📄 Treść zadania
Dla jakich wartości \(m\) równanie \(x(3x-6)(x^3+27)(x+m)=0\) z niewiadomą \(x\) ma trzy różne rozwiązania?
Krok 1. Wyznaczenie rozwiązań równania.
Korzystając z własności postaci iloczynowej możemy przyrównać poszczególne wyrażenia do zera, otrzymując:
$$x=0 \quad\lor\quad 3x-6=0 \quad\lor\quad x^3+27=0 \quad\lor\quad x+m=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad 3x=6 \quad\lor\quad x^3=-27 \quad\lor\quad x=-m$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=-m$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Chcemy, by nasze równanie miało trzy różne rozwiązania. Widzimy, że otrzymaliśmy już trzy konkretne wartości \(x=0, x=2, x=-3\), a to oznacza, że całe równanie będzie miało trzy rozwiązania tylko wtedy, gdy równanie \(x=-m\) "zdubluje się" z otrzymanym już wynikiem. Możemy więc zapisać, że równanie ma trzy rozwiązania, gdy (uwaga na znaki!):
$$m=0 \quad\lor\quad m=-2 \quad\lor\quad m=3$$
Możemy nawet zapisać, że \(m\in\{-2,0,3\}\).