📄 Treść zadania
Kąt \(α\) jest ostry oraz \(\frac{4}{sin^2α}+\frac{4}{cos^2α}=25\). Oblicz wartość wyrażenia \(sinα\cdot cosα\).
Krok 1. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika i dodanie do siebie tych dwóch wyrażeń.
Aby dodać do siebie te dwa ułamki musimy je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika. Zrobimy to w następujący sposób:
$$\frac{4}{sin^2α}+\frac{4}{cos^2α}=25$$
$$\frac{4\cdot cos^2α}{sin^2α\cdot cos^2α}+\frac{4\cdot sin^2α}{cos^2α\cdot sin^2α}=25$$
$$\frac{4\cdot cos^2α+4\cdot sin^2α}{cos^2α\cdot sin^2α}=25$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości wyrażenia \(sinα\cdot cosα\).
Spróbujmy z licznika wyłączyć czwórkę przed nawias, dzięki czemu w nawiasie otrzymamy jedynkę trygonometryczną. W mianowniku za to warto wyłączyć przed nawias potęgowanie, co sprawi że otrzymamy w nawiasie dokładnie to wyrażenie, którego wartości poszukujemy. Zatem:
$$\frac{4\cdot(cos^2α+sin^2α)}{(cosα\cdot sinα)^2}=25$$
$$\frac{4\cdot1}{(cosα\cdot sinα)^2}=25$$
$$4=25\cdot(cosα\cdot sinα)^2$$
$$(cosα\cdot sinα)^2=\frac{4}{25}$$
$$cosα\cdot sinα=\sqrt{\frac{4}{25}} \quad\lor\quad cosα\cdot sinα=-\sqrt{\frac{4}{25}}$$
$$cosα\cdot sinα=\frac{2}{5} \quad\lor\quad cosα\cdot sinα=-\frac{2}{5}$$
Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry, to ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo dla kątów ostrych sinus i cosinus przyjmują wartości dodatnie. Zatem jedynym prawidłowym rozwiązaniem będzie \(cosα\cdot sinα=\frac{2}{5}\).