📄 Treść zadania
Uzasadnij, że funkcja kwadratowa \(f(x)=2x^2-3^{9}x+27^7\) nie ma miejsc zerowych.
Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych.
Potraktujmy to zadanie tak, jakby to nie było zadanie dowodowe i spróbujmy wyznaczyć miejsca zerowe naszej funkcji. Aby wyznaczyć miejsca zerowe musimy przyrównać wzór funkcji do zera, zatem musimy rozwiązać następujące równanie:
$$2x^2-3^{9}x+27^7=0$$
Równanie kwadratowe zapisane jest w postaci ogólnej, zatem możemy przystąpić do liczenia delty:
Współczynniki: \(a=2,\;b=3^9,\;c=27^7\)
$$Δ=b^2-4ac=(3^9)^2-4\cdot2\cdot27^7=3^{18}-8\cdot27^7=3^{18}-8\cdot(3^3)^7=3^{18}-8\cdot3^{21}$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanej delty.
Wyraźnie widzimy, że \(3^{18}\) jest mniejsze od \(8\cdot3^{21}\), zatem nasza delta jest ujemna. Moglibyśmy to nawet rozpisać w taki sposób:
$$3^{18}-8\cdot3^{21}=3^{18}-8\cdot3^{18}\cdot3^{3}=3^{18}\cdot(1-8\cdot3^3)=3^{18}\cdot(-215)$$
Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że gdy delta jest ujemna, to taka funkcja nie ma miejsc zerowych i właśnie to trzeba było udowodnić.