Sposób 1 — uzupełnienie do kwadratu. Zauważamy, że $(x+1)^2=x^2+2x+1$, więc:
$$x^2+2x+5=\left(x^2+2x+1\right)+4=(x+1)^2+4$$
Szacowanie. Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny:
$$(x+1)^2\ge0 \quad\Rightarrow\quad (x+1)^2+4\ge4>0$$
Lewa strona jest zawsze dodatnia, więc nigdy nie może się zerować. $\qquad ∎$
Sposób 2 — wyróżnik. Dla $a=1$, $b=2$, $c=5$:
$$\Delta=b^2-4ac=4-20=-16\lt 0$$
Ujemny wyróżnik oznacza brak pierwiastków rzeczywistych.
Sprawdzenie: pierwszy sposób daje więcej informacji — mówi, że najmniejsza wartość wyrażenia wynosi $4$ i jest osiągana dla $x=-1$. Podstawiając: $1-2+5=4$ ✔