Zadanie 10 Matura – Matematyka (Poziom podstawowy) 2007 – arkusz z rozwiązaniami

1) Przekątne rombu. W rombie o boku 8 i kątach ostrych \(60^\circ\) przekątna \(BD\) (łącząca wierzchołki kątów rozwartych) leży naprzeciw kąta \(60^\circ\); trójkąt \(ABD\) ma \(|AB|=|AD|=8\) i kąt \(60^\circ\) między nimi, więc jest równoboczny:

\(|BD|=8\).

Przekątne rombu są prostopadłe i połowią się, więc

\(|AC|=2\sqrt{8^2-4^2}=2\sqrt{48}=8\sqrt3\).

2) Wysokość graniastosłupa. Rzutem przekątnej \(CE\) na płaszczyznę podstawy jest przekątna \(CA\), więc kąt \(\sphericalangle ECA=60^\circ\) i

\(H=|AE|=|AC|\cdot\mathrm{tg}\,60^\circ=8\sqrt3\cdot\sqrt3=24\) cm.

3) Pole podstawy.

\(P_p=a^2\sin60^\circ=64\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=32\sqrt3\ \text{cm}^2\).

4) Objętość.

\(V=P_p\cdot H=32\sqrt3\cdot24=768\sqrt3\approx1330\ \text{cm}^3\).