Egzamin ósmoklasisty z matematyki - Informator CKE — zadania z rozwiązaniami

Egzamin Ósmoklasisty ·Matematyka ·0 Zadania z infor ·36 zadań

Egzamin ósmoklasisty z matematyki - Informator CKE — zadania z rozwiązaniami

Arkusz Egzamin ósmoklasisty z matematyki 0 (CKE) — pełne rozwiązania i odpowiedzi krok po kroku.

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Proporcjonalność Proporcjonalność prosta

▼

🔗

Kasia zauważyła, że ścienny zegar w mieszkaniu babci w ciągu każdej godziny spóźnia się o kolejne $4$ minuty. Gdy poprawnie działający zegarek Kasi wskazywał godzinę 9:00, dziewczynka ustawiła na zegarze ściennym tę samą godzinę. Przyjęła, że w każdym kolejnym kwadransie opóźnienie jest jednakowe.

Którą godzinę wskaże – zgodnie z założeniami Kasi – zegar ścienny po upływie $2$ godzin i $3$ kwadransów od godziny 9:00, jeżeli zachowana zostanie zaobserwowana tendencja opóźniania?

A 11:34

B 11:37

C 11:41

D 11:56

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Wskazanie poprawnej godziny.
Sprawdźmy na początku którą to godzinę powinien wskazywać zegarek, gdyby się nie spóźniał. Skoro kwadrans to $15$ minut, to trzy kwadranse to $45$ minut. Po upływie dwóch godzin i trzech kwadransów od godziny 09:00 zegar powinien więc wskazywać godzinę 11:45.

Krok 2. Ustalenie wielkości spóźnienia.
W ciągu godziny zegarek spóźnia się o $4$ minuty. Korzystając z proporcji możemy powiedzieć, że skoro kwadrans to $\frac{1}{4}$ godziny, to w ciągu kwadransa zegarek spóźnia się dokładnie o minutę.

To oznacza, że:
W ciągu dwóch godzin zegarek spóźni się o $8$ minut.
W ciągu trzech kwadransów zegarek spóźni się o $3$ minuty.
W ciągu dwóch godzin i trzech kwadransów zegarek spóźni się o $8+3=11$ minut.

Krok 3. Ustalenie wskazania zegarka.
Musimy ustalić co to znaczy, że zegarek się spóźnia. Skoro zegarek się spóźnia, to powinien wskazywać godzinę wcześniejszą niż 11:45. My wiemy, że zegarek jest spóźniony o łącznie $11$ minut, więc wskaże nam godzinę 11:34.

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Oś liczbowa

▼

🔗

Marta zapisała w systemie rzymskim cztery liczby: $CLXX$, $CXC$, $CCLXX$ oraz $CCL$.

Która z nich znajduje się na osi liczbowej najbliżej liczby $200$?

A $CLXX$

B $CXC$

C $CCLXX$

D $CCL$

Otwarte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Liczby i działania Liczby wymierne — działania

▼

🔗

Do trzech jednakowych naczyń wlano tyle wody, że w pierwszym naczyniu woda zajmowała $\frac{2}{3}$ pojemności, w drugim: $\frac{3}{4}$ pojemności, a w trzecim $\frac{5}{7}$ pojemności danego naczynia.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. W naczyniu drugim było mniej wody niż w naczyniu trzecim.
W pierwszym i drugim naczyniu łącznie było tyle samo wody, co w trzecim naczyniu.

W naczyniu drugim było mniej wody niż w naczyniu trzecim.

Prawda

Fałsz

W pierwszym i drugim naczyniu łącznie było tyle samo wody, co w trzecim naczyniu.

Prawda

Fałsz

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Rachunek prawdopodobieństwa Obliczanie prawdopodobieństwa

▼

🔗

W każdej z dwóch torebek znajdują się $32$ cukierki: $17$ pomarańczowych, $10$ jabłkowych i $5$ truskawkowych.

Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Do pierwszej torebki należy dołożyć $\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$ cukierki truskawkowe, aby wszystkie znajdujące się w niej cukierki truskawkowe stanowiły $25\%$ wszystkich cukierków w tej torebce. Liczba cukierków pomarańczowych, które należy wyjąć z drugiej torebki, aby wśród pozostałych w niej cukierków było $40\%$ pomarańczowych, jest $\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$.

A $3$

B $4$

C mniejsza niż $5$

D większa niż $5$

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Na początku mamy $32$ cukierki, w tym $5$ truskawkowych. Zobaczmy co się stanie jak dołożymy $3$ lub $4$ cukierki truskawkowe (bo takie mamy opcje w odpowiedziach).

a) Jak dołożymy $3$ cukierki truskawkowe to będziemy mieli $35$ cukierków, w tym $8$ truskawkowych. Cukierki truskawkowe będą więc stanowiły wtedy $\frac{8}{35}\approx23\%$.
b) Jak dołożymy $4$ cukierki truskawkowe to będziemy mieli $36$ cukierków, w tym $9$ truskawkowych. Cukierki truskawkowe będą więc stanowiły wtedy $\frac{9}{36}=25\%$.

Musimy więc dołożyć $4$ cukierki truskawkowe.

A jak rozwiązać to zadanie gdyby było to zadanie otwarte (bez podanych odpowiedzi)? Biorąc pod uwagę, że 25\% możemy zapisać w postaci ułamka $\frac{1}{4}$ to należałoby wtedy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{5+x}{32+x}=\frac{1}{4}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$4\cdot(5+x)=1\cdot(32+x) \           ,\
20+4x=32+x \           ,\
3x=12 \           ,\
x=4$$

Wyszło nam więc ponownie, że należałoby dołożyć $4$ cukierki truskawkowe.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
W torebce mamy $32$ cukierki, w tym $17$ pomarańczowych. Chcemy by pomarańczowych cukierków było $40\%$, czyli żeby było ich $\frac{4}{10}$. Jeżeli z paczki zabierzemy $x$ pomarańczowych cukierków, to będziemy mieć ich $17-x$. Pomniejszy nam się też liczba wszystkich cukierków w paczce i teraz wyniesie ona $32-x$. Zatem powstanie nam równanie:
$$\frac{17-x}{32-x}=\frac{4}{10}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$10\cdot(17-x)=4\cdot(32-x) \           ,\
170-10x=128-4x \           ,\
42=6x \           ,\
x=7$$

Musimy więc zabrać $7$ pomarańczowych cukierków.

Otwarte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Proporcjonalność Proporcjonalność prosta

▼

🔗

Za $30dag$ orzechów pistacjowych zapłacono $15,75zł$.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Za $40dag$ tych orzechów należy zapłacić $21zł$.
Cena $1kg$ tych orzechów jest równa $52,50zł$.

Za $40dag$ tych orzechów należy zapłacić $21zł$.

Prawda

Fałsz

Cena $1kg$ tych orzechów jest równa $52,50zł$.

Prawda

Fałsz

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Powtórzenie wiadomości ze szkoły podstawowej Potęgi

▼

🔗

Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Wartość wyrażenia $2^3\cdot3^2$ jest równa $\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$. Wartość wyrażenia $5^3-5^2$ jest równa $\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$.

A $36$

B $72$

C $5$

D $100$

Zamknięte 1 pkt 📷 rysunek ✓ rozwiązanie

Graniastosłupy

▼

🔗

Wojtek narysował cztery figury składające się z kwadratów i trójkątów równobocznych (tak, jak pokazano na rysunku poniżej). Aby otrzymać z nich siatki graniastosłupa, zamierza dorysować do każdej figury jeden kwadrat albo jeden trójkąt.

Matematyka jest prosta

Z której figury nie da się w ten sposób otrzymać siatki graniastosłupa?

A I

B II

C III

D IV

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Obliczanie prawdopodobieństwa

▼

🔗

Rzucamy raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rzucie tą kostką wypadnie liczba oczek większa od $2$, ale mniejsza od $6$?

A $\frac{1}{3}$

B $\frac{1}{2}$

C $\frac{2}{3}$

D $\frac{5}{6}$

Otwarte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Powtórzenie wiadomości ze szkoły podstawowej Potęgi

▼

🔗

Dane jest wyrażenie $\frac{2^7\cdot2^7}{2^7+2^7}$.

Czy wartość tego wyrażenia jest liczbą podzielną przez $8$? Wybierz odpowiedź T albo N i jej uzasadnienie spośród A, B albo C. A) każdy z wykładników jest liczbą nieparzystą.
B) wykładnik potęgi $2^6$ nie jest podzielny przez $8$.
C) wartość tego wyrażenia można zapisać w postaci $8\cdot2^3$.

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Ustalenie kiedy wyrażenie będzie podzielne przez $8$.
Aby udowodnić czy dane wyrażenie jest podzielne przez $8$ musimy je przekształcić w taki sposób, by dało się je zapisać w postaci iloczynu, którego jednym ze składników jest liczba $8$ (czyli musimy doprowadzić do postaci $8\cdot...$). Widzimy wyraźnie, że w zadaniu operujemy na potęgach o podstawie $2$, a liczbę $8$ możemy zapisać jako $8=2^3$ i to z pewnością wykorzystamy podczas obliczeń, ale najpierw spróbujmy przekształcić to wyrażenie do prostszej postaci.

Krok 2. Uproszczenie wyrażenia.
W liczniku tego wyrażenia możemy skorzystać z własności działań na potęgach. Iloczyn potęg o tej samej podstawie obliczymy dodając do siebie wykładniki tych potęg. W mianowniku mamy sytuację nieco trudniejszą, bo nie mamy żadnych wzorów na dodawanie potęg, ale możemy zauważyć, że mamy tu tak naprawdę dwukrotne dodanie $2^7$, co możemy zapisać jako $2\cdot2^7$. Całość możemy więc rozpisać w następujący sposób:

$$\frac{2^7\cdot2^7}{2^7+2^7}=\frac{2^{7+7}}{2\cdot2^7}=\frac{2^{14}}{2^1\cdot2^7}=\frac{2^{14}}{2^{8}}=2^{14-8}=2^{6}$$

Krok 3. Udowodnienie podzielności wyrażenia przez $8$.
Wiedząc, że $8=2^3$ możemy teraz rozpisać ten nasz wynik do następującej postaci:
$$2^6=2^3\cdot2^3=8\cdot2^3$$

To wyrażenie jest więc podzielne przez $8$, ponieważ wartość tego wyrażenia można zapisać w postaci $8\cdot2^3$.