📄 Treść zadania
W ciągu geometrycznym \((a_{n})\) są dane: \(a_{2}=-1, q=-2\). Suma czterech kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A
\(2,5\)
B
\(-7,5\)
C
\(-2,5\)
D
\(7,5\)
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając wartość drugiego wyrazu oraz iloraz ciągu możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu.
$$a_{2}=a_{1}\cdot q \ ,\
-1=a_{1}\cdot(-2) \ ,\
a_{1}=\frac{1}{2}$$
Krok 2. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów.
Teoretycznie możemy w podobny sposób obliczyć jeszcze wartości trzeciego i czwartego wyrazu, wtedy bez problemu obliczymy sumę czterech wyrazów, ale możemy też skorzystać z następującego wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \ ,\
S_{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-(-2)^{4}}{1-(-2)} \ ,\
S_{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-16}{3} \ ,\
S_{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{-15}{3} \ ,\
S_{4}=\frac{1}{2}\cdot(-5) \ ,\
S_{4}=-2,5$$