📄 Treść zadania
Uczeń przeczytał książkę liczącą \(480\) stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o \(8\) stron więcej, to przeczytałby tę książkę o \(3\) dni wcześniej. Ile dni czytał tę książkę?
Krok 1. Zapisanie równania na podstawie danych z zadania.
Oznaczmy sobie jako \(x\) liczbę dni jakie zajęło uczniowi czytanie książki. Skoro każdego dnia czytał tyle samo stron, to dziennie czytał ich \(\frac{480}{x}\). Wiemy też, że gdyby czytał o \(8\) stron więcej (czyli gdyby czytał \(\frac{480}{x}+8\)), to czytałby o \(3\) dni krócej (czyli czas czytania wyniósłby \(x-3\)). W takim razie możemy ułożyć następujące równanie:
$$\left(\frac{480}{x}+8\right)\cdot(x-3)=480$$
Krok 2. Rozwiązanie utworzonego równania.
Możemy albo najpierw wymnożyć oba nawiasy przez siebie, a następnie pomnożyć obie strony równania przez \(x\), albo można też od razu pomnożyć obie strony przez \(x\) i dopiero potem wymnożyć przez siebie wyrazy w nawiasach. Obydwie metody są skuteczne, tak więc może zróbmy to po kolei i wymnóżmy poszczególne wyrazy. Otrzymamy wtedy:
$$\require{cancel}
480-\frac{1440}{x}+8x-24=480 \quad\bigg/\cdot x$$
$$\cancel{480x}-1440+8x^2-24x=\cancel{480x}$$
$$8x^2-24x-1440=0$$
Możemy jeszcze uprościć to równanie dzieląc wszystko przez \(8\) (nie jest to konieczne, ale dzięki temu będziemy mieć mniejsze liczby w obliczeniach), zatem otrzymamy:
$$x^2-3x-180=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Skorzystamy tutaj z metody delty, tak więc:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=-180\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-180)=9-(-720)=9+720=729$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{729}=27$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-27}{2\cdot1}=\frac{3-27}{2}=\frac{-24}{2}=-12$$
$$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+27}{2\cdot1}=\frac{3+27}{2}=\frac{30}{2}=15$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, tak więc otrzymaliśmy wynik \(x=15\), a to oznacza że uczeń czytał książkę przez \(15\) dni.