Zadanie 16 Egzamin ósmoklasisty (termin dodatkowy) 2020 - matematyka — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli odcinki \(AC\) i \(BC\) są równej długości, to trójkąt \(ABC\) jest równoramienny. W trójkątach równoramiennych kąty przy podstawie mają jednakową miarę, więc \(|\sphericalangle CAB|=\alpha\). Dodatkowo oznaczmy sobie kąt \(ACB\) jako \(\gamma\) i mamy taką oto sytuację:


Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Skoro suma miar kątów w trójkącie \(ACB\) jest równa \(180°\), a kąty przy podstawie mają miarę \(\alpha\), to:
$$2\alpha+\gamma=180°$$

Do miary kąta \(ACB\) możemy też podejść z innej perspektywy. Kąt \(\beta\) oraz kąt \(ACB\) są kątami przyległymi. To prowadzi nas do wniosku, że:
$$\beta+\gamma=180°$$

Porównując teraz otrzymane dwa zapisy wyjdzie nam, że:
$$2\alpha+\gamma=\beta+\gamma$$ $$2\alpha=\beta$$ $$\alpha=\frac{1}{2}\beta$$

W ten sposób udało nam się wykazać, że kąt \(\alpha\) stanowi połowę miary kąta \(\beta\).