📄 Treść zadania
Ciągi \((a_{n})\), \((b_{n})\) oraz \((c_{n})\) są określone dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) następująco:
$$a_{n}=6n^2-n^3$$
$$
b_{n}=2n+13$$
$$
c_{n}=2^n$$
Wskaż zdanie prawdziwe.
A
Ciąg \((a_{n})\) jest arytmetyczny.
B
Ciąg \((b_{n})\) jest arytmetyczny.
C
Ciąg \((c_{n})\) jest arytmetyczny.
D
Wśród ciągów \((a_{n}), (b_{n}), (c_{n})\) nie ma ciągu arytmetycznego.
Teoretycznie już po samym wzorze powinniśmy się zorientować, że jedynie ciąg \((b_{n})\) jest arytmetyczny. Nie mniej jednak, aby nie było żadnych wątpliwości, dobrze jest sprawdzić sobie kilka początkowych wyrazów każdego ciągu. Przykładowo:
Ciąg \(a_{n}\):
$$a_{1}=6\cdot1^2-1^3=6-1=5$$
$$a_{2}=6\cdot2^2-2^3=6\cdot4-8=24-8=16$$
$$a_{3}=6\cdot3^2-3^3=6\cdot9-27=54-27=27$$
$$a_{4}=6\cdot4^2-4^3=6\cdot16-64=96-64=32$$
To nie jest ciąg arytmetyczny, bo \(a_{2}-a_{1}=11\), natomiast \(a_{4}-a_{3}=5\).
Ciąg \(b_{n}\):
$$b_{1}=2\cdot1+13=2+13=15$$
$$b_{2}=2\cdot2+13=4+13=17$$
$$b_{3}=2\cdot3+13=6+13=19$$
$$b_{4}=2\cdot4+13=8+13=21$$
Tu wyraźnie widzimy, że każdy kolejny wyraz jest o \(2\) większy od poprzedniego i że tym samym jest to ciąg arytmetyczny, w którym \(r=2\).
Ciąg \(c_{n}\):
$$c_{1}=2^1=2$$
$$c_{2}=2^2=4$$
$$c_{3}=2^3=8$$
$$c_{4}=2^4=16$$
To nie jest ciąg arytmetyczny, bo \(c_{2}-c_{1}=2\), natomiast \(c_{4}-c_{3}=8\).
Ciągiem arytmetycznym jest więc jedynie ciąg \((b_{n})\).