📄 Treść zadania
Suma \(2n\) początkowych liczb naturalnych dodatnich parzystych jest równa:
A
\(S_{2n}=8n^2+4n\)
B
\(S_{2n}=4n^2+2n\)
C
\(S_{2n}=4n^2+n\)
D
\(S_{2n}=2n^2+2n\)
Zastanówmy się co tak naprawdę musimy policzyć. Musimy obliczyć sumę wyrazów, które tworzą ciąg arytmetyczny z liczb parzystych w stylu:
$$2,4,6,8,...$$
O tym ciągu możemy powiedzieć, że jego pierwszym wyrazem jest na pewno \(a_{1}=2\) oraz że różnica ciągu wynosi \(r=2\). Musimy teraz obliczyć sumę tych wszystkich wyrazów, a skoro tak, to zapiszmy wzór na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
Rozpisując \(a_{n}\) ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) otrzymamy:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Wiemy, że mamy mieć \(2n\) wyrazów (czyli musimy pod \(n\) podstawiać \(2n\)), wiemy też że różnica ciągu arytmetycznego jest równa \(r=2\) i wiemy że \(a_{1}=2\), zatem:
$$S_{2n}=\frac{2\cdot2+(2n-1)\cdot2}{2}\cdot2n$$
$$S_{2n}=\frac{4+4n-2}{2}\cdot2n$$
$$S_{2n}=\frac{4n+2}{2}\cdot2n$$
$$S_{2n}=(2n+1)\cdot2n$$
$$S_{2n}=4n^2+2n$$