📄 Treść zadania
Proste \(l\) i \(k\) są prostopadłe i \(l{: }-2x+5y+1=0\), \(k{: }y=ax+b\). Wówczas:
A
\(a=-\frac{2}{5}\)
B
\(a=\frac{2}{5}\)
C
\(a=-\frac{5}{2}\)
D
\(a=\frac{1}{2}\)
Krok 1. Zapisanie równania prostej \(l\) w postaci kierunkowej.
Aby móc przystąpić do obliczeń musimy na samym początku przekształcić prostą \(l\) do postaci kierunkowej, czyli postaci typu \(y=ax+b\). Musimy więc przenieść igreki na lewą stronę, a po prawej dać całą resztę, zatem:
$$-2x+5y+1=0 \ ,\
5y=2x-1 \quad\bigg/:5 \ ,\
y=\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}$$
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(k\).
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Prosta \(l\) ma współczynnik kierunkowy \(a=\frac{2}{5}\), zatem prosta \(k\) musi mieć ten współczynnik równy:
$$a\cdot\frac{2}{5}=-1 \quad\bigg/\cdot\frac{5}{2} \ ,\
a=-\frac{5}{2}$$