Zadanie 12 Informator maturalny CKE 2023 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Wartości mianowników muszą być różne od zera, zatem \(x-1\neq0\) oraz \(x+1\neq0\). Z pierwszego równania otrzymamy \(x\neq1\), a z drugiego \(x\neq-1\). Pierwsze zdanie jest więc nieprawdą, bo wynika z niego, że moglibyśmy mieć \(x=-1\).

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Naszym celem jest uproszczenie podanego wyrażenia. Jak dodać do siebie dwa ułamki, które znajdują się w nawiasach? Musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu licznik oraz mianownik pierwszego ułamka musimy przemnożyć przez \(x+1\), a licznik oraz mianownik drugiego ułamka przez \(x-1\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right)=$$ $$=\frac{1}{2}\left(\frac{(x+1)\cdot(x+1)}{(x-1)\cdot(x+1)}-\frac{(x-1)\cdot(x-1)}{(x+1)\cdot(x+1)}\right)=$$ $$=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}-\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}\right)=$$ $$=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1-(x^2-2x+1)}{x^2-1}\right)=$$ $$=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1-x^2+2x-1}{x^2-1}\right)=$$ $$=\frac{1}{2}\left(\frac{4x}{x^2-1}\right)=$$ $$=\frac{2x}{x^2-1}$$

Zdanie jest więc prawdą.