📄 Treść zadania
Pole prostokąta jest równe \(16\), a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem ostrym \(\alpha\), takim, że \(sin\alpha=0,2\). Długość przekątnej tego prostokąta jest równa:
A
\(4\sqrt{5}\)
B
\(4\sqrt{10}\)
C
\(80\)
D
\(160\)
W tym zadaniu możemy skorzystać z nietypowego wzoru na pole równoległoboku (czyli także prostokąta), który znajduje się w tablicach maturalnych:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BD|\cdot sin\gamma$$
gdzie \(AC\) oraz \(BD\) to przekątne prostokąta, a \(\gamma\) to kąt ostry między tymi przekątnymi.
W przypadku prostokąta przekątne mają jednakową długość (nazwijmy ją \(d\)), a kąt w treści zadania jest oznaczony jako \(\alpha\), więc moglibyśmy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot d\cdot d\cdot sin\alpha$$
Podstawiając teraz dane z treści zadania, otrzymamy:
$$16=\frac{1}{2}\cdot d\cdot d\cdot0,2$$
$$16=0,1\cdot d^2$$
$$d^2=160$$
$$d=\sqrt{160} \quad\lor\quad d=-\sqrt{160}$$
Długość przekątnej musi być dodatnia, więc zostaje nam \(d=\sqrt{160}\). Takiej odpowiedzi nie mamy w proponowanych, a to dlatego, że z tego pierwiastka da się jeszcze wyłączyć całość:
$$d=\sqrt{160}=\sqrt{16\cdot10}=4\sqrt{10}$$