Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zadanie jest dość nietypowe, więc spróbujmy zwizualizować sobie tą całą sytuację. Musimy przy okazji dobrać takie oznaczenia, żeby faktycznie odcinki \(AC\) oraz \(BC\) były przyprostokątnymi:
Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Z Twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej naszego trójkąta \(ABC\):
$$6^2+8^2=|AB|^2$$
$$36+64=|AB|^2$$
$$100=|AB|^2$$
$$|AB|=10 \quad\lor\quad |AB|=-10$$
Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|AB|=10\).
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\).
Obliczenie pola trójkąta przyda nam się za chwilę do wyznaczenia drugiej wysokości tego trójkąta. W trójkącie prostokątnym obliczenie pola powierzchni jest proste, bo przyprostokątne są podstawią i wysokością takiego trójkąta, zatem:
$$P=\frac{1}{2}ah$$
$$P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot8$$
$$P=3\cdot8$$
$$P=24$$
Krok 4. Obliczenie drugiej wysokości trójkąta.
Spójrzmy ponownie na rysunek:
Połączyliśmy sobie punkt \(C\) z punktem \(P\), tworząc odcinek \(CP\). Długość tego odcinka jest równa promieniowi okręgu, czyli wynosi \(6\). To oznacza, że trójkąt \(ACP\) jest równoramienny. Teraz plan działania jest następujący: obliczymy wysokość trójkąta \(ABC\) (czyli odcinek \(CD\)), który jest jednocześnie wysokością trójkąta \(ACP\). Znając długości ramion oraz wysokość \(CD\) obliczymy długość podstawy \(AP\), a interesujący nas odcinek \(BP\) będzie różnicą między odcinkiem \(AB\) oraz \(AP\).
Przystąpmy zatem do obliczenia długości \(CD\), czyli wysokości trójkąta \(ABC\), która idzie z wierzchołka \(C\). Wiemy, że pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(24\), wiemy że przeciwprostokątna ma długość \(10\), zatem wysokość \(CD\) ma długość:
$$P=\frac{1}{2}ah$$
$$24=\frac{1}{2}\cdot10\cdot|CD|$$
$$24=5\cdot|CD|$$
$$|CD|=4,8$$
Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(DP\).
Długość odcinka \(DP\) obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$|DP|^2+|CD|^2=|CP|^2$$
$$|DP|^2+4,8^2=6^2$$
$$|DP|^2+23,04=36$$
$$|DP|^2=12,96$$
$$|DP|=3,6 \quad\lor\quad |DP|=-3,6$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|DP|=3,6\).
Krok 6. Obliczenie długości odcinka \(AP\).
Odcinek \(DP\) jest połową długości odcinka \(AP\) (bo wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli podstawę na dwie równe części). To oznacza, że odcinek \(AP\) jest dwukrotnie większy od odcinka \(DP\), zatem:
$$|AP|=2\cdot3,6$$
$$|AP|=7,2$$
Krok 7. Obliczenie długości odcinka \(BP\).
Odcinek BP obliczymy odejmując od odcinka \(AB\) długość odcinka \(AP\), zatem:
$$|BP|=|AB|-|AP|$$
$$|BP|=10-7,2$$
$$|BP|=2,8$$