📄 Treść zadania
Maja, Ola i Jagna kupowały zeszyty. Maja za \(3\) grube zeszyty i \(8\) cienkich zapłaciła \(10zł\). Ola kupiła \(4\) grube oraz \(4\) cienkie zeszyty i również zapłaciła \(10zł\). Czy Jagnie wystarczy \(10\) złotych na zakup \(5\) grubych zeszytów i \(1\) cienkiego?
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(g\) - grube zeszyty
\(c\) - cienkie zeszyty
Zgodnie z treścią zadania wiemy, że zakupy Mai możemy opisać równaniem:
$$3g+8c=10$$
Natomiast zakupy Oli możemy zapisać jako:
$$4g+4c=10$$
Krok 2. Zbudowanie i rozwiązanie układu równań.
Z dwóch równań zapisanych w kroku pierwszym możemy ułożyć układ równań, którego rozwiązanie pozwoli nam ustalić cenę każdego z tych zeszytów:
$$\begin{cases} 3g+8c=10 \\ 4g+4c=10 \end{cases}$$
Najprościej będzie zastosować chyba metodę przeciwnych współczynników, mnożąc drugie równanie przez \(-2\). Otrzymamy wtedy:
$$\begin{cases} 3g+8c=10 \\ -8g-8c=-20 \end{cases}$$
Dodając obydwa równania stronami otrzymamy:
$$-5g=-10$$
$$g=2$$
Znamy już cenę grubego zeszytu (wynosi ona \(2zł\)), więc podstawiając ją do dowolnego z równań bez przeszkód obliczymy cenę cienkiego zeszytu. Przykładowo podstawiając to do pierwszego równania otrzymamy:
$$3\cdot2+8c=10$$
$$6+8c=10$$
$$8c=4$$
$$c=0,5$$
W ten sposób wyznaczyliśmy cenę obydwu zeszytów: gruby zeszyt kosztuje \(2zł\), a cienki \(0,5zł\).
Krok 3. Ustalenie, czy Jagnie wystarczy pieniędzy na zakupy.
Na sam koniec musimy ustalić, czy Jagna będzie w stanie kupić \(5\) grubych zeszytów oraz \(1\) cienki, mając jedynie \(10zł\). Koszt zeszytów Jagny jest równy:
$$5\cdot2zł+1\cdot0,5zł=10zł+0,5zł=10,5$$
To oznacza, że Jagnie nie wystarczy pieniędzy na planowane zakupy.