📄 Treść zadania
Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\), w którym \(a_{1}=-\sqrt{2}\), \(a_{2}=2\), \(a_{3}=-2\sqrt{2}\). Dziesiąty wyraz tego ciągu, czyli \(a_{10}\), jest równy:
A
\(32\)
B
\(-32\)
C
\(16\sqrt{2}\)
D
\(-16\sqrt{2}\)
Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Aby móc obliczyć wartość dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego (w tym także dziesiątego) potrzebujemy znać wartość pierwszego wyrazu oraz iloraz ciągu. Brakuje nam tylko ilorazu, zatem obliczmy go w następujący sposób:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{2}{-\sqrt{2}}=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$$
Krok 2. Obliczenie wartości dziesiątego wyrazu ciągu.
Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego, a skoro interesuje nas poznanie wartości dziesiątego wyrazu to podstawimy do niego \(n=10\):
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$
$$a_{10}=a_{1}\cdot q^{10-1}$$
$$a_{10}=-\sqrt{2}\cdot (-\sqrt{2})^{9}$$
$$a_{10}=(-\sqrt{2})^{1+9}$$
$$a_{10}=(-\sqrt{2})^{10}$$
Aby pozbyć się minusa i otrzymać dokładny wynik tego potęgowania to najprościej jest chyba zapisać to w następującej formie:
$$a_{10}=((-\sqrt{2})^{2})^{5}$$
$$a_{10}=2^{5}$$
$$a_{10}=32$$