📄 Treść zadania
Dwa sześciany - jeden o krawędzi \(2\) i drugi o krawędzi \(3\) - pocięto na sześciany o krawędzi \(1\). Z otrzymanych sześcianów zbudowano prostopadłościan. Żadna ściana tego prostopadłościanu nie jest kwadratem. Pole powierzchni zbudowanego prostopadłościanu jest równe:
A
\(35\)
B
\(47\)
C
\(94\)
D
\(142\)
Krok 1. Obliczenie liczby małych sześcianów o krawędzi \(1\).
Ustalmy najpierw ile powstało nam małych sześcianów o krawędzi \(1\). Najprościej będzie to dostrzec bazując na objętości brył. Sześcian o krawędzi \(1\) ma objętość \(V=1\cdot1\cdot1=1\). Sprawdźmy teraz jakie objętości mają dwa duże sześciany:
I sześcian ma objętość \(V=2\cdot2\cdot2=8\)
II sześcian ma objętość \(V=3\cdot3\cdot3=27\)
To oznacza, że ten pierwszy sześcian podzieli się na \(8\) małych sześcianów, a ten drugi na \(27\). Łącznie małych sześcianów będzie więc \(8+27=35\).
Krok 2. Ustalenie wymiarów prostopadłościanu.
Ustaliliśmy już, że mamy \(35\) małych sześcianów, co oznacza, że objętość naszej bryły jest równa \(35\). Objętość prostopadłościanu obliczamy ze wzoru \(V=abc\). Musimy teraz ustalić, jakie trzy liczby całkowite pomnożone przez siebie, dają wynik równy \(35\). Są tylko dwie możliwości: \(35\cdot1\cdot1\) oraz \(5\cdot7\cdot1\). Tą pierwszą sytuację musimy odrzucić, bo ona by oznaczała, że jedna ze ścian bocznych będzie kwadratem (a to jest wykluczone w treści zadania). Wniosek płynie z tego taki, że nasz prostopadłościan będzie mieć wymiary \(a=5, b=7\) oraz \(c=1\).
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostopadłościanu.
Korzystając ze wzoru na pole powierzchni możemy zapisać, że:
$$P=2ab+2ac+2bc$$
$$P=2\cdot5\cdot7+2\cdot5\cdot1+2\cdot7\cdot1$$
$$P=70+10+14$$
$$P=94$$