📄 Treść zadania
Punkty \(M=(-2,0)\) i \(N=(2,4)\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Wysokość tego trójkąta jest równa:
A
\(4\sqrt{2}\)
B
\(2\sqrt{2}\)
C
\(2\sqrt{6}\)
D
\(8\sqrt{3}\)
Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(MN\).
Odcinek \(MN\) jest bokiem trójkąta równobocznego, a jego długość obliczymy ze wzoru:
$$|MN|=\sqrt{(x_{N}-x_{M})^2+(y_{N}-y_{M})^2}$$
Podstawiając współrzędne punktów \(M\) oraz \(N\) otrzymamy:
$$|MN|=\sqrt{(2-(-2))^2+(4-0)^2}$$
$$|MN|=\sqrt{4^2+4^2}$$
$$|MN|=\sqrt{16+16}$$
$$|MN|=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$
Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta równobocznego.
Wiemy już, że bok trójkąta równobocznego ma długość \(a=4\sqrt{2}\). Naszym celem jest poznanie wysokości tego trójkąta. Korzystając więc ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego otrzymamy:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
$$h=\frac{4\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}$$
$$h=\frac{4\sqrt{6}}{2}$$
$$h=2\sqrt{6}$$