📄 Treść zadania
Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III.
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} \text{Oceny} & \text{6} & \text{5} & \text{4} & \text{3} & \text{2} & \text{1} \\ \hline \text{Liczba uczniów} & \text{1} & \text{2} & \text{6} & \text{5} & \text{9} & \text{2} \end{array}
$$
Oblicz średnią arytmetyczną i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen.
Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Aby obliczyć wartość średniej arytmetycznej musimy dodać do siebie wartość wszystkich zdobytych ocen i podzielić ją przez liczbę wszystkich uczniów:
$$\bar{a}=\frac{6\cdot1+5\cdot2+4\cdot6+3\cdot5+2\cdot9+1\cdot2}{1+2+6+5+9+2}=\frac{75}{25}=3$$
Krok 2. Obliczenie kwadratu odchylenia standardowego.
Kwadrat odchylenia standardowego (czyli wariancję) możemy obliczyć na dwa sposoby:
I sposób:
$$σ^2=\frac{(6-3)^2\cdot1+(5-3)^2\cdot2+(4-3)^2\cdot6+(3-3)^2\cdot5+(2-3)^2\cdot9+(1-3)^2\cdot2}{1+2+6+5+9+2}=$$
$$=\frac{3^2\cdot1+2^2\cdot2+1^2\cdot6+0^2\cdot5+(-1)^2\cdot9+(-2)^2\cdot2}{25}=$$
$$=\frac{9\cdot1+4\cdot2+1\cdot6+0\cdot5+1\cdot9+4\cdot2}{25}=$$
$$=\frac{9+8+6+0+9+8}{25}=\frac{40}{25}=1,6$$
II sposób:
$$σ^2=\frac{6^2\cdot1+5^2\cdot2+4^2\cdot6+3^2\cdot5+2^2\cdot9+1^2\cdot2}{1+2+6+5+9+2}-(\bar{a})^2=$$
$$=\frac{36\cdot1+25\cdot2+16\cdot6+9\cdot5+4\cdot9+1\cdot2}{25}-3^2=$$
$$=\frac{36+50+96+45+36+2}{25}-9=\frac{265}{25}-9=10,6-9=1,6$$
Uwaga! Nie musimy pierwiastkować otrzymanego wyniku! Wariancję po prostu oznacza się jako \(σ^2\), a nie jako \(σ\), stąd też wynik \(1,6\) jest naszym wynikiem końcowym.