📄 Treść zadania
Dana jest liczba \(4^6\cdot5^8\).
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Dana liczba jest \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}\) niż liczba \(10^8\). Wartość tej liczby w zapisie dziesiętnym ma na końcu \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}\) zer.
A
mniejsza
B
większa
C
\(6\)
D
\(8\)
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Aby ocenić, która liczba jest większa, musimy doprowadzić do sytuacji, w której będziemy mieć jednakowe podstawy potęg lub jednakowe wykładniki. Powinniśmy zauważyć, że \(4^6\cdot5^8=(2^2)^6\cdot5^8=2^{12}\cdot5^8\), natomiast \(10^8=2^8\cdot5^8\).
Rozpisując to w ten sposób widzimy bardzo wyraźnie, że obydwa zapisy mają wspólny czynnik \(5^8\) i różny wykładnik potęgi przy podstawie równej \(2\). To oznacza, że wartość \(4^6\cdot5^8\) jest większa niż \(10^8\), bo \(2^{12}\gt2^8\).
Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Ustaliliśmy już, że \(4^6\cdot5^8=2^{12}\cdot5^8\). Skoro tak, to:
$$2^{12}\cdot5^8=2^4\cdot2^8\cdot5^8=2^4\cdot10^8=16\cdot10^8$$
Skoro mamy w zapisie \(16\) pomnożone przez wartość \(10^8\), to znaczy, że nasza liczba będzie mieć \(8\) zer na końcu. Mówiąc bardzo obrazowo, tą liczbą jest \(1\;600\;000\;000\).