Zadanie 9 Egzamin ósmoklasisty z matematyki - Przykładowy arkusz CKE — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Spójrzmy na podany w treści zadania wzór, a konkretnie na zawarty w nim jednomian \(\frac{1}{2}B\). Gdybyśmy na brzegu wielokąta mieli \(7\) punktów, to z tego jednomianu wyszedłby nam ułamek \(\frac{1}{2}\cdot7=3,5\) i właśnie przez tę "połówkę" nie byłoby możliwości uzyskania w jakikolwiek sposób wyniku równego \(15\). Kiedy na brzegu będzie \(8\) wierzchołków (lub jakaś inna liczba parzysta), wtedy wynik \(15\) będzie możliwy do osiągnięcia, bo otrzymamy wartość całkowitą - w tym przypadku \(\frac{1}{2}\cdot8=4\).

Dlatego też nasz poszukiwany wielokąt nie może mieć \(7\) punktów kratowych na brzegu, ale może mieć tych punktów \(8\).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Załóżmy sobie, że punktów wewnętrznych mamy \(W=n\) natomiast punktów brzegowych mamy \(B=2n\) (bo ma być ich dwa razy więcej niż wewnętrznych). Podstawiając to do wzoru otrzymamy:
$$P=n+\frac{1}{2}2n-1$$ $$P=n+n-1$$ $$P=2n-1$$

Jakiejkolwiek liczby nie podstawimy pod \(n\) to otrzymane wyrażenie da nam liczbę nieparzystą.

Oczywiście można też wykorzystać fakt, że jest to zadanie zamknięte i podstawić sobie jakieś przykładowe liczby i sprawdzić jaki otrzymamy wynik. Przykładowo:
Gdy \(W=5\) oraz \(B=10\), to:
$$P=5+\frac{1}{2}\cdot10-1$$ $$P=5+5-1$$ $$P=9$$

Otrzymany wynik jest nieparzysty.