📄 Treść zadania
Dane jest wyrażenie \(\frac{2^7\cdot2^7}{2^7+2^7}\).
Czy wartość tego wyrażenia jest liczbą podzielną przez \(8\)? Wybierz odpowiedź T albo N i jej uzasadnienie spośród A, B albo C.
A) każdy z wykładników jest liczbą nieparzystą.
B) wykładnik potęgi \(2^6\) nie jest podzielny przez \(8\).
C) wartość tego wyrażenia można zapisać w postaci \(8\cdot2^3\).
Krok 1. Ustalenie kiedy wyrażenie będzie podzielne przez \(8\).
Aby udowodnić czy dane wyrażenie jest podzielne przez \(8\) musimy je przekształcić w taki sposób, by dało się je zapisać w postaci iloczynu, którego jednym ze składników jest liczba \(8\) (czyli musimy doprowadzić do postaci \(8\cdot...\)). Widzimy wyraźnie, że w zadaniu operujemy na potęgach o podstawie \(2\), a liczbę \(8\) możemy zapisać jako \(8=2^3\) i to z pewnością wykorzystamy podczas obliczeń, ale najpierw spróbujmy przekształcić to wyrażenie do prostszej postaci.
Krok 2. Uproszczenie wyrażenia.
W liczniku tego wyrażenia możemy skorzystać z własności działań na potęgach. Iloczyn potęg o tej samej podstawie obliczymy dodając do siebie wykładniki tych potęg. W mianowniku mamy sytuację nieco trudniejszą, bo nie mamy żadnych wzorów na dodawanie potęg, ale możemy zauważyć, że mamy tu tak naprawdę dwukrotne dodanie \(2^7\), co możemy zapisać jako \(2\cdot2^7\). Całość możemy więc rozpisać w następujący sposób:
$$\frac{2^7\cdot2^7}{2^7+2^7}=\frac{2^{7+7}}{2\cdot2^7}=\frac{2^{14}}{2^1\cdot2^7}=\frac{2^{14}}{2^{8}}=2^{14-8}=2^{6}$$
Krok 3. Udowodnienie podzielności wyrażenia przez \(8\).
Wiedząc, że \(8=2^3\) możemy teraz rozpisać ten nasz wynik do następującej postaci:
$$2^6=2^3\cdot2^3=8\cdot2^3$$
To wyrażenie jest więc podzielne przez \(8\), ponieważ wartość tego wyrażenia można zapisać w postaci \(8\cdot2^3\).