📄 Treść zadania
Suma wszystkich liczb naturalnych dodatnich podzielnych przez \(5\) i mniejszych od \(400\) jest równa:
A
\(15800\)
B
\(16000\)
C
\(16040\)
D
\(31600\)
Krok 1. Ustalenie kluczowych danych na temat ciągu arytmetycznego.
Liczby podzielne przez \(5\) i mniejsze od \(400\) będą tworzyć ciąg w stylu:
$$5,10,15,20,..., 390,395$$
Powstał nam więc ciąg w którym:
$$a_{1}=5$$
$$a_{n}=395$$
$$r=5$$
Krok 2. Obliczenie ilości wyrazów ciągu arytmetycznego.
Brakuje nam jeszcze informacji dotyczącej tego ile jest wyrazów w naszym ciągu. W związku z tym:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$
$$395=5+(n-1)\cdot5$$
$$395=5+5n-5$$
$$5n=395$$
$$n=79$$
Krok 3. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów ciągu.
Teraz mamy komplet danych, więc możemy bez problemu obliczyć sumę interesujących nas wyrazów:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$S_{79}=\frac{5+395}{2}\cdot79$$
$$S_{79}=\frac{400}{2}\cdot79$$
$$S_{79}=200\cdot79$$
$$S_{79}=15800$$