Zadanie 5 Egzamin gimnazjalny 2019 - matematyka — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Załóżmy sobie, że Kacper zebrał \(x\) złotych, a skoro zebrał dwa razy mniej od Wojtka, to Wojtek tym samym zebrał \(2x\) złotych.
Z treści zadania wynika, że Kacper wydał połowę swoich pieniędzy, czyli wydał:
$$\frac{1}{2}\cdot x=\frac{1}{2}x$$

Wojtek wydał \(\frac{1}{4}\) swoich pieniędzy, czyli Wojtek wydał:
$$\frac{1}{4}\cdot2x=\frac{1}{2}x$$

Chłopcy wydali więc identyczną kwotę, zatem zdanie jest jak najbardziej prawdziwe.

Jeśli mamy trudności z takimi matematycznymi zapisami, to możemy zweryfikować to zadanie na prawdziwych liczbach. Jeżeli założymy sobie, że Kacper ma np. \(100zł\) i że wydał z tego połowę, to wiemy że wydał \(\frac{1}{2}\cdot100zł=50zł\).
Wojtek ma dwa razy więcej pieniędzy, czyli tym samym byłoby to \(200zł\). Skoro Wojtek miał wydać \(\frac{1}{4}\) swoich oszczędności, to znaczy że wydał \(\frac{1}{4}\cdot200zł=50zł\). W ten sposób bardzo obrazowo udało nam się ustalić, że chłopcy wydali identyczną kwotę.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Korzystając z tego co sobie już zapisaliśmy w pierwszym kroku możemy zapisać, że:
Kacper miał \(x\) złotych, wydał \(\frac{1}{2}x\) złotych, czyli zostało mu \(x-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x\).
Wojtek miał \(2x\) złotych, wydał \(\frac{1}{2}x\) złotych, czyli zostało mu \(2x-\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}x\).

Widzimy wyraźnie, że Kacprowi zostało faktycznie trzy razy mniej pieniędzy niż Wojtkowi, czyli zdanie jest prawdą.

I tu ponownie moglibyśmy to zrobić to zadanie w obrazowy sposób, na konkretnych kwotach. Korzystając z tego co zapisaliśmy sobie w pierwszym kroku:
Kacper miał \(100zł\), wydał \(50zł\), czyli zostało mu \(50zł\).
Wojtek miał \(200zł\), wydał \(50zł\), czyli zostało mu \(150zł\).

W ten sposób doszlibyśmy do wniosku, że Kacprowi zostało faktycznie trzy razy mniej pieniędzy, czyli zdanie było prawdą.