Zadanie 34 Matura poprawkowa z matematyki (poziom podstawowy) - Sierpień 2010 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
\(v\) - prędkość kolarza (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas pokonywania trasy (w godzinach)
\(s=60\) - długość pokonanej trasy (w kilometrach)
\(v+1\) - zakładana teoretyczna prędkość kolarza (w \(\frac{km}{h}\))
\(t-\frac{1}{10}\) - zakładany teoretyczny czas jazdy (w godzinach)

Dlaczego teoretyczny czas jazdy wyniósł \(t-\frac{1}{10}\)? Mamy informację, że kolarz przejechałby trasę krócej o \(6\) minut. Niestety minutami nie możemy za bardzo operować, bo później posługujemy się jednostką prędkości \(\frac{km}{h}\), dlatego też musimy zamienić minuty na godziny:
$$6\text{ min. }=\frac{6}{60}\text{ godz. }=\frac{1}{10}\text{ godz. }$$

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Do ułożenia układu równań użyjemy wzoru na prędkość:
$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow s=vt$$

Pierwsze równanie będzie dotyczyło pierwszego przejazdu, drugie będzie związane z tym "teoretycznym" przejazdem:
\begin{cases} 60=vt \\ 60=(v+1)\cdot(t-\frac{1}{10}) \end{cases}

Podstawiając z pierwszego równania \(t=\frac{60}{v}\) do drugiego równania otrzymamy:
$$\require{cancel}
60=(v+1)\cdot\left(\frac{60}{v}-\frac{1}{10}\right)$$ $$\cancel{60}=\cancel{60}-\frac{1}{10}v+\frac{60}{v}-\frac{1}{10}$$ $$-\frac{1}{10}v+\frac{60}{v}-\frac{1}{10}=0 \quad\bigg/\cdot v$$ $$-\frac{1}{10}v^2-\frac{1}{10}v+60=0 \quad\bigg/\cdot10$$ $$-v^2-v+600=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Skorzystamy tutaj z metody delty:
Współczynniki: \(a=-1,\;b=-1,\;c=600\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot(-1)\cdot600=1-(-2400)=1+2400=2401$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{2401}=49$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-49}{2\cdot(-1)}=\frac{1-49}{-2}=\frac{-48}{-2}=24$$ $$v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+49}{2\cdot(-1)}=\frac{1+49}{-2}=\frac{50}{-2}=-25$$

Z racji tego iż prędkość ujemną należy oczywiście odrzucić, to prawidłowym rozwiązaniem jest \(v=24\frac{km}{h}\).