📄 Treść zadania
Uczniowie klasy III wybierali przedstawiciela do samorządu szkolnego. Było troje kandydatów: Ola, Paweł i Romek. W klasie jest \(32\) uczniów i każdy z nich oddał jeden ważny głos. Zwyciężyła Ola, uzyskując mniej niż połowę głosów. Reszta głosów rozłożyła się równo między pozostałych kandydatów. Ile głosów otrzymała Ola, a po ile pozostali kandydaci? Znajdź i wypisz wszystkie możliwości. Uzasadnij, że nie ma więcej.
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - liczba głosów oddanych na Olę
\(y\) - liczba głosów oddanych na Pawła lub Romka
Wiemy też, że Ola zdobyła mniej niż połowę głosów, czyli możemy jeszcze zapisać, że:
$$x\lt16$$
Krok 2. Analiza możliwości rozkładu głosów.
W zadaniu podano niewiele informacji i w zasadzie musimy się oprzeć w naszej analizie na dwóch faktach:
1. Ola wygrała, ale ma mniej niż \(16\) głosów. Tym samym chłopcy mają łącznie więcej niż \(16\) głosów.
2. Paweł zdobył tyle samo głosów co Romek.
Ustalmy zatem ile to głosów mogli uzyskać chłopcy. Czy np. Paweł mógł uzyskać \(5\) punktów i tym samym Romek też mógł uzyskać \(5\) punktów? Taki wariant odpada, bo chłopcy muszą mieć łącznie więcej niż \(16\) głosów, czyli każdy z nich musiałby zdobyć przynajmniej \(9\) głosów. No to sprawdźmy poszczególne warianty:
Wariant A - chłopcy dostają po \(9\) głosów, wtedy:
Paweł: \(9\)
Romek: \(9\)
Ola: \(32-18=14\)
Taka opcja jest jak najbardziej możliwa, Ola wygrywa wybory i ma mniej niż połowę głosów.
Wariant B - chłopcy dostają po 10 głosów, wtedy:
Paweł: \(10\)
Romek: \(10\)
Ola: \(32-20=12\)
Taka opcja jest także możliwa, ponownie Ola wygrywa wybory i ma mniej niż połowa głosów.
Wariant C - chłopcy dostają po \(11\) głosów, wtedy:
Paweł: \(11\)
Romek: \(11\)
Ola: \(32-22=10\)
Ten wariant (i każdy kolejny w którym każdy chłopiec ma więcej niż \(10\) głosów) musimy odrzucić, bo nagle się okazuje że Ola w takich przypadkach nie wygrałaby w ogóle wyborów.
To oznacza, że są tylko dwie możliwości: Ola mogła zdobyć \(14\) lub \(12\) głosów.