Zadanie 30 Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Nowa Era 2022 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, iż trójkąt \(PCH\) jest prostokątny. Skoro tak, to pomoże nam tutaj Twierdzenie Pitagorasa. Jeżeli przyjmiemy, że długość krawędzi sześcianu ma długość \(a\), to \(|PC|=\frac{1}{2}a\) natomiast \(|CH|=a\sqrt{2}\) (bo jest to przekątna kwadratu o boku \(a\)). W treści zadania mamy jeszcze podaną długość \(|HP|=4\) (która jest przeciwprostokątną naszego trójkąta), zatem:
$$\left(\frac{1}{2}a\right)^2+(a\sqrt{2})^2=4^2$$ $$\frac{1}{4}a^2+2a^2=16$$ $$\frac{9}{4}a^2=16 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{9}$$ $$a^2=\frac{64}{9}$$ $$a=\sqrt{\frac{64}{9}} \quad\lor\quad a=-\sqrt{\frac{64}{9}}$$ $$a=\frac{8}{3} \quad\lor\quad a=-\frac{8}{3}$$

Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
$$V=a^3$$ $$V=\left(\frac{8}{3}\right)^3$$ $$V=\frac{512}{27}=18\frac{26}{27}$$