Aby poznać rozwiązanie tego zadania, musimy obliczyć długości przeciwprostokątnych każdego z proponowanych trójkątów. W każdej z odpowiedzi mamy podaną parę długości przyprostokątnych, zatem przeciwprostokątną obliczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:

Odp. A.
$$c^2=4^2+5^2 \           ,\
c^2=16+25 \           ,\
c^2=41 \           ,\
c=\sqrt{41} \quad\lor\quad c=-\sqrt{41}$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(c=\sqrt{41}\). Od razu też widzimy, że ta odpowiedź nam nie pasuje, bo otrzymaliśmy obwód równy \(4+5+\sqrt{41}=9+\sqrt{41}\).

Odp. B.
$$c^2=3^2+6^2 \           ,\
c^2=9+36 \           ,\
c^2=45 \           ,\
c=\sqrt{45} \quad\lor\quad c=-\sqrt{45}$$

Ujemną długość odrzucamy, zostaje nam więc \(c=\sqrt{45}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(c=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}\). Ta odpowiedź nam pasuje, bo wtedy faktycznie obwód jest równy \(3+6+3\sqrt{5}=9+3\sqrt{5}\).

Odp. C.
$$c^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2 \           ,\
c^2=4\cdot5+5 \           ,\
c^2=20+5 \           ,\
c^2=25 \           ,\
c=5 \quad\lor\quad c=-5$$

Ujemną długość odrzucamy, zostaje nam więc \(c=5\). Ta odpowiedź też nam nie pasuje, bo obwód trójkąta wynosi tutaj \(2\sqrt{5}+\sqrt{5}+5=5+3\sqrt{5}\)

Odp. D.
$$c^2=5^2+(3\sqrt{5})^2 \           ,\
c^2=25+9\cdot5 \           ,\
c^2=25+45 \           ,\
c^2=70 \           ,\
c=\sqrt{70} \quad\lor\quad c=-\sqrt{70}$$

Ujemną długość odrzucamy, zostaje nam więc \(c=\sqrt{70}\). Ta odpowiedź też nam nie pasuje, ponieważ obwód tego trójkąta wynosi \(5+3\sqrt{5}+\sqrt{70}\).

To oznacza, że prawidłowa jest odpowiedź B.

Dwa trójkąty są przystające wtedy, gdy mają one jednakowe miary boków i jednakowe miary kątów. Miar boków nie jesteśmy w stanie zweryfikować, możemy jedynie przyjrzeć się miarom kątów. Spróbujmy wyznaczyć miarę kąta \(ABD\). Miara tego kąta będzie równa:
$$|\sphericalangle ABD|=360°-122°-122°=116°$$

Widzimy zatem, że kąty w trójkącie \(ABD\) mają inną miarę nić w trójkącie \(BCD\), co sprawia, iż te trójkąty na pewno nie są przystające. Prawidłową odpowiedzią będzie zatem "Nie, ponieważ kąty wewnętrzne przy wierzchołku \(B\) w obu trójkątach są różnej miary".

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Powinniśmy dostrzec, że tak naprawdę z wystających elementów w figurze II da się ułożyć koło z figury I i zostanie nam przy tym jeden mały kwadracik w środku. Skoro więc pole pierwszej figury jest równe \(4y\), a drugiej \(x+4y\), to możemy wywnioskować, że mały kwadracik ma pole równe \(x\), a \(\frac{1}{4}\) koła ma pole \(y\). Wszystko wyjaśni poniższy rysunek:


Krok 2. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Widzimy wyraźnie, że figura III będzie mieć pole równe całemu kołu plus mały kwadracik, czyli jest to dokładnie taka sama sytuacja co w figurze II. Z tego też względu pole tej figury będzie takie samo jak na rysunku II.

Krok 3. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Z rysunku szkicowego widać wyraźnie, że pole IV figury będzie równe \(4x+y\).

Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - wiek Bartka
\(3x\) - wiek mamy

Różnica wieku między mamą i Bartkiem wynosi \(28\), więc:
$$3x-x=28 \           ,\
2x=28 \           ,\
x=14$$

Skoro \(x\) to wiek Bartka, to wiemy już, że Bartek ma \(14\) lat.

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi czworościanu.
Czworościan foremny to taki ostrosłup, którego wszystkie ściany wraz z podstawą są jednakowymi trójkątami równobocznymi. Mówiąc wprost, jest to bryła mająca wszystkie krawędzie jednakowej długości. Taki czworościan ma \(6\) krawędzi, a z treści zadania wiemy, że suma ich długości wynosi \(4\sqrt{6}\). To oznacza, że każda z krawędzi ma długość:
$$a=\frac{4\sqrt{6}}{6} \           ,\
a=\frac{2}{3}\sqrt{6}$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni pojedynczej ściany.
Ustaliliśmy już, że każda ściana jest trójkątem równobocznym o boku \(a=\frac{2}{3}\sqrt{6}\), zatem korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że każda ze ścian ma pole równe:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \           ,\
P=\frac{\left(\frac{2}{3}\sqrt{6}\right)^2\sqrt{3}}{4} \           ,\
P=\frac{\frac{4}{9}\cdot6\cdot\sqrt{3}}{4} \           ,\
P=\frac{\frac{24}{9}\sqrt{3}}{4} \           ,\
P=\frac{\frac{8}{3}\sqrt{3}}{4}$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Czworościan foremny ma cztery jednakowe ściany, każda z nich jak już obliczyliśmy ma pole powierzchni równe \(P=\frac{\frac{8}{3}\sqrt{3}}{4}\), zatem pole powierzchni całkowitej będzie równe:
$$P_{c}=4\cdot\frac{\frac{8}{3}\sqrt{3}}{4} \           ,\
P_{c}=\frac{8}{3}\sqrt{3}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy nanieść na układ współrzędnych punkty \(A\) oraz \(C\). Korzystając dodatkowo z informacji, że będziemy mieli tutaj prostokąt, którego boki są równoległe do osi układu współrzędnych, otrzymamy taką oto sytuację:


Z rysunku musimy też odczytać od razu wymiary naszego prostokąta (licząc po kratkach). Widzimy, że dolny bok ma długość \(8\) jednostek, natomiast drugi ma długość \(6\) jednostek.

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej prostokąta.
Dwa boki prostokąta tworzą wraz z poszukiwaną przekątną trójkąt prostokątny. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zatem zapisać, że:
$$8^2+6^2=d^2 \           ,\
64+36=d^2 \           ,\
d^2=100 \           ,\
d=10 \quad\lor\quad d=-10$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(d=10\).

Krok 3. Podanie współrzędnych pozostałych dwóch wierzchołków prostokąta.
Z rysunku wynika wprost, że punkt \(B\) musi mieć współrzędną \(x\) taką jak \(x_{A}\) i współrzędną \(y\) taką samą jak \(y_{C}\). Analogicznie punkt \(D\) musi mieć \(x\) taką jak \(x_{C}\) i współrzędną \(y\) taką samą jak \(y_{A}\). To oznacza, że brakującymi współrzędnymi wierzchołków prostokąta będą: \(B=(-5;-4)\) oraz \(D=(3;2)\).

Oczywiście równie dobrą odpowiedzią byłoby \(B=(3;2)\) oraz \(D=(-5;-4)\) (w zależności od tego jak podpisaliśmy wierzchołki prostokąta).

Krok 1. Obliczenie długości trasy.
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na prędkość, czyli:
$$v=\frac{s}{t} \           ,\
s=vt$$

Godzina ma \(60\) minut, więc \(54\) minuty stanowią \(\frac{54}{60}\), czyli \(0,9\) godziny. Pan Jan planuje pokonać tę trasę w \(1\) godzinę i \(54\) minuty, czyli czas podróży wyniesie \(t=1,9h\). Skoro tak, to:
$$s=90\frac{km}{h}\cdot1,9h \           ,\
s=171km$$

Krok 2. Obliczenie skali mapy.
Trasa \(171km\) ma na mapie długość \(9,5cm\). Możemy więc ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(9,5cm\) na mapie to \(171km\) w rzeczywistości
To \(1cm\) na mapie to \(171km:9,5=18km\) w rzeczywistości

Wiemy już, że \(1cm\) odpowiada odległości \(18km\). Musimy jeszcze zapisać skalę tej mapy, a aby tego dokonać trzeba zamienić \(18km\) na centymetry. Wiemy, że \(1km\) to \(1000m\), a każdy \(1m\) to \(100cm\) długości. Skoro tak, to \(1km=100\;000cm\), czyli:
$$18km=1\;800\;000cm$$

To oznacza, że skala naszej mapy to \(1:1\;800\;000\).

Krok 1. Obliczenie zużycia wody w marcu.
Marcowe zużycie wody będzie różnicą między odczytem marcowym i lutowym. Z tabelki wynika więc, że Państwo Malinowscy zużyli w marcu:
$$134,348m^3-128,408m^3=5,94m^3$$

Krok 2. Obliczenie wysokości opłat za wodę.
Cena za \(m^3\) wody w marcu wynosi \(11,50zł\). To oznacza, że za zużycie \(5,94m^3\) wody trzeba zapłacić:
$$5,94\cdot11,50zł=68,31zł$$

Krok 3. Obliczenie dziennego zużycia wody.
Dzienne zużycie wody musimy podać w litrach. Wiedząc, że \(1m^3=1000l\) możemy zapisać, że:
$$5,94m^3=5940l$$

Marzec ma \(31\) dni, więc każdego dnia zużyto (w zaokrągleniu do całości):
$$5940l:31\approx191,61l\approx192l$$

Krok 1. Obliczenie objętości przyczepki.
Z treści zadania wynika, że w dalszych obliczeniach będziemy posługiwać się \(dm^3\), więc już teraz na starcie dobrze byłoby zamienić wymiary przyczepki na decymetry, zatem:
$$8,5dm\times5,2dm\times4dm$$

To oznacza, że objętość przyczepki będzie równa:
$$V=abc \           ,\
V=8,5dm\cdot5,2dm\cdot4dm \           ,\
V=176,8dm^3$$

Krok 2. Obliczenie wagi suchego żwiru.
Z treści zadania wynika, że \(0,6dm^3\) żwiru waży \(1kg\). Skoro tak, to \(150dm^3\) żwiru będzie ważyć:
$$\frac{150}{0,6}=250[kg]$$

Krok 3. Uzasadnienie, czy przewóz żwiru jest możliwy.
Musimy pamiętać, że przewiezienie żwiru będzie możliwe tylko wtedy, gdy zmieścimy się w objętości przyczepki, a waga nie przekroczy maksymalnego pułapu \(350kg\).

Pan Marek może przewieźć żwir w tej przyczepce, ponieważ objętość żwiru (\(150dm^3\)) nie przekracza objętości przyczepki (\(176,8dm^3\)), a jednocześnie masa towaru (\(250kg\)) nie przekroczy maksymalnego limitu (\(350kg\)).