📄 Treść zadania
Punkt \(P=(-1,0)\) leży na okręgu o promieniu \(3\). Równanie tego okręgu może mieć postać:
A
\((x+1)^2+y^2=9\)
B
\(x^2+(y-\sqrt{2})^2=3\)
C
\((x+1)^2+(y+3)^2=9\)
D
\((x+1)^2+y^2=3\)
Krok 1. Zapisanie ogólnego wzoru na równanie okręgu i podstawienie poprawnych danych z treści zadania.
Równanie okręgu o środku \(S=(a;b)\) oraz promieniu równym \(r\) przyjmuje postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
I tu jest pierwsza pułapka, bo odruchowo wiele osób chce podstawić do tego równania współrzędne punktu \(P\), przez co otrzymamy równanie zawarte w pierwszej odpowiedzi. Wszystko byłoby w porządku, gdyby punkt \(P\) był środkiem okręgu, ale nie jest. Zawsze wczytujmy się uważnie w treść zadania!
To co nam na razie pasuje do tego równania to długość promienia, która jest równa \(r=3\). Zatem to równanie na pewno przyjmuje postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=3^2$$
$$(x-a)^2+(y-b)^2=9$$
To oznacza, że rozpatrujemy już tylko dwie możliwości: \(A\) oraz \(C\).
Krok 2. Sprawdzenie, które równanie zawiera punkt \(P=(-1;0)\).
Pod równania z odpowiedzi \(A\) i \(C\) podstawiamy współrzędne punktu \(P\) i sprawdzamy, kiedy równość jest poprawna.
Odp. A.:
$$(x+1)^2+y^2=9$$
$$(-1+1)^2+0^2=9$$
$$0^2+0^2=9$$
$$0=9$$
$$L\neq P$$
Odp. C.:
$$(x+1)^2+(y+3)^2=9$$
$$(-1+1)^2+(0+3)^2=9$$
$$0^2+3^2=9$$
$$0+9=9$$
$$9=9$$
$$L=P$$
To oznacza, że prawidłowe jest równanie z trzeciej odpowiedzi.