📄 Treść zadania
Punkty \(A=(2,0)\) i \(B=(12,0)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \(ABC\) o przeciwprostokątnej \(AB\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej \(y=x\). Oblicz współrzędne punktu \(C\).
Krok 1. Zapisanie współrzędnych punktu \(C\).
Każdy punkt w układzie współrzędnych możemy opisać jako \(C=(x;y)\). W treści zadania mamy jednak podaną bardzo ważną informację, która mówi nam że punkt \(C\) leży na prostej \(y=x\). Możemy więc podstawić "iksa" pod drugą współrzędną punktu \(C\), dzięki czemu otrzymamy współrzędne \(C=(x;x)\). To nam bardzo uprości rozwiązanie tego zadania, bo w ten sposób pozbyliśmy się już jednej niewiadomej. Całą resztę możemy już obliczyć z Twierdzenia Pitagorasa.
Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(C\) z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.
Długość poszczególnych odcinków (np. odcinka \(AB\)) w układzie współrzędnych możemy opisać wzorem:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$
W Twierdzeniu Pitagorasa musimy każdą wartość podnieść do kwadratu, więc pierwiastek z powyższego równania zniknie nam w trakcie obliczeń. Przykładowo:
$$|AB|^2=(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2$$
Z treści zadania wynika, że przeciwprostokątną jest odcinek \(AB\), tak więc:
$$\color{orange}{|AC|^2}+\color{blue}{|BC|^2}=\color{green}{|AB|^2}$$
$$\color{orange}{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}+\color{blue}{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}=\color{green}{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$
Podstawiamy współrzędne: \(A=(2,0)\), \(B=(12,0)\) oraz \(C=(x;x)\):
$$(x-2)^2+(x-0)^2+(x-12)^2+(x-0)^2=(12-2)^2+(0-0)^2$$
$$x^2-4x+4+x^2+x^2-24x+144+x^2=100$$
$$4x^2-28x+48=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Korzystając z metody delty otrzymamy:
Współczynniki: \(a=4,\;b=-28,\;c=48\)
$$Δ=b^2-4ac=(-28)^2-4\cdot4\cdot48=784-768=16$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-28)-4}{2\cdot4}=\frac{28-4}{8}=\frac{24}{8}=3$$
$$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-28)+4}{2\cdot4}=\frac{28+4}{8}=\frac{32}{8}=4$$
Krok 4. Ustalenie współrzędnych punktu \(C\).
Nie możemy odrzucić żadnego z otrzymanych rozwiązań równania kwadratowego z trzeciego kroku, a to oznacza że będziemy mieli dwa rozwiązania tego zadania. Zgodnie z tym co sobie zapisaliśmy w pierwszym kroku - współrzędne punktu \(C\) określić możemy jako \((x;x)\), zatem:
$$C=(3;3) \quad\lor\quad C=(4;4)$$