📄 Treść zadania
Obwód pewnego trójkąta prostokątnego wynosi \(9+3\sqrt{5}\). Oznacza to, że przyprostokątne tego trójkąta mogą mieć długość:
A
\(4\) i \(5\)
B
\(3\) i \(6\)
C
\(2\sqrt{5}\) i \(\sqrt{5}\)
D
\(5\) i \(3\sqrt{5}\)
Aby poznać rozwiązanie tego zadania, musimy obliczyć długości przeciwprostokątnych każdego z proponowanych trójkątów. W każdej z odpowiedzi mamy podaną parę długości przyprostokątnych, zatem przeciwprostokątną obliczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
Odp. A.
$$c^2=4^2+5^2$$
$$c^2=16+25$$
$$c^2=41$$
$$c=\sqrt{41} \quad\lor\quad c=-\sqrt{41}$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(c=\sqrt{41}\). Od razu też widzimy, że ta odpowiedź nam nie pasuje, bo otrzymaliśmy obwód równy \(4+5+\sqrt{41}=9+\sqrt{41}\).
Odp. B.
$$c^2=3^2+6^2$$
$$c^2=9+36$$
$$c^2=45$$
$$c=\sqrt{45} \quad\lor\quad c=-\sqrt{45}$$
Ujemną długość odrzucamy, zostaje nam więc \(c=\sqrt{45}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(c=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}\). Ta odpowiedź nam pasuje, bo wtedy faktycznie obwód jest równy \(3+6+3\sqrt{5}=9+3\sqrt{5}\).
Odp. C.
$$c^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2$$
$$c^2=4\cdot5+5$$
$$c^2=20+5$$
$$c^2=25$$
$$c=5 \quad\lor\quad c=-5$$
Ujemną długość odrzucamy, zostaje nam więc \(c=5\). Ta odpowiedź też nam nie pasuje, bo obwód trójkąta wynosi tutaj \(2\sqrt{5}+\sqrt{5}+5=5+3\sqrt{5}\)
Odp. D.
$$c^2=5^2+(3\sqrt{5})^2$$
$$c^2=25+9\cdot5$$
$$c^2=25+45$$
$$c^2=70$$
$$c=\sqrt{70} \quad\lor\quad c=-\sqrt{70}$$
Ujemną długość odrzucamy, zostaje nam więc \(c=\sqrt{70}\). Ta odpowiedź też nam nie pasuje, ponieważ obwód tego trójkąta wynosi \(5+3\sqrt{5}+\sqrt{70}\).
To oznacza, że prawidłowa jest odpowiedź B.