Zadanie 15 Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Nowa Era 2016 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Do obliczenia sinusa będziemy potrzebowali znać długość przeciwprostokątnej, zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$3^2+(\sqrt{7})^2=c^2$$ $$9+7=c^2$$ $$c^2=16$$ $$c=4 \quad\lor\quad c=-4$$

Długość przeciwprostokątnej nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(c=4\).

Krok 2. Obliczenie wartości sinusa.
Sinus opisuje nam stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(α\) do długości przeciwprostokątnej, czyli:
$$sinα=\frac{3}{4}$$

Krok 3. Obliczenie wartości wskazanej liczby.
Naszym zadaniem jest teraz obliczenie wartości liczby \(4^{sinα}\), czyli \(4^{\frac{3}{4}}\). Korzystając z własności potęg i pierwiastków możemy zapisać, że:
$$4^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{4^3}=\sqrt[4]{64}=\sqrt[4]{16\cdot4}=2\sqrt[4]{4}=2\sqrt[4]{2^2}=2\sqrt{2}$$