📄 Treść zadania
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(90\). Wtedy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:
A
\(300\)
B
\(300\sqrt{3}\)
C
\(300+50\sqrt{3}\)
D
\(300+25\sqrt{3}\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi graniastosłupa.
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym mamy \(9\) krawędzi. Skąd to wiemy? Możemy to albo sobie wyobrazić (trzy krawędzie w podstawie dolnej, trzy krawędzie w podstawie górnej i trzy krawędzie boczne), albo możemy skorzystać ze wzoru na liczbę krawędzi w graniastosłupach. Graniastosłup posiadającego w swojej podstawie \(n\)-kąt ma liczbę krawędzi równą \(3n\). Czyli w naszym przypadku skoro \(n=3\), to liczba krawędzi będzie równa \(3\cdot3=9\).
Skoro suma wszystkich krawędzi jest równa \(90\), a takich krawędzi mamy \(9\), to każda z nich ma długość:
$$a=90:9$$
$$a=10$$
Krok 2. Obliczenie powierzchni podstawy dolnej i górnej.
W podstawie dolnej i górnej znajduje się trójkąt równoboczny o boku \(a=10\). Pole każdej z tych podstaw będzie więc równe:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
$$P_{p}=\frac{10^2\sqrt{3}}{4}$$
$$P_{p}=\frac{100\sqrt{3}}{4}$$
$$P_{p}=25\sqrt{3}$$
Krok 3. Obliczenie powierzchni ściany bocznej.
W ścianie bocznej znajdzie się kwadrat o boku \(a=10\), zatem:
$$P_{b}=a^2$$
$$P_{b}=10^2$$
$$P_{b}=100$$
Krok 4. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Mamy dwie podstawy (dolna oraz górna) oraz trzy ściany boczne, zatem pole powierzchni całkowitej będzie równe:
$$P_{c}=2P_{p}+3P_{b}$$
$$P_{c}=2\cdot25\sqrt{3}+3\cdot100$$
$$P_{c}=300+50\sqrt{3}$$