📄 Treść zadania
Równanie \(\frac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^2}=0\) ma dokładnie:
A
jedno rozwiązanie: \(x=2\)
B
jedno rozwiązanie: \(x=-2\)
C
dwa rozwiązania: \(x=2\), \(x=-4\)
D
dwa rozwiązania: \(x=-2\), \(x=4\)
Krok 1. Wypisanie założeń do równania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$(x-4)^2\neq0$$
$$x\neq4$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Po zapisaniu założeń możemy przystąpić do rozwiązywania, zaczynając od wymnożenia obu stron przez wartość w mianowniku:
$$\frac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^2}=0 \quad\bigg/\cdot(x-4)^2$$
$$(x-2)(x+4)=0$$
Aby to równanie było równe \(0\), to albo pierwszy nawias, albo drugi, muszą dać wartość równą \(0\). W związku z tym:
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+4=0$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=-4$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
To bardzo ważny krok, bowiem musimy jeszcze zweryfikować, czy otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniami. W naszym przypadku żadne z rozwiązań nie wyklucza się z założeniami, zatem możemy stwierdzić, że to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=2\) oraz \(x=-4\).