać jako:
$$x=9\cdot k+7 \quad (k\in N)$$
Krok 2. Obliczenie wartości liczby \(x^2\).
Teraz naszym zadaniem jest odpowiedzenie na pytanie jaką resztę otrzymamy kiedy to podzielimy \(x^2\) przez \(9\). Obliczmy zatem najpierw ile jest równe to nasze \(x^2\), a z pomocą przyjdą nam tutaj wzory skróconego mnożenia.
$$x^2=(9k+7)^2$$
$$x^2=81k^2+126k+49$$
Krok 3. Obliczenie reszty z dzielenia \(x^2\) przez \(9\).
Wiemy już ile jest równe nasze \(x^2\) i teraz musimy odpowiedzieć na pytanie jaka jest reszta z dzielenia \(81k^2+126k+49\) przez \(9\). Musimy więc zapisać tę naszą liczbę w taki sposób, by przed nawias wyłączyć dziewiątkę, a za nawiasem by mieć jakąś konkretną liczbę naturalną (która będzie resztą z takiego dzielenia). \(81\) oraz \(126\) są podzielne przez \(9\), natomiast \(49\) podzielne przez \(9\) nie jest. Z tego też względu będziemy musieli rozbić to \(49\) na np. \(45+4\). Całość wyglądać będzie następująco:
$$x^2=81k^2+126k+49$$
$$x^2=81k^2+126k+45+4$$
$$x^2=9\cdot(9k^2+14k+5)+4$$
To oznacza, że liczba \(x^2\) podzielona przez \(9\) daje wynik \(9k^2+14k+5\) i resztę równą \(4\).