Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
W zadaniu mowa o graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, a to oznacza, że w podstawie znajduje się kwadrat. Jeśli więc bok kwadratu oznaczylibyśmy sobie jako \(a\), to przekątna \(|AC|=a\sqrt{2}\).
Kluczem do rozwiązania tego zadania będzie poznanie długości \(a\), bo wtedy obliczymy pole podstawy i pola ścian bocznych.
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(|EC|\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACE\). Znamy długość \(|AE|=16\). Wiemy też, że \(|AC|=a\sqrt{2}\). Gdyby więc udało nam się jeszcze ustalić długość odcinka \(|EC|\) to długość \(a\) obliczylibyśmy z Twierdzenia Pitagorasa.
Z pomocą przyjdzie nam informacja mówiąca o tym, że \(cosα=\frac{3}{5}\).
$$cosα=\frac{|AC|}{|EC|}$$
$$\frac{3}{5}=\frac{a\sqrt{2}}{|EC|} \quad\bigg/\cdot\|EC|$$
$$\frac{3}{5}|EC|=a\sqrt{2} \quad\bigg/\cdot\frac{5}{3}$$
$$|EC|=\frac{5\sqrt{2}a}{3}$$
Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi \(a\) z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.
$$a^2+b^2=c^2$$
$$|AC|^2+|AE|^2=|EC|^2$$
$$(a\sqrt{2})^2+16^2=\left(\frac{5\sqrt{2}a}{3}\right)^2$$
$$2a^2+256=\frac{50a^2}{9} \cdot|\cdot9$$
$$18a^2+2304=50a^2$$
$$-32a^2+2304=0 \quad\bigg/:(-32)$$
$$a^2-72=0$$
Powstałe równanie możemy obliczyć metodą delty (pamiętaj, że w tym przypadku współczynnik \(b=0\)), ale wygodniej będzie zapisać to w ten sposób:
$$a^2-72=0$$
$$a^2=72$$
$$a=\sqrt{72} \quad\lor\quad a=-\sqrt{72}$$
Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy. To co jeszcze warto zrobić, to wyłączyć wspólny czynnik przed znak pierwiastka, tak więc:
$$a=\sqrt{72}=a=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}$$
Krok 4. Obliczenie pola całkowitego graniastosłupa.
Znając długość \(a=6\sqrt{2}\) możemy już bez przeszkód obliczyć pole całkowite graniastosłupa.
$$P_{c}=2P_{p}+4P_{b}$$
$$P_{c}=2\cdot a^2+4\cdot a\cdot H$$
$$P_{c}=2\cdot(6\sqrt{2})^2+4\cdot6\sqrt{2}\cdot16$$
$$P_{c}=2\cdot72+384\sqrt{2}$$
$$P_{c}=144+384\sqrt{2}$$