📄 Treść zadania
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3x^2+bx-5\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Współczynnik \(b\) jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera.
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Funkcja \(f\):
A. ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe,
B. ma jedno rzeczywiste miejsce zerowe,
C. nie ma rzeczywistych miejsc zerowych,
ponieważ
1. \(b^2+60\gt0\)
2. \(b^2+60=0\)
3. \(b^2+60\lt0\)
O tym, ile miejsc zerowych ma dana funkcja, decyduje tak zwana delta, którą obliczamy rozwiązując równania kwadratowe. Wypiszmy zatem współczynniki funkcji \(f(x)=3x^2+bx-5\) i obliczmy deltę:
Współczynniki: \(a=3,\;b=b,\;c=-5\)
$$Δ=b^2-4ac=b^2-4\cdot3\cdot(-5)=b^2-(-60)=b^2+60$$
Z treści zadania wynika, że \(b\) jest liczbą mniejszą od zera. Taka liczba, podniesiona do kwadratu, daje wynik dodatni. W związku z tym cała delta zapisana jako \(b^2+60\) jest na pewno dodatnia. Dodatnia delta oznacza, że mamy dwa miejsca zerowe. Tak więc ta funkcja ma dwa miejsca zerowe, ponieważ \(b^2+60\gt0\).