Zadanie 38 Informator maturalny CKE 2023 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Wyznaczenie wartości \(cos\alpha\).
Chcielibyśmy na pewno skorzystać z twierdzenia sinusów, ale nie znamy miary żadnego z kątów, przez co nie mamy dobrego punktu zaczepienia. Możemy jednak poznać miarę takiego kąta, korzystając z twierdzenia cosinusów. Jeżeli oznaczymy sobie kąt przy wierzchołku \(A\) jako \(\alpha\), to zgodnie z twierdzeniem cosinusów będziemy mogli zapisać, że:
$$|BC|^2=|AC|^2+|AB|^2-2\cdot|AC|\cdot|AB|\cdot cos\alpha$$

Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$5^2=6^2+4^2-2\cdot6\cdot4\cdot cos\alpha$$ $$25=36+16-48\cdot cos\alpha$$ $$25=52-48\cdot cos\alpha$$ $$-27=-48\cdot cos\alpha$$ $$cos\alpha=\frac{27}{48}=\frac{9}{16}$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości \(sin\alpha\).
Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy teraz zapisać, że:
$$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1$$ $$sin^2\alpha+\left(\frac{9}{16}\right)^2=1$$ $$sin^2\alpha+\frac{81}{256}=1$$ $$sin^2\alpha=\frac{175}{256}$$ $$sin\alpha=\sqrt{\frac{175}{256}} \quad\lor\quad sin\alpha=-\sqrt{\frac{175}{256}}$$

Nasz kąt \(\alpha\) jest kątem ostrym, a dla takich kątów sinus przyjmuje jedynie dodatnie wartości. Stąd też zostaje nam jedynie \(sin\alpha=\sqrt{\frac{175}{256}}\), co możemy jeszcze rozpisać jako:
$$sin\alpha=\sqrt{\frac{175}{256}}=\frac{\sqrt{25\cdot7}}{16}=\frac{5\sqrt{7}}{16}$$

Krok 3. Obliczenie długości promienia \(R\).
Teraz możemy przystąpić do działania, które planowaliśmy od samego początku, czyli do wykorzystania twierdzenia sinusów. Możemy zapisać, że:
$$\frac{|BC|}{sin\alpha}=2R$$ $$\frac{5}{\frac{5\sqrt{7}}{16}}=2R$$ $$2R=5\cdot\frac{16}{5\sqrt{7}}$$ $$2R=\frac{16}{\sqrt{7}}$$ $$R=\frac{8}{\sqrt{7}}$$ $$R=\frac{8\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}$$ $$R=\frac{8\sqrt{7}}{7}$$