📄 Treść zadania
Czas połowicznego rozpadu pierwiastka to okres, jaki jest potrzebny, by ze \(100\%\) pierwiastka pozostało \(50\%\) tego pierwiastka. Oznacza to, że ilość pierwiastka pozostała z każdego grama pierwiastka po \(x\) okresach rozpadu połowicznego wyraża się wzorem \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\). W przypadku izotopu jodu \(^{131}I\) czas połowicznego rozpadu jest równy \(8\) dni. Wyznacz najmniejszą liczbę dni, po upływie których pozostanie z \(1g\) \(^{131}I\) nie więcej niż \(0,125g\) tego pierwiastka.
I sposób - krok po kroku:
Skoro co \(8\) dni mamy o połowę mniej tego pierwiastka, to:
\(1g\) - tyle jest na początku
\(0,5\cdot1g=0,5g\) - tyle jest po \(8\) dniach
\(0,5\cdot0,5g=0,25g\) - tyle jest po \(16\) dniach
\(0,5\cdot0,25g=0,125g\) - tyle jest po \(24\) dniach
To oznacza, że po 24 dniach tego pierwiastka zostanie nie więcej niż \(0,125g\).
II sposób - za pomocą nierówności wykładniczej:
Przyjmijmy, że:
\(x\) - liczba okresów (każdy po \(8\) dni)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) - tyle z pierwiastka zostanie po \(x\) okresach
Nas interesuje, kiedy z pierwiastka zostanie nie więcej niż \(0,125g\) (czyli \(\frac{1}{8}g\)), zatem musimy ułożyć i rozwiązać następującą nierówność:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^x\le0,125 \ ,\
\left(\frac{1}{2}\right)^x\le\frac{1}{8} \ ,\
\left(\frac{1}{2}\right)^x\le\left(\frac{1}{2}\right)^3$$
Opuszczamy podstawę potęgi, ale przy okazji musimy zmienić jej znak (bo podstawa jest ułamkiem zwykłym). Otrzymamy zatem: \(x\ge3\).
Taki wynik oznacza, że potrzeba minimum trzech okresów, aby zostało nie więcej niż \(0,125g\) pierwiastka. Skoro każdy okres to \(8\) dni, to wyszło nam, że musi upłynąć przynajmniej \(3\cdot8=24\) dni.