📄 Treść zadania
Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy \(32\), a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę \(2\). Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy \(6\), to otrzymamy liczbę \(\frac{8}{17}\). Wyznacz ten ułamek.
Krok 1. Stworzenie odpowiedniego układu równań.
Jeżeli szukany ułamek zapiszemy jako \(\frac{x}{y}\) to na podstawie danych z treści zadania stworzymy następujący układ równań:
\begin{cases} \frac{x+32}{y}=2 \\ \frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17} \end{cases}
Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej jest ten układ równań rozwiązać metodą podstawiania. W tym celu musimy z pierwszego równania wyznaczyć np. iksa:
\begin{cases} \frac{x+32}{y}=2 \quad\bigg/\cdot y \\ \frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17} \end{cases}
\begin{cases} x+32=2y \quad\bigg/-32 \\ \frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17} \end{cases}
\begin{cases} x=2y-32 \\ \frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17} \end{cases}
Teraz wyznaczoną z pierwszego równania wartość \(x=2y-32\) podstawiamy do drugiego równania, otrzymując:
$$\frac{2y-32-6}{y-6}=\frac{8}{17}$$
$$\frac{2y-38}{y-6}=\frac{8}{17}$$
Mnożymy obie strony na krzyż:
$$17\cdot(2y-38)=8\cdot(y-6)$$
$$34y-646=8y-48$$
$$26y=598$$
$$y=23$$
Podstawiając \(y=23\) do jednego z dwóch równań zapisanych w pierwszym kroku obliczymy wartość \(x\):
$$\frac{x+32}{y}=2$$
$$\frac{x+32}{23}=2$$
$$x+32=46$$
$$x=14$$
Poszukiwanym ułamkiem jest więc \(\frac{14}{23}\).