📄 Treść zadania
Zakupiono \(16\) biletów do teatru, w tym \(10\) biletów na miejsca od \(1.\) do \(10.\) w pierwszym rzędzie i \(6\) biletów na miejsca od \(11.\) do \(16.\) w szesnastym rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że \(2\) wylosowane bilety, spośród szesnastu, będą biletami na sąsiadujące miejsca?
Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Zadanie już na samym początku może sprawiać problemy (zwłaszcza jeśli chodzi o samo zrozumienie treści), dlatego zastanówmy się jakie pary biletów moglibyśmy zakupić. Każdy bilet ma numer od \(1\) do \(16\) (na razie nie patrzymy na to jakie to są rzędy). Pierwszej osobie możemy dać bilet na \(16\) różnych sposobów (bo dostanie numer od \(1\) do \(16\)). Drugiej osobie możemy dać bilet na \(15\) sposobów (bo jeden damy wcześniej innej osobie). Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwości będziemy mieć:
$$|Ω|=16\cdot15=240$$
Jeśli nie umiemy sobie wyobrazić tej sytuacji, to możemy sobie, że pierwszy bilet dostaje Jaś, a drugi dostaje Małgosia, więc mamy następujące możliwości rozmieszczenia dzieci na sali kinowej:
$$(1,2), (1,3), (1,4)... (1,16)$$
$$(2,1), (2,3), (2,4)... (2,16)$$
$$...$$
$$(16,1), (16,2), (16,3)... (16,15)$$
Otrzymaliśmy \(16\) różnych wierszy, a w każdym wierszu jest \(15\) różnych możliwości (bo wykluczają nam się zdublowane opcje typu \((1,1), (2,2)\) itd.). Łącznie jest ich więc \(16\cdot15=240\).
Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której numery biletów są sąsiadujące (czyli wtedy kiedy Jaś siedzi obok Małgosi). Wypiszmy sobie wszystkie pary, które spełniałyby warunki zadania. Zwróć uwagę, że jeśli Jaś siedzi na \(1.\) miejscu, a Małgosia na \(2.\) miejscu (czyli \((1,2)\)) to jest to zupełnie inne zdarzenie niż Jaś siedzący na \(2.\) miejscu i Małgosia siedząca na \(1.\) miejscu (zdarzenie \((2,1)\)). Zatem:
W pierwszym rzędzie sprzyjającymi zdarzeniami będą:
$$(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8), (8,9), (9,10)$$
$$(2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5), (7,6), (8,7), (9,8), (10,9)$$
W szesnastym rzędzie sprzyjającymi zdarzeniami będą:
$$(11,12), (12,13), (13,14), (14,15), (15,16)$$
$$(12,11), (13,12), (14,13), (15,14), (16,15)$$
Łącznie wszystkich zdarzeń sprzyjających mamy: \(|A|=28\).
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{28}{240}=\frac{7}{60}$$