Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego i wprowadzenie oznaczeń.
Spójrzmy na trójkąt \(DEC\). Jest on na pewno równoramienny, co wynika bezpośrednio z treści zadania. Jeśli więc oznaczymy sobie \(|\sphericalangle CDE|=α\), to także \(|\sphericalangle DEC|=α\)
Z własności kątów wierzchołkowych wynika, że w takim razie także \(|\sphericalangle BEF|=α\).
Dodatkowo oznaczmy sobie miarę kąta \(\sphericalangle EBF=β\).
Krok 2. Wyznaczenie wartości kątów \(ACB\), \(ABC\), \(BAC\) oraz \(AFD\).
Korzystając z wiedzy, że w każdym z trójkątów suma miar jest równa \(180°\) możemy zapisać, że:
\(|\sphericalangle ACB|=180°-2α\)
\(|\sphericalangle ABC|=180°-β \text{ (kąty przyległe)}\)
\(|\sphericalangle BAC|=180°-|\sphericalangle ACB|-|\sphericalangle ABC|=\)
\(=180°-(180°-2α)-(180°-β)=\)
\(=180°-180°+2α-180°+β=-180°+2α+β\)
\(|\sphericalangle AFD|=180°-α-β\)
Krok 3. Udowodnienie zależności podanej w treści zadania.
W drugim kroku obliczyliśmy sobie wartości każdego z potrzebnych kątów, zatem podstawmy te dane do równania z treści zadania i sprawdźmy, czy jest ono rzeczywiście prawdziwe.
$$|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle ABC|-2\cdot|\sphericalangle AFD|$$
$$-180°+2α+β=180°-β-2\cdot(180°-α-β)$$
$$-180°+2α+β=180°-β-(360°-2α-2β)$$
$$-180°+2α+β=180°-β-360°+2α+2β$$
$$-180°+2α+β=-180°+2α+β$$
$$L=P$$
Równość jest prawdziwa, co kończy nasz dowód.
