Definicje i Teorie

Inne

Ciąg arytmetyczny — definicja i własności

Szkoła średnia

Definicja: Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny, jeśli różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała: $$a_{n+1} - a_n = r = \text{const} \quad (r \text{ — różnica ciągu})$$ Wzór ogólny: $a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$ Suma $n$ początkowych wyrazów: $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = \dfrac{n(2a_1 + (n-1)r)}{2}$

Prosto mówiąc: Ciąg arytmetyczny to taki, gdzie od wyrazu do wyrazu dodajesz zawsze tę samą liczbę $r$. Np. $3, 7, 11, 15, \ldots$ — za każdym razem $+4$.

Zastosowanie:

Suma liczb $1+2+3+\ldots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ (Gauss)
Prognozowanie liniowe (np. cena rośnie o stałą kwotę rocznie)
Harmonogram spłat stałej kwoty rat kredytu
Każdy wielomian liniowy generuje ciąg arytmetyczny

Przykład: Ciąg: $5, 9, 13, 17, \ldots$ Znajdź $a_{20}$ i $S_{20}$.

$r = 9 - 5 = 4$, $a_1 = 5$
$a_{20} = 5 + (20-1)\cdot 4 = 5 + 76 = 81$
$S_{20} = \dfrac{20(5+81)}{2} = \dfrac{20 \cdot 86}{2} = 860$

⚡ Zapamiętaj: Środkowy wyraz (lub średnia dwóch środkowych) ciągu arytmetycznego równa się średniej arytmetycznej całego ciągu. $a_n = \dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.

Funkcja liniowa — własności i zastosowania

Szkoła średnia

Definicja: Funkcja liniowa $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = ax + b$, $a \neq 0$.
Wykres: linia prosta o nachyleniu $a$ i przecięciu z $OY$ w punkcie $(0, b)$.
Własności: dziedzina $\mathbb{R}$, zbiór wartości $\mathbb{R}$, różnowartościowa, ciągła.

Monotoniczność:

$a > 0$: rosnąca na całej dziedzinie
$a < 0$: malejąca na całej dziedzinie

Miejsce zerowe: $x_0 = -\dfrac{b}{a}$ (gdzie prosta przecina oś $OX$).
Kąt nachylenia prostej: $\tan\alpha = a$ (dla $a > 0$: kąt ostry; $a < 0$: rozwarty).

Przykład: $f(x) = -2x + 6$. Znajdź: miejsce zerowe, wartość $f(4)$, narysuj.

MZ: $-2x+6=0 \Rightarrow x=3$, punkt $(3,0)$
Przecięcie z $OY$: $(0,6)$
$f(4) = -2\cdot4+6 = -2$, punkt $(4,-2)$
Funkcja malejąca ($a=-2 < 0$)

⚡ Zapamiętaj: Interpretacja "a": wzrost $x$ o 1 jednostkę powoduje wzrost $f(x)$ o $a$ jednostek. Np. przy $a=-2$: każda dodatkowa jednostka $x$ zmniejsza $f$ o 2.

Funkcje cyklometryczne — arcsin, arccos, arctg, arccotg

Szkoła średnia

Funkcje cyklometryczne to funkcje odwrotne do trygonometrycznych (z ograniczoną dziedziną):

$\arcsin x$: dziedzina $[-1,1]$, wartości $\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$; $\arcsin x = \alpha \Leftrightarrow \sin\alpha = x$
$\arccos x$: dziedzina $[-1,1]$, wartości $[0, \pi]$; $\arccos x = \alpha \Leftrightarrow \cos\alpha = x$
$\text{arctg}\, x$: dziedzina $\mathbb{R}$, wartości $\left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$; $\text{arctg}\, x = \alpha \Leftrightarrow \text{tg}\,\alpha = x$
$\text{arccotg}\, x$: dziedzina $\mathbb{R}$, wartości $(0, \pi)$

Prosto mówiąc: Funkcje cyklometryczne odpowiadają na pytanie „dla jakiego kąta sinus (cosinus, tangens…) wynosi tyle?". $\arcsin(\tfrac{1}{2}) = 30°$, bo $\sin 30° = \tfrac{1}{2}$. Ograniczenie dziedziny jest konieczne, bo funkcje trygonometryczne nie są różnowartościowe na całym $\mathbb{R}$.

Ważne tożsamości:

$\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ dla $x \in [-1,1]$
$\text{arctg}\, x + \text{arccotg}\, x = \dfrac{\pi}{2}$ dla $x \in \mathbb{R}$
$\arcsin(-x) = -\arcsin x$ (nieparzysta); $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$

Pochodne (kluczowe dla całkowania): $$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad (\arccos x)' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad (\text{arctg}\, x)' = \frac{1}{1+x^2}$$ Całki: $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C$, $\quad\displaystyle\int \frac{dx}{1+x^2} = \text{arctg}\, x + C$

Przykłady:

$\arcsin\!\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \tfrac{\pi}{4} = 45°$
$\arccos(-1) = \pi = 180°$
$\text{arctg}(\sqrt{3}) = \tfrac{\pi}{3} = 60°$
Równanie: $\sin x = 0{,}6 \Rightarrow x = \arcsin(0{,}6) \approx 36{,}87°$ (plus okresy)

⚡ Zapamiętaj: $\arcsin$ i $\arccos$ mają dziedzinę $[-1,1]$. $\text{arctg}$ przyjmuje wszystkie liczby rzeczywiste. Tożsamość $\arcsin x + \arccos x = \pi/2$ — suma zawsze daje kąt prosty!

Pochodna — pojęcie i interpretacja

Szkoła średnia

Definicja: Pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$ to granica ilorazu różnicowego: $$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$ Jeśli ta granica istnieje, mówimy że $f$ jest różniczkowalna w $x_0$.

Prosto mówiąc: Pochodna to chwilowe tempo zmiany — jak prędkościomierz w samochodzie. Prędkość = pochodna drogi po czasie $v(t) = s'(t)$.

Podstawowe wzory różniczkowania:

$(c)'= 0$ (stała)
$(x^n)' = nx^{n-1}$
$(\sin x)' = \cos x$; $(\cos x)' = -\sin x$
$(e^x)' = e^x$; $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$
Reguła łańcuchowa: $[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
$(fg)' = f'g + fg'$; $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$

Przykład: Znajdź miejsca, gdzie $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ osiąga ekstrema.

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2-2x-3) = 3(x-3)(x+1)$
$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 3$ lub $x = -1$
$f''(x) = 6x - 6$; $f''(-1) = -12 < 0$ → maksimum; $f''(3) = 12 > 0$ → minimum

⚡ Zapamiętaj: $f'(x_0) > 0$ — funkcja rośnie w $x_0$; $f'(x_0) < 0$ — maleje; $f'(x_0) = 0$ — kandydat na ekstremum (nie zawsze!). Sprawdź zmianę znaku $f'$.

Wzory trygonometryczne — jedynka i redukcyjne

Szkoła średnia

Jedynka trygonometryczna: $$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \quad \text{(dla każdego } \alpha\text{)}$$ Stąd: $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$; $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$.

Wzory redukcyjne (zmiana argumentu):

$\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha$; $\cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha$
$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$; $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ (parzystość/nieparzystość)
$\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cos\alpha$; $\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \sin\alpha$ (kofunkcje)

Wzory addycyjne:

$\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$

Wzory dwukąta: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$; $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Przykład: Mając $\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$, oblicz $\cos\alpha$, $\tan\alpha$, $\sin 2\alpha$.

$\cos\alpha = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$ (I ćwiartka: $\cos > 0$)
$\tan\alpha = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$
$\sin 2\alpha = 2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5} = \frac{24}{25}$

⚡ Zapamiętaj: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ to Pitagoras na okręgu jednostkowym — punkt $(\cos\alpha, \sin\alpha)$ zawsze leży na okręgu $x^2+y^2=1$. Wszystkie inne wzory wynikają z tej tożsamości.

Ciąg geometryczny — definicja i własności

Szkoła średnia

Definicja: Ciąg $(b_n)$ jest geometryczny, jeśli iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały: $$\frac{b_{n+1}}{b_n} = q = \text{const} \quad (q \neq 0 \text{ — iloraz ciągu})$$ Wzór ogólny: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ Suma $n$ wyrazów ($q \neq 1$): $S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$ Suma nieskończona ($|q| < 1$): $S_\infty = \dfrac{b_1}{1-q}$

Prosto mówiąc: Ciąg geometryczny to taki, gdzie każdy wyraz mnożysz przez to samo $q$. Np. $2, 6, 18, 54, \ldots$ — za każdym razem $\times 3$.

Zastosowanie:

Procent składany (kapitalizacja): $K_n = K_0 \cdot (1+p)^n$
Wzrost/zanik wykładniczy (populacja, promieniotwórczość)
Skale muzyczne: każda oktawa podwaja częstotliwość
Ułamek dziesiętny okresowy jako suma nieskończona

Przykład: Lokata 1000 zł, oprocentowanie 5% rocznie. Ile po 3 latach?

$q = 1{,}05$, $b_1 = 1000$
$b_4 = 1000 \cdot 1{,}05^3 = 1000 \cdot 1{,}157625 \approx 1157{,}63$ zł

⚡ Zapamiętaj: $0{,}\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Dlaczego? To suma geometryczna: $\frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \ldots = \frac{3/10}{1-1/10} = \frac{1}{3}$.

Funkcja kwadratowa — postacie i wierzchołek

Szkoła średnia

Trzy postacie funkcji kwadratowej ($a \neq 0$):

Ogólna: $f(x) = ax^2 + bx + c$
Kanoniczna (wierzchołkowa): $f(x) = a(x-p)^2 + q$, gdzie $W(p,q)$ — wierzchołek
Iloczynowa (gdy $\Delta > 0$): $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$

Wierzchołek: $p = -\dfrac{b}{2a}$, $q = -\dfrac{\Delta}{4a}$, gdzie $\Delta = b^2 - 4ac$.

Prosto mówiąc: Parabola otwarta w górę ($a>0$) ma minimum w wierzchołku. Otwarta w dół ($a<0$) — maksimum. Wierzchołek to "środek symetrii" paraboli.

Miejsca zerowe: $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

$\Delta > 0$: dwa miejsca zerowe
$\Delta = 0$: jedno MZ (wierzchołek na osi OX)
$\Delta < 0$: brak MZ (parabola nie przecina OX)

Przykład: $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$. Znajdź wierzchołek i MZ.

$\Delta = 64 - 48 = 16$; $\sqrt{\Delta}=4$
$x_{1,2} = \dfrac{8 \pm 4}{4}$: $x_1=1$, $x_2=3$
$p = \dfrac{1+3}{2} = 2$; $q = f(2) = 8-16+6 = -2$
Postać kanoniczna: $f(x)=2(x-2)^2-2$

⚡ Zapamiętaj: Postać iloczynowa od razu daje MZ. Postać kanoniczna od razu daje wierzchołek. Postać ogólna jest najlepsza do wyznaczania $\Delta$. Ucz się przechodzić między nimi!

Układy równań — metody rozwiązywania (LO)

Szkoła średnia

Układ 2×2 liniowy — metody:

Podstawiania: z jednego równania wyraź $x$ (lub $y$) i podstaw do drugiego
Eliminacji (przeciwnych wsp.): pomnóż równania i dodaj stronami
Wyznacznikowa (Cramera): $x=\dfrac{W_x}{W}$, $y=\dfrac{W_y}{W}$ — dla układów 2×2 i 3×3

Wyznacznik $2 \times 2$: $W = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1$

Reguła Cramera dla $\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$: $$W=\begin{vmatrix}a_1&b_1\a_2&b_2\end{vmatrix},\quad W_x=\begin{vmatrix}c_1&b_1\c_2&b_2\end{vmatrix},\quad W_y=\begin{vmatrix}a_1&c_1\a_2&c_2\end{vmatrix}$$ Jeśli $W \neq 0$: dokładnie jedno rozwiązanie. $W = 0$: sprzeczny lub nieoznaczony.

Przykład (Cramer): $\begin{cases}3x+2y=8\x-y=1\end{cases}$

$W = 3\cdot(-1)-1\cdot2 = -5$
$W_x = 8\cdot(-1)-1\cdot2 = -10$; $x = \frac{-10}{-5} = 2$
$W_y = 3\cdot1-1\cdot8 = -5$; $y = \frac{-5}{-5} = 1$

⚡ Zapamiętaj: Metoda Cramera jest elegancka, ale wolna dla dużych układów. W praktyce (matura) używaj eliminacji lub podstawiania — są szybsze i mniej podatne na błędy znaku.

Całka oznaczona — twierdzenie zasadnicze rachunku

Szkoła średnia

Twierdzenie zasadnicze RR (Newton-Leibniz): Jeśli $F$ jest funkcją pierwotną $f$ na $[a,b]$, to:

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b$$

Własności: liniowość ($\int af+bg = a\int f + b\int g$), addytywność ($\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c$).

$\int_a^b f\,dx = -\int_b^a f\,dx$; $\int_a^a f\,dx = 0$.

Zastosowania: pole obszaru, droga z prędkości, ładunek elektryczny.

$\int_0^2 (3x^2-2x)\,dx = \Big[x^3-x^2\Big]_0^2 = (8-4)-(0-0) = 4$.

Pole między krzywą a osią $Ox$: rozbij na przedziały stałości znaku $f$; $P = \int |f(x)|\,dx$.

Całki krzywoliniowe — praca i cyrkulacja

Szkoła średnia

Całka krzywoliniowa pola wektorowego $\vec{F}$ wzdłuż krzywej $C$:

$$\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_a^b \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t)\,dt$$

Praca: $W=\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}$; dla pola zachowawczego: $W=\phi(B)-\phi(A)$ (niezależna od drogi).

Pole zachowawcze ↔ $\nabla\times\vec{F}=\vec{0}$ ↔ $\vec{F}=\nabla\phi$ (gradient potencjału).

Twierdzenie Greena (2D): $\oint_C Pdx+Qdy = \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$

$\vec{F}=(-y,x)$, okrąg $r=1$: $\oint Pdx+Qdy=\iint_D(1-(-1))dA=2\pi$ — cyrkulacja.

Twierdzenie Greena = dwuwymiarowy specjalny przypadek twierdzenia Stokesa.

Granica funkcji — definicja i techniki obliczania

Szkoła średnia

Definicja Heinego: $\lim_{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow$ dla każdego ciągu $x_n\to a$ (z $x_n\neq a$) mamy $f(x_n)\to L$.

Definicja Cauchy'ego: $\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0$: $0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon$.

Techniki dla $\frac{0}{0}$: upraszczaj algebrycznie (faktoryzacja, wzory WSM), mnóż przez sprzężenie.

Dla $\frac{\infty}{\infty}$: dziel przez najwyższą potęgę $x$.

Ważne granice: $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$; $\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$; $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$.

$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=4$.

$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5}=\lim_{x\to\infty}\frac{3+1/x^2}{1-5/x^2}=3$.

Forma $\frac{0}{0}$ to niedookreślona — NIE wynika z niej wartość. Zawsze próbuj uprościć. $\frac{k}{0}$ ($k\neq0$) → $\pm\infty$ lub brak granicy.

Całkowanie przez podstawienie — metoda i zastosowania

Szkoła średnia

Podstawienie $t = g(x)$, $dt = g'(x)\,dx$:

$$\int f(g(x))\cdot g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt$$

Schemat: (1) wybierz $t = g(x)$, (2) oblicz $dt$, (3) przelicz całkę na $t$, (4) scałkuj, (5) wróć do $x$.

Dla całki oznaczonej — zmień też granice: jeśli $x\in[a,b]$, to $t\in[g(a),g(b)]$.

$\int \sin(3x)\,dx$: $t=3x$, $dt=3\,dx$, $dx=\frac{dt}{3}$: $\int\frac{\sin t}{3}\,dt = -\frac{\cos t}{3}+C = -\frac{\cos 3x}{3}+C$.

$\int_0^1 x e^{x^2}\,dx$: $t=x^2$, $dt=2x\,dx$: $\frac{1}{2}\int_0^1 e^t\,dt = \frac{e-1}{2}$.

Wzorzec: jeśli widzisz pochodną czegoś pod całką — to sygnał do podstawienia.

Ciągłość funkcji — punkty i rodzaje nieciągłości

Szkoła średnia

$f$ ciągła w $a$ gdy: (1) $f(a)$ istnieje, (2) $\lim_{x\to a}f(x)$ istnieje, (3) $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

Rodzaje nieciągłości:

Usuwalna: $\lim_{x\to a}f(x)=L$, ale $f(a)\neq L$ lub nie istnieje → można „naprawić" przez definicję $f(a)=L$.
Skokowa: lewostronna $\neq$ prawostronna granica. Skok = różnica granic.
Istotna (nieokreślona): przynajmniej jedna granica jednostronna $=\pm\infty$ lub nie istnieje.

$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$: nieciągłość usuwalna w $x=1$ (granica $=2$, $f(1)$ nie istnieje).

$f(x)=\text{sgn}(x)$: skok w $x=0$ (lewa granica $-1$, prawa $+1$).

$f(x)=\frac{1}{x}$: nieciągłość istotna w $x=0$.

Funkcje: wielomian, trygonometryczne, exp, log — ciągłe na całej dziedzinie. Złożenie funkcji ciągłych — ciągłe.

Gradient, dywergencja i rotacja — operatory wektorowe

Szkoła średnia

Gradient skalara: $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)$ — kierunek najszybszego wzrostu.

Dywergencja wektora: $\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$ — "źródłowość" pola.

Rotacja: $\nabla\times\vec{F}$ — "wirkowość" pola.

Tw. dywergencji (Gaussa-Ostrogradskiego): $\oiint_S\vec{F}\cdot d\vec{A}=\iiint_V\nabla\cdot\vec{F}\,dV$

Tw. Stokesa: $\oint_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_S(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{A}$

Równania Maxwella zapisane przez $\nabla\cdot$ i $\nabla\times$ — kompaktowa notacja wektorowa ukrywa złożoność.

Całkowanie przez części — wzór i strategia

Szkoła średnia

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Pochodzi z reguły pochodnej iloczynu: $(uv)' = u'v + uv'$.

Wybór $u$ wg reguły LIATE (priorytety): Logarytm → Odwrotne trygonometryczne → Algebraiczne (wielomiany) → Trygonometryczne → Eksponencjalne.

Wybierz $u$ z wyższego priorytetu (będzie różniczkowane), $dv$ — z niższego (będzie całkowane).

$\int x e^x\,dx$: $u=x$, $dv=e^x dx$ → $du=dx$, $v=e^x$: $xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$.

$\int \ln x\,dx$: $u=\ln x$, $dv=dx$: $x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\ln x - x + C$.

Niekiedy trzeba zastosować całkowanie przez części dwukrotnie (np. $\int x^2 e^x\,dx$).

Przekształcenie Laplace'a — rozwiązywanie ODE

Szkoła średnia

$$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt$$

Kluczowe pary: $\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}$; $\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}$; $\mathcal{L}\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}}$; $\mathcal{L}\{\sin\omega t\}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$.

Pochodna: $\mathcal{L}\{f'\}=sF(s)-f(0)$ — ODE → algebraiczne równanie w $s$.

Metoda: zastos. Laplace'a → rozwiąż alg. → odwrotna transf. (przez rozwinięcie ułamkowe).

$y''-y=0$, $y(0)=1$, $y'(0)=0$: $(s^2-1)Y=s$ → $Y=\frac{s}{s^2-1}=\frac{1/2}{s-1}+\frac{1/2}{s+1}$ → $y=\frac{e^t+e^{-t}}{2}=\cosh t$.

Laplace to "alfabet" inżynierów sterowania — transmitancja, zera, bieguny, stabilność układów.

Reguła de l'Hôpitala

Szkoła średnia

Jeśli $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ daje formę $\frac{0}{0}$ lub $\frac{\infty}{\infty}$, to:

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

pod warunkiem, że ta ostatnia granica istnieje (lub jest $\pm\infty$).

Formy sprowadzalne: $0\cdot\infty=\frac{0}{1/\infty}=\frac{0}{0}$; $\infty-\infty$ — wspólny mianownik; $0^0,\,1^\infty,\,\infty^0$ — logarytmuj.

Można stosować wielokrotnie — jeśli po zastosowaniu nadal $\frac{0}{0}$, stosuj dalej.

$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}\overset{H}{=}\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}\overset{H}{=}\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}=\frac{1}{2}$.

$\lim_{x\to\infty}xe^{-x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}\overset{H}{=}\lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^x}=0$.

Różniczkuj LICZNIK i MIANOWNIK oddzielnie — NIE stosuj reguły ilorazu! Zawsze sprawdź formę nieoznaczoną przed zastosowaniem.

Całkowanie przez rozkład na ułamki proste

Szkoła średnia

Cel: $\int\frac{P(x)}{Q(x)}dx$, gdy $\deg P<\deg Q$. Rozkładamy $\frac{P}{Q}$ na sumę prostszych ułamków.

Przypadki:

Proste pierwiastki rzeczywiste: $\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}$.
Wielokrotny pierwiastek: $\frac{1}{(x-a)^2}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^2}$.
Para zespolona: $\frac{1}{x^2+px+q}=\frac{Ax+B}{x^2+px+q}$ → dopełnienie do kwadratu.

Gdy $\deg P\geq\deg Q$: najpierw dzielenie z resztą.

$\int\frac{2x+1}{x^2-x-2}dx$: $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$; $\frac{2x+1}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}$; $A=\frac{5}{3}$, $B=\frac{1}{3}$; wynik: $\frac{5}{3}\ln|x-2|+\frac{1}{3}\ln|x+1|+C$.

Wyznaczanie $A,B$: podstaw $x=a$ (zerowanie mianownika). Alternatywa: porównaj współczynniki wielomianów.

Przekształcenie Fouriera — widmo i zastosowania

Szkoła średnia

$$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-2\pi i\xi t}\,dt$$

Odwrotna: $f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)e^{2\pi i\xi t}\,d\xi$

Twierdzenie splotowe: $\widehat{f*g}=\hat{f}\cdot\hat{g}$ — splot w dziedzinie czasu = iloczyn w widmowej.

DFT/FFT: dyskretna wersja, algorytm FFT $O(N\log N)$ — podstawa cyfrowego przetwarzania sygnałów.

Zastosowania: kompresja JPEG, MP3, filtrowanie sygnałów, MRI, spektroskopia NMR.

Zasada nieoznaczoności Heisenberga to matematyczna konsekwencja TF: $\Delta t\cdot\Delta\xi\ge\frac{1}{4\pi}$.

Reguła de l'Hôpitala — granice nieokreślone

Szkoła średnia

Jeśli $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$ lub $\pm\infty$, to (pod warunkiem istnienia prawej strony):

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Postacie nieokreślone: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$, $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$.

Dla $0\cdot\infty$: przekształć do $\frac{f}{1/g}$ lub $\frac{g}{1/f}$, potem stosuj regułę.

$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1} = 1$.

$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} = 0$ (logarytm rośnie wolniej niż liniowo).

Regułę można stosować wielokrotnie, ale sprawdź za każdym razem, czy wciąż mamy postać $\frac{0}{0}$ lub $\frac{\infty}{\infty}$.

Długość łuku krzywej

Szkoła średnia

Postać jawna $y=f(x)$, $x\in[a,b]$: $L=\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$.

Postać parametryczna $(x(t),y(t))$, $t\in[\alpha,\beta]$: $L=\displaystyle\int_\alpha^\beta\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt$.

Postać biegunowa $r=r(\varphi)$: $L=\displaystyle\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{r^2+(r')^2}\,d\varphi$.

Idea: łuk ≈ suma małych ciotek $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+(y')^2}\,dx$.

$y=\frac{2}{3}x^{3/2}$, $x\in[0,4]$: $y'=x^{1/2}$; $L=\int_0^4\sqrt{1+x}\,dx=\bigl[\frac{2}{3}(1+x)^{3/2}\bigr]_0^4=\frac{2}{3}(5^{3/2}-1)=\frac{2}{3}(5\sqrt{5}-1)\approx7{,}09$.

Całka najczęściej nieelementarna — stosuj podstawienie lub numerykę. Sprawdź: obwód koła: $x=r\cos t$, $y=r\sin t$ → $L=2\pi r$. ✓

Elipsa — równanie kanoniczne i własności

Szkoła średnia

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a > b > 0$$

Ogniska: $F_1(-c,0)$, $F_2(c,0)$, gdzie $c^2=a^2-b^2$. Dla każdego punktu $P$ na elipsie: $|PF_1|+|PF_2|=2a$.

Półoś wielka $a$ (na osi $Ox$), półoś mała $b$ (na osi $Oy$).

Mimośród: $e = \frac{c}{a} \in (0,1)$. Dla $e\to0$ → okrąg; $e\to1$ → bardzo wydłużona.

Pole elipsy: $P = \pi ab$. Obwód: nie ma prostego wzoru (całka eliptyczna).

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$: $a=5$, $b=3$, $c=4$, $e=\frac{4}{5}$, ogniska $(\pm4,0)$, $P=15\pi$.

Orbity planet to elipsy (I prawo Keplera) — Słońce w jednym ognisku.

Całki niewłaściwe — zbieżność

Szkoła średnia

$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,dx$ — całka niewłaściwa I rodzaju.

Jeśli $f$ nieograniczona w $a$: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx$ — II rodzaju.

Kryterium porównawcze: jeśli $0\leq f\leq g$ i $\int g$ zbiega, to $\int f$ też zbiega.

Całka $\int_1^\infty x^{-p}dx$: zbiega dla $p>1$; rozbieżna dla $p\leq1$.

Całka $\int_0^1 x^{-p}dx$: zbiega dla $p<1$; rozbieżna dla $p\geq1$.

$\int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx=\lim_{b\to\infty}\bigl[-\frac{1}{x}\bigr]_1^b=0+1=1$ ✓ (zbieżna).

$\int_1^\infty\frac{1}{x}dx=\lim_{b\to\infty}\ln b=+\infty$ (rozbieżna).

$\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}[2\sqrt{x}]_\varepsilon^1=2$ ✓.

Całka $\int_1^\infty$ od $1/x^p$: „$p>1$ → zbieżna". Całka $e^{-x}$ na $[0,\infty)$ zawsze zbiega (eksponenta bije potęgi).

Hiperbola i parabola — równania i własności

Szkoła średnia

Hiperbola: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$; $c^2=a^2+b^2$; $|PF_1|-|PF_2|=\pm2a$.

Asymptoty: $y=\pm\frac{b}{a}x$; mimośród $e=\frac{c}{a}>1$.

Parabola: $y^2=2px$ (otwarta w prawo); ognisko $F(\frac{p}{2},0)$; kierownica $x=-\frac{p}{2}$.

Definicja paraboli: $|PF|=d(P, \text{kierownica})$.

Parabola $y=ax^2+bx+c$: wierzchołek $(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})$; ognisko w $\frac{1}{4a}$ od wierzchołka.

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$: $a=2$, $b=3$, asymptoty $y=\pm\frac{3}{2}x$.

Krzywe stożkowe to przekroje stożka: okrąg ($e=0$), elipsa, parabola ($e=1$), hiperbola ($e>1$).

Iloczyn skalarny i wektorowy wektorów w R³

Szkoła średnia

Iloczyn skalarny: $\vec{u}\cdot\vec{v} = u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$

Iloczyn wektorowy: $\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}$; $|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta$

$\vec{u}\cdot\vec{v}=0 \Leftrightarrow$ prostopadłe; $\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0} \Leftrightarrow$ równoległe.

$|\vec{u}\times\vec{v}|$ = pole równoległoboku rozpiętego przez $\vec{u}$ i $\vec{v}$.

Trójskalar mieszany: $\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})$ = objętość równoległościanu.

$\vec{u}=[1,2,3]$, $\vec{v}=[4,5,6]$: $\vec{u}\cdot\vec{v}=4+10+18=32$. $\vec{u}\times\vec{v}=[2\cdot6-3\cdot5,\ldots]=[-3,6,-3]$.

Iloczyn wektorowy nie jest przemienny: $\vec{u}\times\vec{v}=-\vec{v}\times\vec{u}$.

Równania różniczkowe — czynnik całkujący

Szkoła średnia

Liniowe RR rzędu I: $y'+P(x)y=Q(x)$.

Czynnik całkujący: $\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$.

Mnożymy obie strony przez $\mu$: $(\mu y)'=\mu Q(x)$, stąd $y=\frac{1}{\mu}\int\mu Q\,dx+\frac{C}{\mu}$.

Jednorodne: $y'+P(x)y=0\Rightarrow y=Ce^{-\int P\,dx}$.

Niejednorodne: $y=y_{ogólne}=y_{jednorodne}+y_{szczególne}$.

Alternatywa: metoda zmiennych stałych — w $y_j$ zastąp stałą $C$ funkcją $C(x)$.

$y'+2y=e^x$: $\mu=e^{2x}$; $(e^{2x}y)'=e^{3x}$; $e^{2x}y=\frac{1}{3}e^{3x}+C$; $y=\frac{e^x}{3}+Ce^{-2x}$.

Sprawdź przez podstawienie. $y'+P(x)y=0$ jest liniowe jednorodne: zawsze rozdzielenie zmiennych też działa: $\frac{dy}{y}=-P\,dx$.

Funkcja wykładnicza — definicja i własności

Szkoła średnia

Definicja: $f(x) = a^x$, gdzie $a > 0$, $a \neq 1$, $x \in \mathbb{R}$.
Własności: dziedzina $\mathbb{R}$, zbiór wartości $(0, +\infty)$, $f(0)=1$, $f(1)=a$.
Równanie $a^x = b$ ma rozwiązanie: $x = \log_a b$ (dla $b > 0$).

Prosto mówiąc: Wykładnicza opisuje wzrost/spadek geometryczny — zdwajanie co pewien czas (np. bakterie) lub rozpad (np. radioaktywny). "Wykładnik to nieznana" — różnica od potęgi $x^2$, gdzie wykładnik jest stały.

Monotoniczność:

$a > 1$: rosnąca; $\lim_{x\to-\infty}a^x=0$, $\lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty$
$0 < a < 1$: malejąca; $\lim_{x\to-\infty}a^x=+\infty$, $\lim_{x\to+\infty}a^x=0$

Naturalna baza: $e \approx 2{,}718$; $f(x)=e^x$ — podstawa analizy matematycznej.
Prawa działań: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$; $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$; $(a^m)^n=a^{mn}$.

Przykład: Rozwiąż $2^{2x-1} = 8$.

$8 = 2^3$, więc $2^{2x-1} = 2^3$
$2x-1=3 \Rightarrow x=2$

⚡ Zapamiętaj: $a^x > 0$ zawsze (wykładnicza nigdy nie jest zerem!). Czas podwojenia przy wzroście geometrycznym: $T = \dfrac{\ln 2}{\ln a}$ (np. dla $a=2$: $T=1$, dla $a=1{,}07$: $T\approx10{,}2$ lat).

Prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa

Szkoła średnia

Prawdopodobieństwo warunkowe: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$$ "Prawdopodobieństwo $A$ pod warunkiem $B$" — zawężamy przestrzeń zdarzeń do $B$.
Zdarzenia niezależne: $A \perp B \Leftrightarrow P(A|B) = P(A) \Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)$.

Wzór na prawdopodobieństwo całkowite: $$P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|H_i)\cdot P(H_i)$$ gdzie $H_1,\ldots,H_n$ — zupełny układ zdarzeń (parami rozłączne, suma = $\Omega$).
Wzór Bayesa: $$P(H_k|A) = \frac{P(A|H_k)\cdot P(H_k)}{\sum_{i=1}^n P(A|H_i)\cdot P(H_i)}$$ Aktualizuje prawdopodobieństwo hipotezy po zaobserwowaniu zdarzenia.

Przykład: Fabryki I, II, III produkują 50%, 30%, 20% towaru. Braki: 2%, 3%, 5%. Losowy towar jest wadliwy — jakie P, że pochodzi z fabryki III?

$P(W) = 0{,}5\cdot0{,}02+0{,}3\cdot0{,}03+0{,}2\cdot0{,}05 = 0{,}01+0{,}009+0{,}01=0{,}029$
$P(III|W) = \dfrac{0{,}2\cdot0{,}05}{0{,}029} = \dfrac{0{,}01}{0{,}029} \approx 34{,}5\%$

⚡ Zapamiętaj: Wzór Bayesa to podstawa uczenia maszynowego, filtrów antyspamowych i diagnostyki medycznej. "Prawdopodobieństwo apriori" (przed) vs "aposteriori" (po obserwacji).

Układy równań różniczkowych liniowych

Szkoła średnia

$\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$, gdzie $A$ — macierz $n\times n$, $\mathbf{x}=[x_1,\ldots,x_n]^T$.

Metoda wartości własnych: jeśli $Av=\lambda v$, to $\mathbf{x}(t)=Ce^{\lambda t}v$ jest rozwiązaniem.

Rozwiązanie ogólne (różne wartości własne $\lambda_1,\lambda_2$): $\mathbf{x}=C_1e^{\lambda_1t}v_1+C_2e^{\lambda_2t}v_2$.

Stabilność: $\text{Re}(\lambda)<0$ → rozwiązanie maleje do $0$ (stabilne); $>0$ → rośnie (niestabilne).

Sprzężone zespolone $\lambda=\alpha\pm\beta i$: rozwiązania $e^{\alpha t}\cos(\beta t)$, $e^{\alpha t}\sin(\beta t)$.

$\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\mathbf{x}$: $\lambda_1=3$, $v_1=[1,1]^T$; $\lambda_2=1$, $v_2=[1,-1]^T$; $\mathbf{x}=C_1e^{3t}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+C_2e^{t}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$.

Punkt stały $\mathbf{x}=0$: węzeł (realne $\lambda$), spirala (zespolone $\lambda$), środek (czysto urojone). Stabilność → lewy półpłaszczyzna.

Wielomiany — definicja, stopień i pierwiastki

Szkoła średnia

Definicja: Wielomian stopnia $n$ to wyrażenie postaci: $$W(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0, \quad a_n \neq 0$$ gdzie $a_i \in \mathbb{R}$ — współczynniki, $n \in \mathbb{N}$ — stopień wielomianu.

Liczba $x_0$ jest pierwiastkiem wielomianu $W$, jeśli $W(x_0) = 0$. Twierdzenie Bezouta: $(x - x_0) \mid W(x) \Leftrightarrow W(x_0) = 0$.

Prosto mówiąc: Wielomian to suma potęg $x$ pomnożonych przez liczby (współczynniki). Stopień to najwyższa potęga. Pierwiastek to "zerowe miejsce" — gdzie wykres przecina oś $OX$.

Działania na wielomianach:

Dodawanie/odejmowanie: zbierz wyrazy podobne (te same potęgi $x$)
Mnożenie: każdy wyraz przez każdy (rozdzielność)
Dzielenie: algorytm dzielenia wielomianów lub tw. Bezout
Schemat Hornera: szybkie obliczanie wartości i dzielenie

Przykład: $W(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$. Sprawdź, czy $x_0 = 1$ jest pierwiastkiem.

$W(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓
Dzielimy przez $(x-1)$: $W(x) = (x-1)(x^2-5x+6) = (x-1)(x-2)(x-3)$
Pierwiastki: $x = 1, 2, 3$

⚡ Zapamiętaj: Wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków rzeczywistych (ale może mieć mniej — np. $x^2 + 1 = 0$ nie ma pierwiastków rzeczywistych).

Optymalizacja wielowymiarowa — gradient i warunki KKT

Szkoła średnia

Minimum lokalne $f(x,y)$: $\nabla f=\vec{0}$ (warunek konieczny bez więzów).

Kryterium drugiego rzędu: macierz Hessego $H$ dodatnio określona → minimum; ujemnie → maksimum; nieokreślona → siodło.

Warunki KKT (Karush-Kuhn-Tucker) dla optimum z więzami $g_i(x)\le0$:

$\nabla f+\sum\lambda_i\nabla g_i=0$; $\lambda_i\ge0$; $\lambda_i g_i=0$ (komplementarność).

Mnożniki Lagrange'a: $\nabla f=\lambda\nabla g$ dla więzów równościowych $g(x)=0$.

Max $xy$ przy $x+y=10$: $y=\lambda$, $x=\lambda$, $x+y=10$ → $x=y=5$, max $=25$.

KKT to fundamenty uczenia maszynowego: SVM (Support Vector Machine) rozwiązuje dokładnie ten problem.

Metoda trapezów i Simpsona — całkowanie numeryczne

Szkoła średnia

Przybliżone obliczanie $\int_a^b f(x)\,dx$ gdy brak funkcji pierwotnej lub zbyt złożona.

Metoda trapezów: $T_n = h\left[\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)\right]$, $h=\frac{b-a}{n}$

Błąd: $O(h^2)$.

Metoda Simpsona ($n$ parzyste): $S_n = \frac{h}{3}\left[f(a)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\ldots+f(b)\right]$

Błąd: $O(h^4)$ — dokładniejsza od trapezów.

Simpsonowi odpowiadają parabole przybliżające $f$ na kolejnych parach przedziałów.

$\int_0^1 e^{-x^2}dx$ (nie ma funkcji pierwotnej w elementarnej postaci): Simpson 4 kroki daje $\approx0{,}7468$.

Praktyka: biblioteki numeryczne (scipy, MATLAB) stosują adaptacyjne metody Simpsona z automatyczną kontrolą błędu.

Całki wielokrotne — Fubini i zamiana kolejności

Szkoła średnia

Twierdzenie Fubiniego: $\iint_D f(x,y)\,dA = \int_a^b\left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\right)dx$

Zamiana kolejności całkowania — gdy granice zależne od obu zmiennych, niekiedy upraszcza obliczenia.

Współrzędne biegunowe: $\iint_D f\,dA = \int\int f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta$.

Objętość: $V=\iint_D[f(x,y)-g(x,y)]\,dA$ (między dwiema powierzchniami).

$\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}dy\,dx$: zamiana kolejności → $\int_0^1\int_0^y e^{y^2}dx\,dy=\int_0^1 ye^{y^2}dy=\frac{e-1}{2}$.

Zmiana kolejności całkowania często odblokowuje nieciągłe całki — $\int e^{y^2}dy$ nie istnieje w elementarnej postaci.

Granica i ciągłość funkcji — definicja Cauchy'ego

Szkoła średnia

Definicja $\varepsilon$-$\delta$ (Cauchy): $\lim_{x\to a} f(x) = L$ gdy:

$$\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0:\; 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$$

Ciągłość w punkcie $a$: $\lim_{x\to a^-}f(x) = \lim_{x\to a^+}f(x) = f(a)$.

Nieciągłości: usuwalna ($\lim$ istnieje, ale $\ne f(a)$), skokowa (granice jednostronne różne), istotna (brak granicy).

Tw. Weierstrassa: funkcja ciągła na $[a,b]$ osiąga max i min. Tw. Darboux (wartości pośredniej): $f(a)<0

Wielomiany, funkcje trygonometryczne, wykładnicze — ciągłe wszędzie. $\frac{1}{x}$ — nieciągła w $x=0$.

Całki niewłaściwe — zbieżność i dywergencja

Szkoła średnia

Całka niewłaściwa (nieskończona granica): $\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx$

Całka niewłaściwa (osobliwość): $\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx$

Kryterium porównawcze: jeśli $0 \le f(x) \le g(x)$ i $\int g$ zbiega → $\int f$ zbiega.

$\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx$ zbiega dla $p > 1$, dywerguje dla $p \le 1$.

$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^\infty = 0-(-1)=1$. $\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx = \ln\infty = \infty$ (dywerguje).

"Parasolka harmoniczna" $\frac{1}{x}$ dywerguje, mimo że $\frac{1}{x} \to 0$. Szybkość dążenia do 0 ma znaczenie.

Delta Diraca i rozkłady — wstęp do analizy funkcjonalnej

Szkoła średnia

Delta Diraca $\delta(x)$: "funkcja" taka że $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,dx=1$ i $\delta(x)=0$ dla $x\ne0$.

Własność przesiewająca: $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-a)\,dx=f(a)$.

Formalnie: $\delta$ to rozkład (functional), nie funkcja. Granica gaussiana: $\delta(x)=\lim_{\sigma\to0}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2\sigma^2}$.

$\mathcal{F}\{\delta(x)\}=1$ (płaskie widmo); $\mathcal{F}\{1\}=\delta(\xi)$.

Zastosowania: odpowiedź impulsowa układów, ładunek punktowy, siła udarowa.

"Idealny impuls" w czasie — puls prostokątny coraz węższy i wyższy zachowując pole = 1 → delta.

Pochodne wyższych rzędów i wzór Leibniza

Szkoła średnia

$f^{(n)}(x)$ — $n$-ta pochodna. Jeśli $f^{(2)}>0$ → wypukła (concave up); $f^{(2)}<0$ → wklęsła.

Wzór Leibniza na $n$-tą pochodną iloczynu:

$$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}$$

Analogia do dwumianu Newtona — współczynniki te same.

Wzory: $(e^x)^{(n)}=e^x$; $(\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}{2})$; $(x^m)^{(n)}=\frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}$ ($n\le m$).

$(x^2 e^x)^{(3)}$: wz. Leibniza → $x^2e^x+3\cdot2x\cdot e^x+3\cdot2\cdot e^x = e^x(x^2+6x+6)$.

$f^{(n)}(x_0)=0$ dla wszystkich $n$ nie gwarantuje że $f\equiv0$ (przykład: $e^{-1/x^2}$ w $x=0$).

Funkcja logarytmiczna — definicja i własności

Szkoła średnia

Definicja: $f(x) = \log_a x$, gdzie $a > 0$, $a \neq 1$, $x > 0$.
Funkcja odwrotna do $a^x$: $\log_a(a^x) = x$ i $a^{\log_a x} = x$.
Dziedzina: $(0,+\infty)$; zbiór wartości: $\mathbb{R}$; $f(1)=0$, $f(a)=1$.

Prosto mówiąc: $\log_a b$ odpowiada na pytanie: "Do jakiej potęgi podnieść $a$, żeby dostać $b$?". $\log_2 8 = 3$, bo $2^3=8$.

Wzory logarytmiczne:

$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
$\log_a\dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$
$\log_a x^n = n\log_a x$
Zmiana podstawy: $\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a} = \dfrac{\ln x}{\ln a}$

Szczególne: $\lg x = \log_{10} x$; $\ln x = \log_e x$ (logarytm naturalny).

Przykład: Rozwiąż $\log_3(2x+1) = 2$.

Warunek dziedziny: $2x+1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}$
$2x+1 = 3^2 = 9 \Rightarrow x = 4$
$x=4 > -\frac{1}{2}$ ✓

⚡ Zapamiętaj: Zawsze sprawdzaj dziedzinę! Wyrażenie pod logarytmem musi być $> 0$. Równanie $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ oznacza $f(x)=g(x)$ PLUS warunek $f(x)>0$ i $g(x)>0$.

Krzywe i krzywizna — geometria różniczkowa

Szkoła średnia

Krzywizna krzywej: $\kappa = \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$ (dla $y=f(x)$).

Promień krzywizny: $R=\frac{1}{\kappa}$. Środek krzywizny: centrum oscylującego okręgu.

Parametrycznie: $\kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$.

Dla okręgu $r$: $\kappa=\frac{1}{r}$ (stała). Dla prostej: $\kappa=0$.

Ewoluta: zbiór środków krzywizny krzywej — nowa krzywa.

Zastosowania: projektowanie dróg (łuki), tor lotu satelity, optyka (korekcja aberracji).

Parabola $y=x^2$: $y'=2x$, $y''=2$; $\kappa(0)=\frac{2}{1}=2$; $R=0{,}5$ — bardzo zakrzywiona w wierzchołku.

Na autostradzie łuki kołowe łączy się klotoidą (Euler spiral) — $\kappa$ rośnie liniowo → wygodne dla kierowcy.

Funkcja złożona — definicja i obliczenia

Szkoła średnia

Definicja: Złożenie funkcji $g\circ f$: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$. Dziedzina złożenia: $\{x\in D_f : f(x)\in D_g\}$. Złożenie nie jest na ogół przemienne: $g\circ f \neq f\circ g$.

Prosto mówiąc: Wynik jednej funkcji staje się argumentem drugiej. Jak "rura": wchodzi $x$, przechodzi przez $f$, wynik idzie do $g$, wychodzi $g(f(x))$.

Zastosowanie:

Reguła łańcuchowa w różniczkowaniu
Zmiana zmiennej w całkowaniu
Programowanie funkcyjne (compose)

Przykład: $f(x)=x^2+1$, $g(x)=\sqrt{x}$. $(g\circ f)(x)=\sqrt{x^2+1}$ (dziedzina: $\mathbb{R}$). $(f\circ g)(x)=(\sqrt{x})^2+1=x+1$ (dziedzina: $x\geq0$). Wyniki różne!

⚡ Zapamiętaj: $(g\circ f)(x)$ czytamy "g po f" — najpierw $f$, potem $g$. Kolejność ważna! Sprawdź dziedzinę złożenia.

Funkcja odwrotna — kiedy istnieje i jak ją wyznaczać

Szkoła średnia

Definicja: Funkcja $f^{-1}$ odwrotna do $f$ istnieje, gdy $f$ jest różnowartościowa (bijekcja). Wyznaczanie: zamień $x$ i $y$, a następnie wyrażenie wyraź $y$. $D_{f^{-1}}=Z_f$, $Z_{f^{-1}}=D_f$.

Prosto mówiąc: $f^{-1}$ "cofa" działanie $f$. Jeśli $f(3)=7$, to $f^{-1}(7)=3$. Wykresy $f$ i $f^{-1}$ są symetryczne względem $y=x$.

Zastosowanie:

$\ln$ jako odwrotność $e^x$
$\arcsin$ jako odwrotność $\sin$ (na odpowiednim przedziale)
Kryptografia (klucz publiczny i prywatny)

Przykład: $f(x)=2x+3$. Zamiana: $y=2x+3\to x=2y+3\to y=\tfrac{x-3}{2}$. Więc $f^{-1}(x)=\tfrac{x-3}{2}$. Sprawdzenie: $f(f^{-1}(x))=2\cdot\tfrac{x-3}{2}+3=x$ ✓

⚡ Zapamiętaj: Warunek istnienia: funkcja musi być różnowartościowa (każda wartość tylko raz). Funkcja kwadratowa na całej dziedzinie NIE ma odwrotności (bez ograniczenia dziedziny).

Funkcje hiperboliczne — sinh, cosh, tanh

Szkoła średnia

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$, $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$

Tożsamość: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (analogia do $\cos^2+\sin^2=1$).

Pochodne: $(\sinh x)' = \cosh x$, $(\cosh x)' = \sinh x$, $(\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x}$

$\cosh x$ — krzywa łańcuchowa (zwisający łańcuch, kabel).

Całka: $\int \sinh x\,dx = \cosh x + C$. $\cosh(0)=1$, $\sinh(0)=0$.

Różnica od trig: $(\cosh x)' = +\sinh x$ (nie $-\cosh x$). Funkcje hiperboliczne nie są periodyczne.

Przekształcenia wykresów funkcji

Szkoła średnia

Definicja: Podstawowe przekształcenia wykresu $y=f(x)$:
• $y=f(x)+c$: przesunięcie o $c$ w górę
• $y=f(x-d)$: przesunięcie o $d$ w prawo
• $y=-f(x)$: odbicie względem osi $x$
• $y=f(-x)$: odbicie względem osi $y$
• $y=af(x)$: rozciągnięcie pionowe ($a>1$) lub ściskanie ($0

Prosto mówiąc: Modyfikujesz wzór funkcji → przemieszczasz lub odkształcasz jej wykres. Reguła: modyfikacja argumentu ($x$) → zmiana pozioma; modyfikacja wartości ($y$) → zmiana pionowa.

Zastosowanie:

Rysowanie wykresów skomplikowanych funkcji
Przesunięcia i skalowania w grafice
Dopasowywanie modeli do danych

Przykład: $y=(x-2)^2+3$: parabola $y=x^2$ przesunięta 2 w prawo i 3 w górę. Wierzchołek: $(2,3)$. $y=|x+1|-2$: $y=|x|$ przesunięte 1 w lewo i 2 w dół.

⚡ Zapamiętaj: $f(x-d)$ (minus wewnątrz) → przesunięcie w PRAWO o $d$. To sprzeczne z intuicją, bo "minus" kojarzy się z lewą stroną!

Równania cząstkowe — fala, ciepło, Laplace

Szkoła średnia

Równanie falowe: $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\nabla^2 u$ — opis fal.

Równanie ciepła: $\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha\nabla^2 u$ — dyfuzja ciepła.

Równanie Laplace'a: $\nabla^2 u=0$ — pola harmoniczne (elektrostatyka, nieściśliwy przepływ).

Metoda rozdzielenia zmiennych: $u(x,t)=X(x)T(t)$ → dwa ODE.

Dla struny: $u(x,t)=\sum A_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{n\pi ct}{L}$ — fale stojące.

Rozwiązania RCP są unikalne przy odpowiednich warunkach brzeg./pocz. (tw. istnienia i jednoznaczności).

Twierdzenie Lagrange'a — wartość średnia pochodnej

Szkoła średnia

Twierdzenie Lagrange'a (wartości średniej): Jeśli $f$ jest ciągła na $[a,b]$ i różniczkowalna na $(a,b)$, to istnieje $c \in (a,b)$ takie, że:

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Geometrycznie: istnieje punkt, w którym styczna do wykresu jest równoległa do siecznej $AB$.

Twierdzenie Rolle'a (szczególny przypadek $f(a)=f(b)$): $\exists c: f'(c)=0$.

Zastosowania: dowody nierówności, szacowanie przyrostów funkcji, dowody tożsamości.

$f(x)=x^2$, $[1,3]$: $\frac{9-1}{2}=4=f'(c)=2c$ → $c=2 \in (1,3)$ ✓.

Twierdzenie gwarantuje istnienie $c$, ale nie mówi ile takich punktów jest ani gdzie dokładnie.

Badanie przebiegu zmienności funkcji — schemat

Szkoła średnia

Pełny schemat badania funkcji:

Dziedzina $D$
Parzysta/nieparzysta/brak symetrii
Miejsca zerowe
Granice i asymptoty
Pochodna $f'$ → ekstrema i monotoniczność
Pochodna $f''$ → wypukłość i punkty przegięcia
Wykres

Ekstrema: $f'(c)=0$ i zmiana znaku $f'$ → minimum lub maksimum lokalne.

Wypukłość: $f''>0$ → wypukła w górę (łuk), $f''<0$ → wklęsła.

Punkt przegięcia: $f''=0$ i zmiana znaku $f''$.

$f(x)=x^3-3x$: $f'=3x^2-3=0 \Rightarrow x=\pm 1$; $f''=6x$: min w $x=1$ (f''=6>0), max w $x=-1$.

Zawsze sprawdzaj dziedzinę przed różniczkowaniem — logarytmy i pierwiastki mają ograniczenia.

Funkcja wymierna — wykres i asymptoty

Szkoła średnia

Definicja: Funkcja $f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ (iloraz wielomianów). Asymptoty:
• Pionowa: $x=a$ gdy $Q(a)=0$ i $P(a)\neq0$
• Pozioma: $y=L$ gdy $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$
• Ukośna: $y=ax+b$ gdy $\deg P = \deg Q+1$

Prosto mówiąc: Asymptota to "niewidzialna linia", do której wykres się zbliża, ale jej nie przecina (lub przecina skończenie wiele razy). Pionowa: mianownik = 0. Pozioma: co dzieje się dla bardzo dużych $x$.

Zastosowanie:

Analiza zachowania funkcji na krańcach dziedziny
Modelowanie odpowiedzi nasyceniowych
Fizyka (opór, ciśnienie)

Przykład: $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$. Asymptota pionowa: $x=3$. Pozioma: $\lim_{x\to\infty}\tfrac{2x+1}{x-3}=2$, więc $y=2$.

⚡ Zapamiętaj: Asymptota pozioma: porównaj stopnie licznika i mianownika. Stopień LM: brak poziomej (może być ukośna).

Geometria Riemanniańska — wstęp do tensorów

Szkoła średnia

Przestrzeń Riemanniańska: rozmaitość różniczkowa z metryką $g_{\mu\nu}$ definiującą odległości i kąty lokalnie.

Element łukowy: $ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ (konwencja sumacyjna Einsteina).

Tensor jest obiektem niezależnym od układu współrzędnych — transformuje się w określony sposób.

Tensor metryczny sfery: $ds^2=R^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2)$.

Krzywizna Gaussa $K=\frac{1}{R^2}$ (sfera); $K=0$ (płaszczyzna); $K<0$ (siodło).

Twierdzenie Gauss-Bonnet: $\iint_S K\,dA=2\pi\chi$ ($\chi$ — charakterystyka Eulera).

OTW Einsteina opisuje grawitację jako krzywizną 4D przestrzeni Riemanniańskiej — tensor krzywizny Ricciego.

Twierdzenie zasadnicze RR — związek pochodnej z całką

Szkoła średnia

Część I: Jeśli $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$, to $F'(x) = f(x)$ — całkowanie i różniczkowanie są odwrotne.

Część II: Newton-Leibniz: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$ dla dowolnej funkcji pierwotnej $F$.

Konsekwencja: $\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)}f(t)\,dt = f(g(x))\cdot g'(x)$ (reguła łańcuchowa + część I).

$F(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,dt$: $F'(x) = \sin(x^2)$ (choć $\int\sin(t^2)dt$ nie ma elementarnej postaci).

$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}e^t dt = e^{x^2}\cdot 2x$.

To twierdzenie łączy dwa pozornie niezależne pojęcia: tangens (pochodna) i pole (całka).

Ekstremum lokalne funkcji — warunki

Szkoła średnia

Definicja: Funkcja $f$ ma minimum lokalne w $x_0$, jeśli $f(x_0)\leq f(x)$ dla $x$ z otoczenia $x_0$. Warunek konieczny: $f\'(x_0)=0$ (punkt krytyczny). Warunek dostateczny: zmiana znaku $f\'$ z $-$ na $+$ (minimum) lub z $+$ na $-$ (maksimum).

Prosto mówiąc: Ekstrema to "górki" i "doliny" wykresu. W ekstremum pochodna = 0 (lub nie istnieje). Sprawdzaj zmianę znaku pochodnej.

Zastosowanie:

Optymalizacja — szukanie optymalnych wartości
Analiza rentowności, minimalnych kosztów
Fizyka — stany równowagi

Przykład: $f(x)=x^3-3x$. $f\'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. $f\'=0$: $x=1$ i $x=-1$. Znak: $f\'<0$ na $(-1,1)$, $f\'>0$ poza. $x=-1$ maks. lokalne, $x=1$ min. lokalne.

⚡ Zapamiętaj: Punkt krytyczny (f\'=0) to tylko "kandydat" na ekstremum. Sprawdź zmianę znaku lub $f\'\'(x_0)$: $>0$ → minimum, $<0$ → maksimum.

Geometria analityczna — prosta i okrąg

Szkoła średnia

Równanie prostej:

Ogólne: $ax + by + c = 0$
Kierunkowe: $y = mx + b$, gdzie $m = \tan\alpha$ — współczynnik kierunkowy
Odcinkowe: $\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1$, gdzie $p, q$ — odcinki na osiach

Równanie okręgu o środku $(a, b)$ i promieniu $r$: $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$

Prosto mówiąc: Geometria analityczna łączy algebrę z geometrią — każda figura ma swoje równanie, każde równanie ma swój wykres. Prosta to linia, okrąg to zbiór punktów w tej samej odległości od środka.

Ważne wzory:

Odległość punktów $A(x_1,y_1)$ i $B(x_2,y_2)$: $|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
Środek odcinka: $M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$
Proste równoległe: $m_1 = m_2$; prostopadłe: $m_1 \cdot m_2 = -1$
Odległość punktu $(x_0,y_0)$ od prostej $ax+by+c=0$: $d = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Przykład: Czy punkt $P(3, 4)$ leży na okręgu $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 8$?

$(3-1)^2 + (4-2)^2 = 4 + 4 = 8$ ✓
Tak, punkt $P$ leży na okręgu.

⚡ Zapamiętaj: Dwie proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe spełniające $m_1 \cdot m_2 = -1$, np. $m_1 = 2$ i $m_2 = -\frac{1}{2}$. Wyjątek: prosta pionowa ($x = c$) nie ma współczynnika $m$.

Krzywe eliptyczne — geometria i zastosowania

Szkoła średnia

Krzywa eliptyczna: $y^2=x^3+ax+b$ (gdy $4a^3+27b^2\neq0$ — gładka, bez osobliwości).

Prawo grupy: dla trzech współliniowych punktów $P+Q+R=\mathcal{O}$ (punkt w nieskończoności).

Dodawanie punktów: $P+Q$ = symetria punktu przecięcia prostej $PQ$ z krzywą względem osi $x$.

Kryptografia ECC: bezpieczeństwo opiera się na trudności dyskretnego logarytmu na krzywej: znając $P$ i $nP$, znajdź $n$ (trudne).

Bitcoin/Ethereum: secp256k1 ($y^2=x^3+7$, ciało $\mathbb{F}_p$, 256-bitowe). ECDSA podpis cyfrowy.

Klucz ECC 256-bit $\approx$ bezpieczeństwo RSA 3072-bit → dużo krótsze klucze przy tym samym poziomie ochrony.

„Eliptyczna" NIE = elipsa. Nazwa historyczna — pochodzi od całek eliptycznych do obliczeń obwodów elips. Struktury algebraiczne nad ciałami skończonymi.

Wyznacznik 3×3 — rozwinięcie Laplace'a i reguła Sarrusa

Szkoła średnia

Wyznacznik macierzy $3\times3$: $$\det A = \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}$$ Rozwinięcie Laplace'a wzdłuż pierwszego wiersza: $$\det A = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13}$$ gdzie $M_{ij}$ — dopełnienie algebraiczne (minor z odpowiednim znakiem $(-1)^{i+j}$).

Prosto mówiąc: Wyznacznik 3×3 to kombinacja trzech wyznaczników 2×2. Reguła Sarrusa to szybki sposób pamięciowy (trzy przekątne plusem, trzy minusem). Wyznacznik mierzy geometrycznie objętość równoległościanu zbudowanego na wierszach macierzy.

Reguła Sarrusa — krok po kroku:

Przepisz obok macierzy jej dwie pierwsze kolumny
Dodaj iloczyny trzech przekątnych „w dół" (lewo→prawo)
Odejmij iloczyny trzech przekątnych „w górę" (lewo→prawo)

Zastosowania wyznacznika: macierz odwrotna, układ Cramera, pole równoległoboku, test liniowej niezależności wektorów, wzór na pole trójkąta ze współrzędnych.

Oblicz: $$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix} = 1(5\cdot9-6\cdot8) - 2(4\cdot9-6\cdot7) + 3(4\cdot8-5\cdot7)$$ $$= 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) = -3+12-9 = 0$$ Wyznacznik = 0 → macierz jest osobliwa (wiersze liniowo zależne).

⚡ Zapamiętaj: Reguła znaków dla rozwinięcia: $+ - + \;/\; - + - \;/\; + - +$ (szachownica). $\det = 0$ ↔ macierz nie ma odwrotności. Iloczyn macierzy: $\det(AB) = \det A \cdot \det B$.

Monotoniczność funkcji — warunki z pochodną

Szkoła średnia

Definicja: • $f\'(x)>0$ na przedziale $(a,b)$ → $f$ rosnąca na $(a,b)$
• $f\'(x)<0$ na $(a,b)$ → $f$ malejąca na $(a,b)$
• $f\'(x)=0$ na $(a,b)$ → $f$ stała na $(a,b)$

Prosto mówiąc: Pochodna mówi o "nachyleniu" wykresu. Pochodna dodatnia = wykres idzie w górę. Ujemna = w dół. Zero = poziomo.

Zastosowanie:

Wyznaczanie przedziałów monotoniczności
Analiza trendów wzrostowych i spadkowych
Ekonomia — kiedy przychód rośnie

Przykład: $f(x)=x^2-4x+1$. $f\'=2x-4$. $f\'>0$: $x>2$ (rosnąca). $f\'<0$: $x<2$ (malejąca). Minimum w $x=2$: $f(2)=-3$.

⚡ Zapamiętaj: Wyznacz $f\'$, rozwiąż $f\'>0$ i $f\'<0$. To daje przedziały monotoniczności. Na granicy tych przedziałów (gdzie $f\'=0$) — kandydaci na ekstremum.

Szereg Taylora i Maclaurina — rozwinięcia funkcji

Szkoła średnia

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \quad \text{(Taylor wokół } a\text{)}$$ $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \quad \text{(Maclaurin: }a=0\text{)}$$

Podstawowe rozwinięcia:

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots$ (wszystkie $x$)

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots$

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots$ ($|x|<1$)

Dla małych $x$: $\sin x \approx x$, $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$, $e^x \approx 1+x$ — aproksymacje liniowe i kwadratowe.

Asymptoty — znajdowanie dla złożonych funkcji

Szkoła średnia

Definicja: Asymptota ukośna $y=ax+b$: $a=\lim_{x\to\infty}\tfrac{f(x)}{x}$, $b=\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)$. Funkcja może przecinać swoją asymptotę poziomą lub ukośną — ale asymptoty pionowej nie.

Prosto mówiąc: Asymptota to "kierunek w nieskończoność". Wykres zbliża się do tej linii jak $x\to\pm\infty$ lub jak $x\to a$.

Zastosowanie:

Pełna analiza wykresu funkcji
Szkicowanie wykresów bez użycia technologii
Modelowanie zachowań granicznych

Przykład: $f(x)=\tfrac{x^2+1}{x}=x+\tfrac{1}{x}$. $a=\lim \tfrac{x^2+1}{x^2}=1$. $b=\lim(\tfrac{x^2+1}{x}-x)=\lim\tfrac{1}{x}=0$. Asymptota ukośna: $y=x$. Plus asymptota pionowa $x=0$.

⚡ Zapamiętaj: Schemat szukania asymptoty ukośnej: podziel wielomian (dzielenie wielomianów), iloraz daje $ax+b$, reszta dąży do 0.

Miejsca zerowe a wykres funkcji

Szkoła średnia

Definicja: Miejsce zerowe funkcji $f$ to takie $x_0$, że $f(x_0)=0$. Na wykresie: punkt przecięcia z osią OX. Liczba miejsc zerowych informuje o liczbie pierwiastków rzeczywistych równania $f(x)=0$.

Prosto mówiąc: Gdzie wykres "krzyżuje" oś poziomą — tam jest miejsce zerowe. Funkcja kwadratowa może mieć 0, 1 lub 2 miejsca zerowe w zależności od wyróżnika.

Zastosowanie:

Rozwiązywanie równań graficznie
Faktoryzacja wielomianów
Analiza modeli fizycznych (równowaga)

Przykład: $f(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)$. Miejsca zerowe: $x=0, 1, -1$. Wykres przecina OX w trzech punktach. Twierdzenie Rolle'a: między zerami jest ekstremum.

⚡ Zapamiętaj: Wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ miejsc zerowych w $\mathbb{R}$. Nieparzyste stopnie mają zawsze co najmniej jedno.

Pochodna uwikłana — różniczkowanie uwikłane

Szkoła średnia

Gdy $y$ jest określone uwikłanie przez $F(x,y)=0$, różniczkujemy obie strony po $x$:

$$\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot y' = 0 \implies y' = -\frac{F_x}{F_y}$$

Praktycznie: traktuj $y$ jako funkcję $x$ i stosuj regułę łańcuchową wszędzie, gdzie pojawia się $y$.

$x^2+y^2=r^2$: $2x+2y\,y'=0 \Rightarrow y'=-\frac{x}{y}$.

$x^3+y^3=6xy$: $3x^2+3y^2 y' = 6y+6x y'$ → $y'=\frac{6y-3x^2}{3y^2-6x} = \frac{2y-x^2}{y^2-2x}$.

Różniczkowanie uwikłane = zwykłe różniczkowanie + reguła łańcuchowa dla każdego $y$.

Funkcja kwadratowa — analiza pełna (postaci, wierzchołek)

Szkoła średnia

Definicja: $f(x)=ax^2+bx+c$ — postać ogólna. Postać kanoniczna: $f(x)=a(x-p)^2+q$, wierzchołek $W=(p,q)$, gdzie $p=-\tfrac{b}{2a}$, $q=f(p)$. Postać iloczynowa (gdy istnieje): $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Prosto mówiąc: Parabola: oś symetrii w $x=p$, najniższy (min) lub najwyższy (maks) punkt to wierzchołek. Trzy różne "twarze" tego samego wzoru.

Zastosowanie:

Wyznaczanie maksimum/minimum
Rzut ukośny (tor jako parabola)
Optymalizacja (zysk, powierzchnia)

Przykład: $f(x)=2x^2-8x+6$. $p=\tfrac{8}{4}=2$, $q=2\cdot4-16+6=-2$. Wierzchołek $(2,-2)$. Postać kanoniczna: $2(x-2)^2-2$. Postać iloczynowa: $2(x-1)(x-3)$ ($x_{1,2}=1,3$).

⚡ Zapamiętaj: Trzy postaci służą różnym celom. Kanoniczna → wierzchołek. Iloczynowa → miejsca zerowe. Ogólna → współczynniki. Umiej je wszystkie zamieniać.

Funkcje trygonometryczne — definicje jednostkowe

Szkoła średnia

Definicja: Na okręgu jednostkowym punkt $P$ o kącie $\alpha$: $P=(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Stąd: $\tan\alpha=\tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\cot\alpha=\tfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Dla kąta w trójkącie prostokątnym: sin = naprzeciwko/przeciwprostokątna, cos = przyległy/przeciwprostokątna.

Prosto mówiąc: Wyobraź sobie punkt chodzący po okręgu o promieniu 1. Jego współrzędna pozioma to $\cos\alpha$, pionowa to $\sin\alpha$.

Zastosowanie:

Fale i drgania
Wektory sił w fizyce
Grafika komputerowa (rotacje)

Przykład: $\sin30°=\tfrac{1}{2}$, $\cos60°=\tfrac{1}{2}$, $\tan45°=1$. Dla $135°$: $\sin135°=\sin45°=\tfrac{\sqrt2}{2}$ (sinus w II ćwiartce dodatni), $\cos135°=-\tfrac{\sqrt2}{2}$.

⚡ Zapamiętaj: Mnemotechnika ASTC (All, Sin, Tan, Cos): w I ćwiartce wszystkie dodatnie, w II tylko sin, w III tylko tan, w IV tylko cos.

Równania trygonometryczne — metody rozwiązywania

Szkoła średnia

Podstawowe rozwiązania ogólne:

$\sin x = a$ → $x = (-1)^k \arcsin a + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

$\cos x = a$ → $x = \pm \arccos a + 2k\pi$

$\tan x = a$ → $x = \arctan a + k\pi$

Techniki: podstawienie $t = \tan\frac{x}{2}$ (Weierstrass), tożsamości sumy-iloczynu, sprowadzenie do jednej funkcji.

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ — eliminacja jednej funkcji.

$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$: podstaw $t = \sin x$ → $(2t+1)(t-1)=0$ → $\sin x = -\frac{1}{2}$ lub $\sin x = 1$.

Zawsze sprawdź, czy rozwiązania należą do żądanego przedziału (np. $[0°, 360°]$).

Stereometria — bryły i ich własności

Szkoła średnia

Podstawowe bryły przestrzenne:

Graniastosłup: dwie równoległe przystające podstawy (wielokąty), boki prostokątne. Pryzmat prosty: boczne krawędzie $\perp$ podstawie.
Ostrosłup: jedna podstawa (wielokąt), wierzchołek. Piramida regularna: podstawa regularna, wierzchołek nad środkiem.
Walec: dwie kołowe podstawy, powierzchnia boczna prostopadła
Stożek: kołowa podstawa, jeden wierzchołek (szczyt)
Kula: zbiór punktów w odległości $r$ od środka

Kluczowe wzory:

Graniastosłup: $V = P_{\text{podst}} \cdot h$; $P_{\text{całk}} = 2P_{\text{podst}} + P_{\text{boczna}}$
Ostrosłup: $V = \dfrac{1}{3} P_{\text{podst}} \cdot h$
Walec: $V = \pi r^2 h$; $P_{\text{całk}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h$
Stożek: $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$; $P_{\text{całk}} = \pi r^2 + \pi r l$ ($l$ — tworząca)
Kula: $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$; $P = 4\pi r^2$

Przykład: Stożek: $r = 3$ cm, $h = 4$ cm. Oblicz objętość i tworząca $l$.

$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{9+16} = 5$ cm
$V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi \approx 37{,}7$ cm³

⚡ Zapamiętaj: Ostrosłup ma objętość $\frac{1}{3}$ graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości. Stożek ma objętość $\frac{1}{3}$ walca — ta zasada "jednej trzeciej" dotyczy wszystkich brył z wierzchołkiem.

Dziedzina i zbiór wartości funkcji

Szkoła średnia

Definicja: Dziedzina $D_f$ to zbiór wszystkich dopuszczalnych argumentów. Zbiór wartości (przeciwdziedzina) $Z_f$ to zbiór wszystkich wartości, które funkcja przyjmuje. Związek: $Z_f \subseteq$ koddziedzina.

Prosto mówiąc: Dziedzina = "co możemy włożyć". Zbiór wartości = "co wychodzi". Np. $f(x)=x^2$: dziedzina $\mathbb{R}$, zbiór wartości $[0,+\infty)$ — kwadrat nigdy nie daje ujemnej wartości.

Zastosowanie:

Wyznaczanie ograniczeń w zadaniach
Określanie sensu modeli matematycznych
Sprawdzanie poprawności obliczeń

Przykład: $f(x)=\sqrt{4-x^2}$. Dziedzina: $4-x^2\geq0$, $|x|\leq2$, $D_f=[-2,2]$. Zbiór wartości: $\sqrt{4-x^2}\in[0,2]$, $Z_f=[0,2]$. (Górna półkula okręgu o $r=2$.)

⚡ Zapamiętaj: Główne ograniczenia dziedziny: pod pierwiastkiem ≥0, w mianowniku ≠0, pod logarytmem >0. Stosuj wszystkie naraz.

Całkowanie parametryczne — pole i długość łuku krzywej

Szkoła średnia

Krzywa parametryczna: $x=x(t)$, $y=y(t)$, $t\in[a,b]$.

Długość łuku: $L = \int_a^b \sqrt{(x')^2+(y')^2}\,dt$

Pole pod krzywą: $P = \int_a^b y(t)\,x'(t)\,dt$

Okrąg $x=r\cos t$, $y=r\sin t$, $t\in[0,2\pi]$: $L = \int_0^{2\pi}\sqrt{r^2\sin^2t+r^2\cos^2t}\,dt = 2\pi r$ ✓

Cykloida $x=t-\sin t$, $y=1-\cos t$: $L_{1\text{łuk}} = 8r$.

Prędkość wzdłuż krzywej: $v = \sqrt{(\dot{x})^2+(\dot{y})^2}$ — to co pod całką w $L$.

Funkcja parzysta i nieparzysta — symetrie wykresu

Szkoła średnia

Definicja: • Funkcja parzysta: $f(-x)=f(x)$ dla wszystkich $x\in D_f$. Wykres symetryczny względem osi $y$.
• Funkcja nieparzysta: $f(-x)=-f(x)$. Wykres symetryczny względem początku układu.

Prosto mówiąc: Parzysta: "lustro" pionowe. Nieparzysta: "lustro" w punkcie (0,0). Większość funkcji nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Zastosowanie:

Upraszczanie obliczeń całek (na symetrycznych przedziałach)
Analiza Fouriera (szeregi)
Fizyka — parzystość funkcji falowych

Przykład: $f(x)=x^2$: $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$ → parzysta. $g(x)=x^3$: $g(-x)=(-x)^3=-x^3=-g(x)$ → nieparzysta. $h(x)=x^2+x$: ani parzysta, ani nieparzysta.

⚡ Zapamiętaj: Żeby sprawdzić: wstaw $-x$ zamiast $x$. Jeśli wynik = $f(x)$: parzysta. Jeśli $-f(x)$: nieparzysta. Inaczej: żadna.

Granica funkcji — definicja i obliczenia

Szkoła średnia

Definicja: $\lim_{x\to a}f(x)=L$: wartości $f(x)$ zbliżają się do $L$ gdy $x$ zbliża się do $a$ (ale $x\neq a$). Granice jednostronne: $\lim_{x\to a^+}$ (z prawej) i $\lim_{x\to a^-}$ (z lewej). Granica istnieje ⟺ obie jednostronne są równe.

Prosto mówiąc: Granica to "co chce osiągnąć funkcja" dążąc do punktu — niekoniecznie to samo co wartość w tym punkcie.

Zastosowanie:

Definicja pochodnej
Ciągłość funkcji
Reguła de l'Hôpitala (granice nieoznaczone)

Przykład: $\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4$. Forma $\tfrac{0}{0}$ — skróć wspólny czynnik!

⚡ Zapamiętaj: Formy nieoznaczone $\tfrac{0}{0}$, $\tfrac{\infty}{\infty}$: upraszczaj algebraicznie lub stosuj regułę de l'Hôpitala. Nigdy nie "podstawiaj" bezpośrednio gdy dostaniesz $\tfrac{0}{0}$.

Przestrzenie liniowe — definicja i przykłady

Szkoła średnia

Przestrzeń liniowa (wektorowa) nad ciałem $\mathbb{F}$: zbiór $V$ z działaniami $+$ i $\cdot$ spełniającymi 8 aksjomatów (łączność, przemienność, element zerowy, element przeciwny, rozdzielność skalara).

Przykłady: $\mathbb{R}^n$, zbiór wielomianów stopnia $\le n$, macierze $m\times n$, funkcje ciągłe $C[a,b]$.

Podprzestrzeń: podzbiór zamknięty na $+$ i $\cdot$ i zawierający $\mathbf{0}$.

Baza: liniowo niezależny układ generatorów. $\dim V$ = liczba elementów bazy.

Wielomiany $\le 2$: $\dim=3$, baza $\{1, x, x^2\}$. $p(x)=2+3x-x^2 = 2\cdot1+3\cdot x+(-1)\cdot x^2$.

Każda baza przestrzeni skończeniewymiarowej ma tę samą liczbę elementów = $\dim V$.

Asymptoty — pozioma, pionowa i ukośna

Szkoła średnia

Pionowa: $x=a$ gdy $\lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty$

Pozioma: $y=g$ gdy $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=g$

Ukośna: $y=mx+b$ gdy $m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$, $b=\lim_{x\to\infty}[f(x)-mx]$ (oba skończone)

Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem ukośnej z $m=0$.

Funkcja może przecinać asymptotę poziomą (w skończonym miejscu), ale nie pionową.

$f(x)=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}$: asymptota ukośna $y=x$ ($m=1, b=0$), pionowa $x=0$.

Szukaj asymptoty ukośnej tylko gdy stopień licznika = stopień mianownika + 1.

Ciągłość funkcji — warunki i nieciągłości

Szkoła średnia

Definicja: Funkcja jest ciągła w $a$, gdy: (1) $f(a)$ istnieje, (2) $\lim_{x\to a}f(x)$ istnieje, (3) $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. Rodzaje nieciągłości: usuwalna, skokowa, istotna.

Prosto mówiąc: Funkcja ciągła: możesz narysować jej wykres "bez odrywania ołówka od kartki". Każda "dziura", "skok" lub "asymptota pionowa" to punkt nieciągłości.

Zastosowanie:

Twierdzenie Weierstrassa (ekstrema na domkniętym)
Twierdzenie o wartości pośredniej (istnienie pierwiastków)
Fizyka — ciągłe procesy fizyczne

Przykład: $f(x)=\begin{cases}\tfrac{x^2-1}{x-1}&x\neq1\\2&x=1\end{cases}$. $\lim_{x\to1}\tfrac{x^2-1}{x-1}=\lim(x+1)=2=f(1)$ → ciągła w $x=1$ (usunięta nieciągłość usuwalna).

⚡ Zapamiętaj: Wielomiany, funkcje trygonometryczne, wykładnicze, logarytmiczne są ciągłe na całej swej dziedzinie. Nieciągłości pojawiają się przy złączeniach i zerach mianowników.

Kombinatoryka — reguły zliczania

Szkoła średnia

Podstawowe reguły:

Reguła mnożenia: Jeśli zdarzenie A można wykonać na $m$ sposobów i niezależnie zdarzenie B na $n$ sposobów, to oba łącznie na $m \cdot n$ sposobów.
Reguła dodawania: Jeśli A można wykonać na $m$ sposobów LUB B na $n$ sposobów (wykluczają się), to łącznie na $m + n$ sposobów.

Permutacja: $P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$ (porządkowanie $n$ elementów)
Kombinacja: $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ (wybór $k$ z $n$ bez kolejności)
Wariacja (bez pow.): $V_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$ (wybór $k$ z $n$ z kolejnością)

Prosto mówiąc: Masz 3 koszulki i 2 spodnie — ile outfitów? $3 \times 2 = 6$ (reguła mnożenia). Iluś kandydatów do 4 miejsc? Kombinacja lub permutacja — zależy czy kolejność ważna.

Przykład: Lotto 6/49 — ile możliwych losowań? $$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6!} = 13\,983\,816$$

⚡ Zapamiętaj: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ — wybierając 2 z 10 to tyle samo co "odrzucanie" 8 z 10. Symbol Newtona $\binom{n}{k}$ zawsze daje liczbę całkowitą.

Twierdzenie o wartości pośredniej — zastosowania

Szkoła średnia

Definicja: Jeśli $f$ jest ciągła na $[a,b]$ i $f(a)\neq f(b)$, to dla każdej wartości $c$ między $f(a)$ a $f(b)$ istnieje $x_0\in(a,b)$ taki, że $f(x_0)=c$.

Prosto mówiąc: Ciągła funkcja nie "przeskakuje". Jeśli w $a$ jest $-3$, a w $b$ jest $+5$ — gdzieś pomiędzy musi przejść przez $0$. (Twierdzenie Bolzano — istnienie pierwiastka.)

Zastosowanie:

Dowód istnienia pierwiastka równania
Metoda bisekcji (numeryczne wyznaczanie pierwiastka)
Ekonomia — istnienie punktu równowagi

Przykład: Czy $x^3-x-1=0$ ma pierwiastek na $(1,2)$? $f(1)=1-1-1=-1<0$, $f(2)=8-2-1=5>0$. Zmiana znaku → istnieje pierwiastek na $(1,2)$ ✓

⚡ Zapamiętaj: Zmiana znaku funkcji ciągłej na $(a,b)$ → gwarantowany pierwiastek wewnątrz. Sprawdź $f(a)\cdot f(b)<0$.

Jedynka trygonometryczna i tożsamości

Szkoła średnia

Definicja: Podstawowa: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. Pochodne: $\tan^2\alpha+1=\tfrac{1}{\cos^2\alpha}$, $1+\cot^2\alpha=\tfrac{1}{\sin^2\alpha}$. Wzory redukcyjne: $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$, $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$ itd.

Prosto mówiąc: "Jedynka trycjonometryczna" to $\sin^2+\cos^2=1$ — wynika wprost z twierdzenia Pitagorasa na okręgu jednostkowym. Wszystkie inne tożsamości wynikają z niej.

Zastosowanie:

Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych
Dowody tożsamości
Całkowanie wyrażeń trygonometrycznych

Przykład: Uprość: $\tfrac{1-\sin^2\alpha}{\cos\alpha}=\tfrac{\cos^2\alpha}{\cos\alpha}=\cos\alpha$ (dla $\cos\alpha\neq0$). Inny: $\sin^4x+\sin^2x\cos^2x=\sin^2x(\sin^2x+\cos^2x)=\sin^2x$.

⚡ Zapamiętaj: Gdy masz suma/różnica sinusów i cosinusów kwadratowych — zamień używając $\sin^2+\cos^2=1$. To pierwszy krok upraszczania.

Wzory na sinus i cosinus sumy kątów

Szkoła średnia

Definicja: $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$
$\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$

Prosto mówiąc: Sinus sumy to "pierwsze × drugie + drugie × pierwsze" (krzyżowo). Cosinus sumy to "pierwsze × pierwsze − drugie × drugie" (z zamianą znaku).

Zastosowanie:

Dowód wzorów kąta podwojonego
Obliczanie wartości trygonometrycznych (np. 75°=45°+30°)
Analiza sygnałów — interferencja fal

Przykład: $\sin75°=\sin(45°+30°)=\sin45°\cos30°+\cos45°\sin30°=\tfrac{\sqrt2}{2}\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}+\tfrac{\sqrt2}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.

⚡ Zapamiętaj: Mnemonika: sin(A+B) = "ss+cc" (sinus·cosinus + cosinus·sinus). Cos(A+B) = "cc−ss". Zwróć uwagę na zmianę znaku przy cos.

Wzory kąta podwojonego i połowionego

Szkoła średnia

Definicja: Kąt podwojony:
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1$
Kąt połowiony: $\sin^2\tfrac{\alpha}{2}=\tfrac{1-\cos\alpha}{2}$, $\cos^2\tfrac{\alpha}{2}=\tfrac{1+\cos\alpha}{2}$.

Prosto mówiąc: Wzory te "podwajają" lub "połowią" kąt. Używane gdy chcesz wyrazić funkcję $2\alpha$ przez funkcje $\alpha$, lub odwrotnie.

Zastosowanie:

Całkowanie $\sin^2 x$ i $\cos^2 x$
Optymalizacja kątów w fizyce
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Przykład: $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$, więc $\sin^2\alpha=\tfrac{1-\cos2\alpha}{2}$. Np. $\int\sin^2x\,dx=\int\tfrac{1-\cos2x}{2}\,dx=\tfrac{x}{2}-\tfrac{\sin2x}{4}+C$.

⚡ Zapamiętaj: $\cos2\alpha$ ma trzy równoważne postacie. Wybierz tę z samym sinus lub samym cosinus w zależności od potrzeby.

Wzory na sumę i iloczyn funkcji trygonometrycznych

Szkoła średnia

Definicja: $\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\tfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\tfrac{\alpha-\beta}{2}$
$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\tfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\tfrac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\tfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\tfrac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\tfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\tfrac{\alpha-\beta}{2}$

Prosto mówiąc: Sumę sinusów lub cosinusów zamieniasz na iloczyn. Lub odwrotnie — iloczyn na sumę. Przydatne przy całkowaniu i upraszczaniu.

Zastosowanie:

Interferometria i teoria fal (prawa beatów)
Całkowanie iloczynów trygonometrycznych
Upraszczanie wyrażeń w zadaniach

Przykład: $\sin75°+\sin15°=2\sin45°\cos30°=2\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=\tfrac{\sqrt6}{2}$.

⚡ Zapamiętaj: Przy całkowaniu $\sin a\cos b$: użyj wzoru iloczynu na sumę: $\sin a\cos b=\tfrac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)]$.

Nierówności kwadratowe — rozwiązywanie

Szkoła średnia

Definicja: Nierówność kwadratowa to nierówność postaci: $$ax^2 + bx + c > 0 \quad (\text{lub} <, \geq, \leq), \quad a \neq 0$$ Rozwiązanie zależy od znaku $\Delta = b^2 - 4ac$ i znaku $a$:

$\Delta < 0$: parabola nie przecina osi $OX$ — rozwiązanie to $\mathbb{R}$ lub $\emptyset$
$\Delta = 0$: parabola dotyka osi $OX$ w jednym punkcie
$\Delta > 0$: dwa pierwiastki $x_1 < x_2$ dzielą oś na 3 przedziały

Metoda paraboliczna: Narysuj parabolę ($a > 0$ — otwarta w górę, $a < 0$ — w dół). Sprawdź, gdzie parabola jest "nad" lub "pod" osią $OX$.

Zasada znaku dla $a > 0$, $\Delta > 0$, pierwiastki $x_1 < x_2$:

$ax^2+bx+c > 0$ dla $x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$ — "na zewnątrz" pierwiastków
$ax^2+bx+c < 0$ dla $x \in (x_1, x_2)$ — "między" pierwiastkami

Dla $a < 0$: odwróć kierunki.

Przykład: Rozwiąż $x^2 - 5x + 6 > 0$

$\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$; $x_1 = 2$, $x_2 = 3$
$a = 1 > 0$: parabola otwarta w górę
Rozwiązanie: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$

⚡ Zapamiętaj: Dla $a > 0$ nierówność $ax^2+bx+c < 0$ jest spełniona MIĘDZY pierwiastkami (przedział), a $> 0$ NA ZEWNĄTRZ pierwiastków (dwa pół-proste). Rysunek paraboliczny rozwieje wątpliwości.

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Szkoła średnia

Definicja: W trójkącie o bokach $a,b,c$ i kątach $\alpha,\beta,\gamma$:
Twierdzenie sinusów: $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R$
Twierdzenie cosinusów: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$

Prosto mówiąc: Twierdzenie cosinusów to uogólnienie Pitagorasa (dla kąta prostego $\cos90°=0$). Sinus: gdy znasz 2 kąty i bok, lub 2 boki i kąt naprzeciwległy.

Zastosowanie:

Wyznaczanie boków i kątów trójkąta dowolnego
Nawigacja i kartografia
Geometria przestrzenna

Przykład: Trójkąt: $a=5$, $b=7$, $\gamma=60°$. $c^2=25+49-2\cdot5\cdot7\cdot\tfrac{1}{2}=74-35=39$. $c=\sqrt{39}\approx6{,}24$.

⚡ Zapamiętaj: Twierdzenie cosinusów: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ (kąt między $a$ i $b$ jest naprzeciwko $c$). Dla kąta prostego: $-2ab\cos90°=0$ → Pitagoras.

Funkcje trygonometryczne — wykresy i okresy

Szkoła średnia

Definicja: Okresy: $\sin$ i $\cos$: $T=2\pi$; $\tan$ i $\cot$: $T=\pi$. Amplituda $A$: $y=A\sin(\omega x+\varphi)$, $A=|A|$. Pulsacja $\omega$: $T=\tfrac{2\pi}{\omega}$. Przesunięcie fazowe $\varphi$: przesuwa wykres o $-\tfrac{\varphi}{\omega}$ w poziomie.

Prosto mówiąc: $y=3\sin(2x+\tfrac{\pi}{4})$: amplituda 3 (wysokość "fali"), okres $T=\pi$ (co ile się powtarza), przesunięcie $-\tfrac{\pi}{8}$ w lewo.

Zastosowanie:

Prąd zmienny (AC): $U=U_0\sin(\omega t+\varphi)$
Fale dźwiękowe i elektromagnetyczne
Drgania mechaniczne

Przykład: $y=2\cos(3x-\pi)$: amplituda 2, $\omega=3$, $T=\tfrac{2\pi}{3}$, przesunięcie $\tfrac{\pi}{3}$ w prawo. Maks. = 2, min. = −2.

⚡ Zapamiętaj: $T=\tfrac{2\pi}{\omega}$. Amplituda = $|A|$. Przesunięcie $-\tfrac{\varphi}{\omega}$ (minus! bo to "w prawo" gdy $\varphi>0$... sprawdź zawsze).

Pole trójkąta — wzory trygonometryczne

Szkoła średnia

Definicja: Pole trójkąta: $P=\tfrac{1}{2}ab\sin\gamma$ (dwa boki i kąt między nimi). Wzór Herona: $P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, gdzie $s=\tfrac{a+b+c}{2}$. Związek z promieniem okręgu opisanego: $P=\tfrac{abc}{4R}$.

Prosto mówiąc: Znając dwa boki i kąt między nimi możesz obliczyć pole bez wyznaczania wysokości. $\tfrac{1}{2}ab\sin\gamma$ — to szybki wzór.

Zastosowanie:

Obliczanie pól trójkątów w geometrii analitycznej
Geodezja — pole działki ze współrzędnych
Zastosowania w nawigacji i miernictwie

Przykład: Trójkąt: $a=6$, $b=8$, $\gamma=30°$. $P=\tfrac{1}{2}\cdot6\cdot8\cdot\sin30°=\tfrac{1}{2}\cdot48\cdot\tfrac{1}{2}=12$. Heron: $s=\tfrac{6+8+c}{2}$ (potrzebne $c$ z tw. cosinusów).

⚡ Zapamiętaj: Wzór $P=\tfrac{1}{2}ab\sin C$ działa dla DOWOLNEGO trójkąta. Jest uogólnieniem $P=\tfrac{1}{2}\cdot\text{podstawa}\cdot\text{wysokość}$, bo $h_b=a\sin C$.

Wielokąty wpisane i opisane na okręgu

Szkoła średnia

Definicja: Okrąg opisany: zawiera wszystkie wierzchołki wielokąta, promień $R$. Okrąg wpisany: styczny do wszystkich boków, promień $r$. Dla trójkąta: $R=\tfrac{abc}{4P}$, $r=\tfrac{P}{s}$ (gdzie $P$ = pole, $s$ = połówka obwodu).

Prosto mówiąc: Okrąg opisany "ogarnia" wielokąt z zewnątrz. Okrąg wpisany jest "wtłoczony" do środka i dotyka każdego boku.

Zastosowanie:

Obliczanie promieni okręgów w zadaniach
Geometria przestrzenna (bry ły wpisane)
Inżynieria (koła zębate, oprawy)

Przykład: Trójkąt prostokątny o bokach 3,4,5. Pole $P=6$, $s=6$. $r=\tfrac{6}{6}=1$. $R=\tfrac{3\cdot4\cdot5}{4\cdot6}=\tfrac{60}{24}=2{,}5$ (= połowa przeciwprostokątnej).

⚡ Zapamiętaj: Dla trójkąta prostokątnego: $R=\tfrac{c}{2}$ (połowa przeciwprostokątnej — twierdzenie Talesa). $r=\tfrac{a+b-c}{2}=s-c$.

Stereometria — kąty między prostymi i płaszczyznami

Szkoła średnia

Definicja: Kąt między prostymi w przestrzeni to kąt ostry między nimi (lub ich równoległymi) w przesunięciu do wspólnego punktu. Kąt między prostą a płaszczyzną: kąt między prostą a jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę.

Prosto mówiąc: W przestrzeni 3D obliczasz kąty rzutując na odpowiednie przekroje i korzystając z trygonometrii. Trójkąt prostokątny pojawia się przy wyznaczaniu kąta.

Zastosowanie:

Geometria graniastosłupów i ostrosłupów
Nachylenie dachu (kąt krokwi z poziomem)
Grafika 3D i CAD

Przykład: Sześcian o krawędzi 1. Kąt przekątnej ściany z przekątną przestrzenną: $\tan\alpha=\tfrac{1}{\sqrt2}$, $\alpha=\arctan\tfrac{1}{\sqrt2}\approx35{,}3°$.

⚡ Zapamiętaj: W stereometrii szukasz zawsze trójkąta prostokątnego. Wyznacz odpowiednią wysokość lub rzut, a potem stosuj trygonometrię 2D.

Całka nieoznaczona — definicja i wzory podstawowe

Szkoła średnia

Definicja: Funkcja $F$ jest antypochodnową (pierwotną) $f$ na przedziale $I$, jeśli $F'(x) = f(x)$ dla każdego $x \in I$.
Całka nieoznaczona: $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, gdzie $C$ — stała całkowania.
Każda ciągła funkcja ma antypochodnę (nieskończenie wiele — różnią się o stałą).

Podstawowe wzory:

$\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ($n \neq -1$)
$\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$
$\int e^x\,dx = e^x + C$
$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$; $\int \cos x\,dx = \sin x + C$
$\int [f(x)+g(x)]\,dx = \int f + \int g$; $\int cf\,dx = c\int f\,dx$

Przykład: Oblicz $\int (3x^2 - 2x + 5)\,dx$. $$= 3\cdot\frac{x^3}{3} - 2\cdot\frac{x^2}{2} + 5x + C = x^3 - x^2 + 5x + C$$

⚡ Zapamiętaj: Zawsze dodawaj $+C$! Całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania — sprawdź wynik różniczkując: $(x^3-x^2+5x+C)' = 3x^2-2x+5$ ✓.

Liczby zespolone a trygonometria — wzór Eulera

Szkoła średnia

Definicja: Wzór Eulera: $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$. Postać trygonometryczna liczby zespolonej: $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=re^{i\varphi}$, gdzie $r=|z|$ i $\varphi=\arg(z)$. Wzór de Moivre'a: $z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$.

Prosto mówiąc: Liczba zespolona to punkt na płaszczyźnie. Można ją opisać odległością od 0 ($r$) i kątem ($\varphi$). Mnożenie w tej postaci = mnożenie modułów i dodawanie kątów.

Zastosowanie:

Elektrotechnika (impedancja AC)
Obliczanie $n$-tych pierwiastków liczby
Transformata Fouriera

Przykład: $z=1+i$: $r=\sqrt{2}$, $\varphi=\tfrac{\pi}{4}$. $z^4=(\sqrt2)^4(\cos\pi+i\sin\pi)=4\cdot(-1+0)=-4$. Sprawdzenie: $(1+i)^2=2i$, $(2i)^2=-4$ ✓

⚡ Zapamiętaj: Wzór Eulera: $e^{i\pi}+1=0$ — "najpiękniejszy wzór matematyki". Łączy $e, i, \pi, 1, 0$. Wynika z $e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1$.

Wektory — działania i iloczyn skalarny

Szkoła średnia

Wektor $\vec{v} = [v_x, v_y]$ — obiekt o długości (module) i kierunku.
Moduł: $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
Dodawanie: $\vec{u}+\vec{v} = [u_x+v_x, u_y+v_y]$ (reguła trójkąta / równoległoboku).
Mnożenie przez skalar: $k\vec{v} = [kv_x, kv_y]$.

Iloczyn skalarny: $$\vec{u}\cdot\vec{v} = u_xv_x + u_yv_y = |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\varphi$$ Gdzie $\varphi$ — kąt między wektorami.
Prostopadłość: $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.
Równoległość: $\vec{u} \parallel \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} = k\vec{v}$ dla pewnego $k$.

Przykład: $\vec{u}=[3,4]$, $\vec{v}=[1,-2]$. Oblicz kąt między nimi.

$\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\cdot1+4\cdot(-2) = 3-8 = -5$
$|\vec{u}|=5$, $|\vec{v}|=\sqrt{5}$
$\cos\varphi = \dfrac{-5}{5\sqrt{5}} = \dfrac{-1}{\sqrt{5}}$; $\varphi \approx 116{,}6°$

⚡ Zapamiętaj: Iloczyn skalarny to "miara nakładania się" dwóch wektorów. $\vec{u}\cdot\vec{v}>0$ — kąt ostry; $=0$ — prostopadłe; $<0$ — kąt rozwarty. Zastosowania: rzut prostopadły, praca sił, optyka.

Prosta na płaszczyźnie — wszystkie postaci równania

Szkoła średnia

Definicja: Prosta w $\mathbb{R}^2$:
• Ogólna: $Ax+By+C=0$
• Kierunkowa: $y=ax+b$ (gdzie $a$ = nachylenie, $b$ = wyraz wolny)
• Odcinkowa: $\tfrac{x}{p}+\tfrac{y}{q}=1$ (odcinki na osiach $p$ i $q$)
• Normalna: $\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r}_0)=0$

Prosto mówiąc: Ta sama prosta, różne "twarze". Kierunkowa: widzisz nachylenie i przecięcie z osią $y$. Ogólna: najogólniejsza, obejmuje proste pionowe. Odcinkowa: widzisz przecięcia z osiami.

Zastosowanie:

Wyznaczanie równania prostej z danych warunków
Geometria analityczna — przecięcia, równoległość, prostopadłość
Interpolacja liniowa

Przykład: Prosta przez $(2,1)$ i $(4,5)$: nachylenie $a=\tfrac{5-1}{4-2}=2$. Równanie: $y-1=2(x-2)$, $y=2x-3$. Ogólna: $2x-y-3=0$.

⚡ Zapamiętaj: Nachylenie = $\tan\alpha$ (kąt z osią $x$). Proste prostopadłe: $a_1\cdot a_2=-1$. Równoległe: $a_1=a_2$, $b_1\neq b_2$.

Okrąg — równanie i własności analityczne

Szkoła średnia

Definicja: Okrąg o środku $S=(a,b)$ i promieniu $r$: $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ Postać ogólna: $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$, środek $(-\tfrac{D}{2},-\tfrac{E}{2})$, $r=\sqrt{\tfrac{D^2+E^2}{4}-F}$.

Prosto mówiąc: Okrąg to zbiór punktów równoodległych od środka. Równanie mówi: "kwadrat odległości od środka = $r^2$".

Zastosowanie:

Wyznaczanie równania okręgu z trzech punktów
Przecięcia okręgu z prostą
Styczna do okręgu z punktu

Przykład: Okrąg $S=(3,-1)$, $r=4$: $(x-3)^2+(y+1)^2=16$. Rozwinięcie: $x^2-6x+9+y^2+2y+1=16$, $x^2+y^2-6x+2y-6=0$.

⚡ Zapamiętaj: Przy postaci ogólnej — uzupełnij do pełnych kwadratów, aby odczytać środek i promień. $D^2+E^2-4F$ musi być $>0$ (inaczej to nie okrąg).

Odległość punktu od prostej

Szkoła średnia

Definicja: Odległość punktu $P=(x_0,y_0)$ od prostej $Ax+By+C=0$: $$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Prosto mówiąc: Podstaw współrzędne punktu do równania prostej, weź wartość bezwzględną i podziel przez "długość normalnej" $\sqrt{A^2+B^2}$.

Zastosowanie:

Sprawdzanie czy punkt leży na prostej ($d=0$)
Wyznaczanie stycznej do okręgu
Wysokość trójkąta (odległość wierzchołka od podstawy)

Przykład: Prosta $3x-4y+5=0$, punkt $P=(1,2)$. $d=\tfrac{|3\cdot1-4\cdot2+5|}{\sqrt{9+16}}=\tfrac{|3-8+5|}{5}=\tfrac{0}{5}=0$. Punkt leży na prostej!

⚡ Zapamiętaj: Wzór działa tylko dla postaci ogólnej $Ax+By+C=0$. Najpierw sprowadź równanie prostej do tej postaci.

Elipsa — definicja i równanie kanoniczne

Szkoła średnia

Definicja: Elipsa to zbiór punktów, dla których suma odległości od dwóch ognisk $F_1, F_2$ jest stała = $2a$. Równanie kanoniczne: $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ gdzie $a>b>0$, $c=\sqrt{a^2-b^2}$ (odległość ogniska od środka), mimośród $e=\tfrac{c}{a}\in(0,1)$.

Prosto mówiąc: Elipsa to "spłaszczone koło". Ogniska to dwa punkty wewnątrz; suma odległości z każdego punktu elipsy do obu ognisk jest taka sama.

Zastosowanie:

Orbity planet (prawo Keplera)
Sale szeptów (akustyczna elipsa)
Anteny paraboliczne (przekrój)

Przykład: $\tfrac{x^2}{25}+\tfrac{y^2}{9}=1$: $a=5$, $b=3$, $c=\sqrt{25-9}=4$. Ogniska: $(\pm4,0)$. Mimośród: $e=\tfrac{4}{5}=0{,}8$.

⚡ Zapamiętaj: $a>b$: wieksza oś pozioma (ogniska na osi $x$). $b>a$: większa oś pionowa. Koło: $a=b$ (mimośród 0).

Całka oznaczona — pole pod krzywą

Szkoła średnia

Twierdzenie Newtona–Leibniza: $$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b$$ gdzie $F$ jest dowolną antypochodnią $f$ na $[a,b]$.
Interpretacja geometryczna: Dla $f(x) \geq 0$ na $[a,b]$: całka = pole powierzchni między wykresem $f$ a osią $OX$ (między $x=a$ i $x=b$).

Prosto mówiąc: Całka oznaczona to "zaawansowane pole" — działa nawet dla krzywoliniowych granic. Fizycznie: $\int_a^b v(t)\,dt$ = droga przebyta między chwilami $a$ i $b$.

Własności:

$\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$ (addytywność)
$\int_a^a f = 0$; $\int_a^b f = -\int_b^a f$
Pole między krzywymi $f$ i $g$ ($f \geq g$): $P = \int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx$

Przykład: Oblicz $\int_1^3 (x^2 + 1)\,dx$. $$\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_1^3 = \left(\frac{27}{3}+3\right)-\left(\frac{1}{3}+1\right) = 12 - \frac{4}{3} = \frac{32}{3}$$

⚡ Zapamiętaj: Jeśli $f$ przyjmuje wartości ujemne, całka oznaczona to ALGEBRAICZNE pole (poniżej osi ujemne). Pole geometryczne: $\int_a^b |f(x)|\,dx$ — podziel całkę w miejscach zerowych $f$.

Parabola — definicja i własności

Szkoła średnia

Definicja: Parabola to zbiór punktów równoodległych od ogniska $F$ i prostej kierunkowej $l$. Równanie kanoniczne: $y^2=2px$ (oś pozioma) lub $x^2=2py$ (oś pionowa). Ognisko: $(\tfrac{p}{2},0)$, prosta kierunkowa: $x=-\tfrac{p}{2}$.

Prosto mówiąc: Parabola: każdy jej punkt jest tak samo daleko od ogniska jak od prostej kierunkowej. To właśnie powoduje "skupianie" promieni (anteny, reflektory).

Zastosowanie:

Anteny paraboliczne — skupianie sygnału
Reflektory samochodowe i latarki
Tor rzutu ukośnego

Przykład: $y^2=8x$: $2p=8$, $p=4$. Ognisko $F=(2,0)$, prosta kierunkowa $x=-2$. Punkt $(2,4)$: odl. od $F$: $\sqrt{0+16}=4$. Odl. od $x=-2$: $2-(-2)=4$ ✓

⚡ Zapamiętaj: Parabola jako wykres $y=ax^2+bx+c$ to szczególny przypadek. Antena paraboliczna działa bo każda "odbita" od ogniska fala dochodzi do prostej kierunkowej równocześnie.

Hiperbola — definicja i asymptoty

Szkoła średnia

Definicja: Hiperbola: zbiór punktów, dla których różnica odległości od dwóch ognisk jest stała = $2a$. Równanie: $\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}=1$. Asymptoty: $y=\pm\tfrac{b}{a}x$. Mimośród $e=\tfrac{c}{a}>1$, $c=\sqrt{a^2+b^2}$.

Prosto mówiąc: Hiperbola to dwie "gałęzie", zbliżające się do asymptot. Różni się od elipsy tym, że mamy RÓŻNICĘ (nie sumę) odległości od ognisk.

Zastosowanie:

Nawigacja LORAN (różnice odległości od nadajników)
Optyka — pewne soczewki i zwierciadła
Termodynamika — izoterma gazu doskonałego ($pV=\text{const}$)

Przykład: $\tfrac{x^2}{9}-\tfrac{y^2}{16}=1$: $a=3$, $b=4$, $c=5$. Ogniska $(\pm5,0)$. Asymptoty: $y=\pm\tfrac{4}{3}x$.

⚡ Zapamiętaj: Asymptoty hiperboli: $y=\pm\tfrac{b}{a}x$ — odczytaj wprost ze wzoru (iloraz mianowników pod pierwiastkiem). Hiperbola nigdy nie przecina asymptot.

Wektory w układzie współrzędnych — działania

Szkoła średnia

Definicja: Wektor $\vec{v}=[v_x,v_y]$. Działania: dodawanie $[a_x+b_x,a_y+b_y]$, skalowanie $k\vec{v}=[kv_x,kv_y]$, długość $|\vec{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$, iloczyn skalarny $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$.

Prosto mówiąc: Wektor = strzałka z długością i kierunkiem. Dodajesz je "koniec do końca". Iloczyn skalarny = zero gdy prostopadłe.

Zastosowanie:

Fizyka: siły, prędkości, przyspieszenia
Geometria: wyznaczanie kątów, równania prostych
Grafika komputerowa: transformacje

Przykład: $\vec{a}=[3,4]$, $\vec{b}=[1,-2]$. Suma: $[4,2]$. Iloczyn skalarny: $3\cdot1+4\cdot(-2)=-5$. Kąt: $\cos\theta=\tfrac{-5}{5\cdot\sqrt5}=-\tfrac{1}{\sqrt5}$.

⚡ Zapamiętaj: Iloczyn skalarny = 0 ⟺ wektory prostopadłe. Iloczyn skalarny > 0 ⟺ kąt ostry. < 0 ⟺ kąt rozwarty.

Geometria analityczna w przestrzeni — proste i płaszczyzny

Szkoła średnia

Definicja: Płaszczyzna: $Ax+By+Cz+D=0$, wektor normalny $\vec{n}=[A,B,C]$. Prosta w przestrzeni: parametrycznie $\vec{r}=\vec{r}_0+t\vec{d}$ lub przez dwa punkty. Odległość punktu od płaszczyzny: $d=\tfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Prosto mówiąc: Płaszczyzna w 3D = "deska". Opisujesz ją wektorem prostopadłym (normalnym) i punktem na niej. Analogia do prostej 2D: $Ax+By+C=0$ → $Ax+By+Cz+D=0$.

Zastosowanie:

Grafika 3D i CAD
Fizyka (fale płaskie)
Robotyka (orientacja ramienia)

Przykład: Płaszczyzna przez $(1,0,0)$, $(0,2,0)$, $(0,0,3)$: $\tfrac{x}{1}+\tfrac{y}{2}+\tfrac{z}{3}=1$, czyli $6x+3y+2z-6=0$. Wektor normalny: $[6,3,2]$.

⚡ Zapamiętaj: Dwie płaszczyzny równoległe: normalne proporcjonalne. Prostopadłe: normalne prostopadłe ($\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$). Kąt między płaszczyznami = kąt między normalnym.

Przekształcenia afiniczne — macierzowe ujęcie

Szkoła średnia

Definicja: Przekształcenie afiniczne: $\vec{x}\'=A\vec{x}+\vec{b}$, gdzie $A$ to macierz $2\times2$, $\vec{b}$ — wektor przesunięcia. Obrót o kąt $\theta$: $A=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$. Skalowanie: $A=\begin{pmatrix}s_x&0\\0&s_y\end{pmatrix}$.

Prosto mówiąc: Obracanie, skalowanie, ścinanie punktów płaszczyzny można opisać przez mnożenie macierzowe. Grafika komputerowa używa tego nieustannie.

Zastosowanie:

Grafika 2D i 3D (transformacje obiektów)
Robotyka (kinematyka ramion)
Przetwarzanie obrazów (obrót, skalowanie)

Przykład: Obrót punktu $(1,0)$ o $90°$: $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$. Punkt $(1,0)$ stał się $(0,1)$ ✓

⚡ Zapamiętaj: Wyznacznik macierzy obrotu = 1 (zachowuje pole). Wyznacznik macierzy skalowania = $s_x\cdot s_y$ (współczynnik zmiany pola).

Liczby zespolone — definicja i działania

Szkoła średnia

Definicja: Liczba zespolona $z = a + bi$, gdzie $a, b \in \mathbb{R}$, $i^2 = -1$ (jednostka urojona).
$\text{Re}(z) = a$ — część rzeczywista; $\text{Im}(z) = b$ — część urojona.
Moduł: $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$. Sprzężona: $\bar{z} = a-bi$.

Prosto mówiąc: Liczby zespolone rozszerzają liczby rzeczywiste tak, by równanie $x^2=-1$ miało rozwiązanie. Na płaszczyźnie zespolonej punkt $(a,b)$ odpowiada $a+bi$ — oś pozioma to "prawdziwa", pionowa to "urojona".

Działania:

Dodawanie: $(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i$
Mnożenie: $(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i$
Dzielenie: $\dfrac{a+bi}{c+di} = \dfrac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$ (mnożenie przez sprzężoną)

Postać trygonometryczna: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, gdzie $r=|z|$, $\varphi=\arg z$.
Wzór de Moivre'a: $z^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$

Przykład: Oblicz $(2+3i)(1-i)$. $$= 2\cdot1 + 2\cdot(-i) + 3i\cdot1 + 3i\cdot(-i) = 2-2i+3i-3i^2 = 2+i+3 = 5+i$$

⚡ Zapamiętaj: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$ — cykl czwórkowy. Każde wielomianowe równanie stopnia $n$ ma dokładnie $n$ pierwiastków w $\mathbb{C}$ (twierdzenie zasadnicze algebry).

Środek i podział odcinka w stosunku

Szkoła średnia

Definicja: Punkt dzielący odcinek $AB$ w stosunku $m:n$ (od $A$): $$P=\frac{n\cdot A+m\cdot B}{m+n}$$ Środek odcinka ($m=n=1$): $P=\tfrac{A+B}{2}$.

Prosto mówiąc: Środek = średnia arytmetyczna współrzędnych. Podział w stosunku $m:n$: ważona średnia z wagami $n$ dla $A$ i $m$ dla $B$ (uwaga na kolejność!).

Zastosowanie:

Środek odcinka (środek ciężkości pary punktów)
Środek ciężkości trójkąta (przecięcie środkowych)
Interpolacja współrzędnych

Przykład: $A=(1,2)$, $B=(7,8)$, stosunek $1:2$ (od $A$). $P=\tfrac{2\cdot(1,2)+1\cdot(7,8)}{3}=\tfrac{(2+7,4+8)}{3}=\tfrac{(9,12)}{3}=(3,4)$.

⚡ Zapamiętaj: Środek ciężkości trójkąta o wierzchołkach $A,B,C$: $G=\tfrac{A+B+C}{3}$ (średnia arytmetyczna współrzędnych).

Pole wielokąta ze współrzędnych — wzór Gaussa

Szkoła średnia

Definicja: Pole wielokąta o wierzchołkach $(x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)$ (podanych w kolejności obwodowej): $$P=\frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n}(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)\right|$$ (indeksy modulo $n$, $x_{n+1}=x_1$, $y_{n+1}=y_1$).

Prosto mówiąc: Podajesz wierzchołki wielokąta w kolejności (zgodnej lub przeciwnej do ruchu wskazówek) i obliczasz "krzyżowe" sumy. Wynik dzielisz przez 2 i bierzesz wartość bezwzględną.

Zastosowanie:

Obliczanie pól działek ze współrzędnych
Geodezja i kartografia
Grafika komputerowa (rasteryzacja)

Przykład: Trójkąt $(0,0),(4,0),(0,3)$. $P=\tfrac{1}{2}|0\cdot0-4\cdot0+4\cdot3-0\cdot0+0\cdot0-0\cdot3|=\tfrac{1}{2}|12|=6$. Sprawdzenie: $\tfrac{4\cdot3}{2}=6$ ✓

⚡ Zapamiętaj: Kolejność wierzchołków musi być spójna (cały czas zgodna lub cały czas przeciwna do zegara). Mieszana kolejność daje błędny wynik.

Styczna do okręgu — warunki i równania

Szkoła średnia

Definicja: Prosta jest styczna do okręgu, gdy jej odległość od środka = promień ($d=r$). Równanie stycznej do okręgu $x^2+y^2=r^2$ w punkcie $(x_0,y_0)$ na okręgu: $x_0x+y_0y=r^2$.

Prosto mówiąc: Styczna "dotyka" okręgu dokładnie w jednym punkcie i jest prostopadła do promienia w tym punkcie.

Zastosowanie:

Zadania maturalne z geometrii analitycznej
Optyka (kąt padania = kąt odbicia)
Mechanika (wektor prędkości styczny do toru)

Przykład: Okrąg $x^2+y^2=25$, punkt $(3,4)$. Styczna: $3x+4y=25$. Sprawdzenie odległości: $d=\tfrac{|3\cdot0+4\cdot0-25|}{\sqrt{9+16}}=\tfrac{25}{5}=5=r$ ✓

⚡ Zapamiętaj: Styczna z zewnętrznego punktu $P=(p,q)$ do okręgu $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$: wyznacz $d$ od $P$ do środka, długość stycznej $=\sqrt{d^2-r^2}$.

Przekształcenia macierzowe — wyznacznik i interpretacja

Szkoła średnia

Definicja: Wyznacznik macierzy $2\times2$: $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$. Geometrycznie: $|\det A|$ = pole równoległoboku rozpiętego przez kolumny/wiersze $A$. $\det A>0$: zachowana orientacja. $\det A<0$: odbicie (zmiana orientacji).

Prosto mówiąc: Wyznacznik mówi, jak bardzo przekształcenie "rozciąga" lub "ściska" obszar. $|\det|=2$: pole 2× większe. $\det=0$: przekształcenie degeneruje (spłaszcza) przestrzeń.

Zastosowanie:

Reguła Cramera (układy równań)
Pole równoległoboku ze współrzędnych
Jacobian w rachunku całkowym

Przykład: $\det\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}=12-2=10$. Pole równoległoboku rozpiętego przez wektory $(3,2)$ i $(1,4)$: = $|10|=10$.

⚡ Zapamiętaj: Jeśli $\det A=0$ → macierz osobliwa (nie ma odwrotności). Układ $A\vec{x}=\vec{b}$ albo nie ma rozwiązania, albo ma ich nieskończenie wiele.

Krzywe stożkowe — klasyfikacja i własności

Szkoła średnia

Definicja: Krzywe stożkowe to przekroje stożka prostego płaszczyzną: okrąg (prostopadle do osi), elipsa (ukośnie), parabola (równolegle do tworzącej), hiperbola (stromo). Ogólne równanie: $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$. Dyskryminant $B^2-4AC$: $<0$ elipsa, $=0$ parabola, $>0$ hiperbola.

Prosto mówiąc: Wszystkie cztery krzywe (koło, elipsa, parabola, hiperbola) to "plastry" stożka. Kąt cięcia decyduje o typie krzywej.

Zastosowanie:

Orbity planet (elipsy, Kepler)
Soczewki i reflektory
Architktura łuków (parabole)

Przykład: $4x^2+y^2-8x+4y-8=0$. Uzupełnienie kwadratów: $4(x-1)^2+(y+2)^2=16$, $\tfrac{(x-1)^2}{4}+\tfrac{(y+2)^2}{16}=1$ — elipsa o środku $(1,-2)$.

⚡ Zapamiętaj: Test $B^2-4AC$: wszystkie krzywe stożkowe mają wspólne równanie ogólne. Dyskryminant pozwala szybko określić typ bez uzupełniania kwadratów.

Rzut prostokątny — cieniu figury

Szkoła średnia

Definicja: Rzut prostokątny (ortogonalny) punktu $P$ na prostą $l$ to stopa prostopadłej opuszczonej z $P$ na $l$. Rzut na płaszczyznę analogicznie w 3D. Wzór rzutu wektora $\vec{a}$ na $\vec{b}$: $\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}=\tfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}$.

Prosto mówiąc: "Cień" rzucony przy świetle prostopadłym to rzut prostokątny. Rzut wektora na drugi wektor mówi, jaka jest "składowa" pierwszego w kierunku drugiego.

Zastosowanie:

Praca w fizyce: $W=\vec{F}\cdot\vec{d}=|F||d|\cos\theta$
Ortogonalizacja Grama-Schmidta
Metoda najmniejszych kwadratów

Przykład: Rzut $\vec{a}=[3,4]$ na $\vec{b}=[1,0]$: $\tfrac{3\cdot1+4\cdot0}{1}\cdot[1,0]=[3,0]$. Rzut na oś $x$ to po prostu współrzędna $x$.

⚡ Zapamiętaj: $\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}$ ma kierunek $\vec{b}$ i długość $|\vec{a}|\cos\theta$. Składowa prostopadła: $\vec{a}-\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}$ (prosto- do $\vec{b}$).

Definicja pochodnej — iloraz różnicowy

Szkoła średnia

Definicja: Pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$: $$f\'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$ Geometrycznie: nachylenie stycznej do wykresu w $(x_0, f(x_0))$. Fizycznie: chwilowa prędkość zmian.

Prosto mówiąc: Pochodna to "szybkość zmian" funkcji w danym punkcie. Iloraz różnicowy to nachylenie siecznej; granica daje nachylenie stycznej.

Zastosowanie:

Prędkość chwilowa (pochodna drogi po czasie)
Natężenie prądu (pochodna ładunku)
Marginalna analiza ekonomiczna

Przykład: $f(x)=x^2$. $f\'(x_0)=\lim_{h\to0}\tfrac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}=\lim_{h\to0}\tfrac{2x_0h+h^2}{h}=\lim_{h\to0}(2x_0+h)=2x_0$. Zatem $(x^2)\'=2x$.

⚡ Zapamiętaj: Pochodna istnieje gdy granica ilorazu różnicowego istnieje i jest skończona. Jeśli wykres ma "ostry róg" — pochodna w tym punkcie nie istnieje.

Wzory na pochodne — tabela podstawowych funkcji

Szkoła średnia

Definicja: Podstawowe pochodne:
$(x^n)\'=nx^{n-1}$, $(e^x)\'=e^x$, $(\ln x)\'=\tfrac{1}{x}$,
$(\sin x)\'=\cos x$, $(\cos x)\'=-\sin x$, $(\tan x)\'=\tfrac{1}{\cos^2x}$,
$(a^x)\'=a^x\ln a$, $(\log_a x)\'=\tfrac{1}{x\ln a}$

Prosto mówiąc: To gotowe "przepisy" na pochodne typowych funkcji. Musisz je znać na pamięć — jak tabliczkę mnożenia w różniczkowaniu.

Zastosowanie:

Różniczkowanie dowolnych funkcji elementarnych
Punkt wyjścia do reguł łańcuchowej, iloczynu
Fizyka i inżynieria — modele matematyczne

Przykład: $(3x^4-2\sqrt{x}+\ln x)\'=12x^3-\tfrac{1}{\sqrt{x}}+\tfrac{1}{x}$. $(5e^x-7\sin x)\'=5e^x-7\cos x$.

⚡ Zapamiętaj: $(e^x)\'=e^x$ — jedyna funkcja będąca własną pochodną. To czyni $e^x$ wyjątkową w równaniach różniczkowych.

Reguły różniczkowania — iloczyn, iloraz, łańcuchowa

Szkoła średnia

Definicja: • Suma/różnica: $(f\pm g)\'=f\'\pm g\'$
• Iloczyn: $(fg)\'=f\'g+fg\'$
• Iloraz: $(\tfrac{f}{g})\'=\tfrac{f\'g-fg\'}{g^2}$
• Łańcuchowa: $(f\circ g)\'=f\'(g(x))\cdot g\'(x)$

Prosto mówiąc: Iloczyn: "pierwsza × pochodna drugiej + druga × pochodna pierwszej". Łańcuchowa: pochodna zewnętrzna × pochodna wewnętrznej. Najważniejsza reguła!

Zastosowanie:

Różniczkowanie złożonych wyrażeń
Optymalizacja funkcji kilku zmiennych
Kinetyka chemiczna (szybkość reakcji)

Przykład: $(x^2\cdot e^x)\'=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x=e^x(2x+x^2)$. $(\sin(x^2))\'=\cos(x^2)\cdot2x$ (łańcuchowa).

⚡ Zapamiętaj: Łańcuchowa: $(f(g(x)))\'=f\'(g(x))\cdot g\'(x)$. Przykład: $(\sin^3x)\'=3\sin^2x\cdot\cos x$ (zewnętrzna $u^3$, wewnętrzna $\sin x$).

Pochodna a styczna do wykresu

Szkoła średnia

Definicja: Styczna do wykresu $y=f(x)$ w punkcie $(x_0, f(x_0))$: $$y=f\'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$ Normalna (prostopadła do stycznej): $y=-\tfrac{1}{f\'(x_0)}(x-x_0)+f(x_0)$ (gdy $f\'(x_0)\neq0$).

Prosto mówiąc: Pochodna w punkcie = nachylenie stycznej. Znając nachylenie i punkt, piszesz równanie stycznej wzorem $y-y_0=a(x-x_0)$.

Zastosowanie:

Aproksymacja liniowa funkcji
Metoda Newtona (numeryczne szukanie pierwiastków)
Fizyka — chwilowa prędkość na wykresie drogi

Przykład: $f(x)=x^3$ w punkcie $x_0=2$. $f(2)=8$, $f\'(x)=3x^2$, $f\'(2)=12$. Styczna: $y=12(x-2)+8=12x-16$. Normalna: $y=-\tfrac{1}{12}(x-2)+8$.

⚡ Zapamiętaj: Aproksymacja liniowa: $f(x)\approx f(x_0)+f\'(x_0)(x-x_0)$ dla $x$ bliskich $x_0$. To lokalnie najlepsza aproksymacja funkcji przez prostą.

Pochodna wyższych rzędów — wklęsłość i punkty przegięcia

Szkoła średnia

Definicja: Pochodna drugiego rzędu: $f\'\'=(f\')\'$. Interpretacja geometryczna:
• $f\'\'(x)>0$: wykres wklęsły (otwiera się w górę)
• $f\'\'(x)<0$: wykres wypukły (otwiera się w dół)
Punkt przegięcia: zmiana znaku $f\'\'$.

Prosto mówiąc: Pierwsza pochodna = nachylenie. Druga = "jak szybko zmienia się nachylenie". Ujemna → wykres "zakrzywia w dół" (wygięty jak łuk). Dodatnia → "zakrzywia w górę" (jak miska).

Zastosowanie:

Warunek dostateczny na ekstremum: $f\'\'(x_0)>0$ → min., $f\'\'(x_0)<0$ → maks.
Analiza przyspieszenia (pochodna prędkości)
Ekonomia — malejąca/rosnąca krańcowa użyteczność

Przykład: $f(x)=x^3-3x$. $f\'=3x^2-3$, $f\'\'=6x$. $f\'\'=0$: $x=0$ — punkt przegięcia. Dla $x<0$: $f\'\'<0$ (wypukła), dla $x>0$: $f\''>0$ (wklęsła).

⚡ Zapamiętaj: "Wklęsłość" w matematyce: $f\''> 0$ (miska, zbiera deszcz). "Wypukłość": $f\'\'<0$ (kopuła, spływa deszcz). Przelicz intuicję jeśli pamiętasz odwrotnie!

Całka nieoznaczona — interpretacja i wzory

Szkoła średnia

Definicja: Całka nieoznaczona: $\int f(x)\,dx=F(x)+C$, gdzie $F\'(x)=f(x)$. Wybrane wzory: $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$, $\int e^x\,dx=e^x+C$, $\int\tfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$, $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$, $\int\cos x\,dx=\sin x+C$.

Prosto mówiąc: Całkowanie = odwrotność różniczkowania. Szukasz funkcji, której pochodna = podana funkcja. $+C$ bo pochodna stałej = 0 (nieskończenie wiele rozwiązań).

Zastosowanie:

Wyznaczanie funkcji z jej szybkości zmian
Równania różniczkowe
Kinematyka (droga z prędkości)

Przykład: $\int(3x^2-2x+5)\,dx=x^3-x^2+5x+C$. $\int e^{2x}\,dx=\tfrac{e^{2x}}{2}+C$ (podstawienie $u=2x$).

⚡ Zapamiętaj: Sprawdzenie wyniku: zróżniczkuj odpowiedź i sprawdź czy wychodzi podcałkowa. To jedyna pewna weryfikacja całki.

Całka oznaczona — pole pod krzywą i interpretacja

Szkoła średnia

Definicja: Całka oznaczona: $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ (twierdzenie Newtona-Leibniza). Geometrycznie: pole między wykresem $f$, osią $x$ i prostymi $x=a$, $x=b$ (ze znakiem).

Prosto mówiąc: Pole pod krzywą obliczasz: wyznacz $F$ (antypochodną), wstaw górny koniec, odjąć dolny. Obszar poniżej osi $x$ liczy się jako ujemny.

Zastosowanie:

Droga z prędkości: $s=\int_0^t v(t)\,dt$
Praca siły: $W=\int_{x_1}^{x_2}F(x)\,dx$
Wartość średnia funkcji: $\bar{f}=\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$

Przykład: $\int_0^2(x^2+1)\,dx=[\tfrac{x^3}{3}+x]_0^2=(\tfrac{8}{3}+2)-0=\tfrac{14}{3}\approx4{,}67$.

⚡ Zapamiętaj: Pole między wykresem a osią $x$ (zawsze dodatnie): $P=\int_a^b|f(x)|\,dx$. Podziel na odcinki gdzie $f\geq0$ i $f\leq0$, zmień znaki tam gdzie ujemna.

Całkowanie przez podstawienie

Szkoła średnia

Definicja: Podstawienie $u=g(x)$, $du=g\'(x)\,dx$: $$\int f(g(x))\cdot g\'(x)\,dx=\int f(u)\,du$$ Metoda odwrotna do reguły łańcuchowej w różniczkowaniu.

Prosto mówiąc: Zauważasz, że podcałkowa = $f(\text{czegoś})\times\text{pochodna tego czegoś}$. Nazywasz to coś $u$, zamieniasz, całkujesz prościej, wracasz do $x$.

Zastosowanie:

Całkowanie złożonych wyrażeń trygonometrycznych
Całkowanie wykładniczych i logarytmicznych
Punkt wyjścia do całkowania przez części

Przykład: $\int 2x\cdot e^{x^2}\,dx$. Podstawienie $u=x^2$, $du=2x\,dx$: $\int e^u\,du=e^u+C=e^{x^2}+C$. Sprawdzenie: $(e^{x^2})\'=2xe^{x^2}$ ✓

⚡ Zapamiętaj: Szukaj wzoru $f(g(x))\cdot g\'(x)$. Najczęstszy "sygnał": wyrażenie i jego pochodna obok siebie w podcałkowej.

Całkowanie przez części

Szkoła średnia

Definicja: $$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$ lub w formie funkcji: $\int f\cdot g\'\,dx = f\cdot g - \int f\'\cdot g\,dx$. Metoda odwrotna do reguły iloczynu przy różniczkowaniu.

Prosto mówiąc: Wybierasz $u$ i $dv$. Reguła LIATE pomaga: Logarytm, Odwrotna trygon., Algebra (wielomian), Trygon., Eksponencjalna — wybierz $u$ z lewej strony tej listy.

Zastosowanie:

Całkowanie $x^n e^x$, $x^n \sin x$, $x^n \cos x$
Całkowanie $\ln x$, $\arcsin x$
Redukcja stopnia wielomianu w podcałkowej

Przykład: $\int xe^x\,dx$. $u=x$, $dv=e^x\,dx$, $du=dx$, $v=e^x$. $=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x+C=e^x(x-1)+C$.

⚡ Zapamiętaj: Regułę stosuj kilkukrotnie gdy po jednym kroku nadal jest trudna całka. Czasem po dwóch krokach wrócisz do oryginału — wtedy przenieś na lewą stronę i podziel.

Całkowanie ułamków prostych — metoda rozkładu

Szkoła średnia

Metoda ułamków prostych — rozkład wymiernego wyrażenia $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ na sumę prostszych ułamków, każdy łatwy do scałkowania.
Warunek wstępny: stopień licznika < stopień mianownika. Jeśli nie — podziel wielomiany.

Prosto mówiąc: Całka z $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$ wygląda trudno, ale po rozłożeniu na $\dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+2}$ — każdy ułamek całkuje się trywialnie do logarytmu.

Przypadki rozkładu ($Q(x)$ ma pierwiastki):

Pierwiastki proste rzeczywiste: $\dfrac{P}{(x-a)(x-b)} = \dfrac{A}{x-a} + \dfrac{B}{x-b}$
Pierwiastek wielokrotny: $\dfrac{P}{(x-a)^2} = \dfrac{A}{x-a} + \dfrac{B}{(x-a)^2}$
Trójmian nierozkładalny: $\dfrac{P}{x^2+px+q} = \dfrac{Ax+B}{x^2+px+q}$ → całkuje się przez arctg

Całki podstawowe: $\int\!\dfrac{dx}{x-a} = \ln|x-a|+C$; $\;\int\!\dfrac{dx}{(x-a)^2} = \dfrac{-1}{x-a}+C$; $\;\int\!\dfrac{dx}{x^2+a^2} = \dfrac{1}{a}\text{arctg}\tfrac{x}{a}+C$

Oblicz: $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2-1} = \int\frac{dx}{(x-1)(x+1)}$

Rozkład: $\dfrac{1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}$
Mnożąc: $1 = A(x+1)+B(x-1)$; $x=1: A=\tfrac{1}{2}$; $x=-1: B=-\tfrac{1}{2}$
$\displaystyle\int = \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$

⚡ Zapamiętaj: Rozkład na ułamki proste → każdy całkujesz osobno (ln lub arctg). Wyznaczanie A, B: pomnóż obie strony przez mianownik i podstaw pierwiastki mianownika — szybko elimujesz niewiadome.

Reguła de l'Hôpitala — granice nieoznaczone

Szkoła średnia

Definicja: Jeśli $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$ lub $\pm\infty$, to: $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f\'(x)}{g\'(x)}$$ (o ile prawa granica istnieje).

Prosto mówiąc: Forma $\tfrac{0}{0}$ lub $\tfrac{\infty}{\infty}$? Zróżniczkuj licznik i mianownik osobno, potem znowu oblicz granicę. Powtarzaj jeśli nadal nieoznaczona.

Zastosowanie:

Obliczanie trudnych granic (definicja $e$, $\sin x/x$)
Inne formy: $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$, $0^0$, $1^\infty$ (sprowadzić do $\tfrac{0}{0}$)
Analiza zachowania funkcji przy asymptotach

Przykład: $\lim_{x\to0}\tfrac{\sin x}{x}$: forma $\tfrac{0}{0}$. L'Hôpital: $\lim_{x\to0}\tfrac{\cos x}{1}=1$. Klasyczny wynik! $\lim_{x\to\infty}\tfrac{\ln x}{x}=\lim\tfrac{1/x}{1}=0$.

⚡ Zapamiętaj: Reguła NIE dotyczy formy $\tfrac{0}{\infty}$ ani $\tfrac{\infty}{0}$ — to nie są formy nieoznaczone. Sprawdź formę przed zastosowaniem.

Pole obszaru między krzywymi

Szkoła średnia

Definicja: Pole obszaru między krzywymi $f(x)$ i $g(x)$ na $[a,b]$ (gdzie $f(x)\geq g(x)$): $$P=\int_a^b[f(x)-g(x)]\,dx$$ Gdy krzywe się przecinają: podziel na podprzedziały i w każdym bierz górna − dolna.

Prosto mówiąc: Pole "kartki" między dwoma wykresami = całka z różnicy (górna − dolna). Najpierw znajdź gdzie się przecinają — to granice całkowania.

Zastosowanie:

Surplus konsumenta i producenta (ekonomia)
Pole figur ograniczonych przez krzywe
Obliczanie objętości brył obrotowych

Przykład: Pole między $y=x^2$ i $y=x$. Przecięcia: $x^2=x$, $x=0$ i $x=1$. Na $(0,1)$: $x>x^2$. $P=\int_0^1(x-x^2)\,dx=[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x^3}{3}]_0^1=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6}$.

⚡ Zapamiętaj: Zawsze najpierw rysuj! Sprawdź która krzywa jest wyżej na danym przedziale. Zły wybór "górnej − dolnej" daje wynik ujemny.

Pochodna cząstkowa — wprowadzenie

Szkoła średnia

Definicja: Dla funkcji $f(x,y)$, pochodna cząstkowa po $x$: $$\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$$ (traktujemy $y$ jako stałą). Analogicznie $\tfrac{\partial f}{\partial y}$.

Prosto mówiąc: Różniczkujesz względem jednej zmiennej, traktując pozostałe jak stałe. Gradient $\nabla f=[\tfrac{\partial f}{\partial x},\tfrac{\partial f}{\partial y}]$ wskazuje kierunek najszybszego wzrostu.

Zastosowanie:

Optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Prawa fizyki (równanie ciepła, fal)
Uczenie maszynowe (gradient descent)

Przykład: $f(x,y)=x^2y+3xy^2$. $\tfrac{\partial f}{\partial x}=2xy+3y^2$ (traktuj $y$ jako stałą). $\tfrac{\partial f}{\partial y}=x^2+6xy$ (traktuj $x$ jako stałą).

⚡ Zapamiętaj: $\tfrac{\partial f}{\partial x}$ oznaczamy też $f_x$ lub $D_1f$. Gradient wskazuje "pod górę" — w uczeniu maszynowym idziesz w kierunku -gradient (gradient descent).

Całka podwójna — pole i objętość

Szkoła średnia

Definicja: Całka podwójna $\iint_D f(x,y)\,dA$ oblicza objętość pod powierzchnią $z=f(x,y)$ nad obszarem $D$. Dla prostokąta $[a,b]\times[c,d]$: $$\iint_D f\,dA=\int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx$$ (twierdzenie Fubiniego).

Prosto mówiąc: Całkujesz "warstwami": najpierw po jednej zmiennej (trzymając drugą stałą), potem po drugiej. Twierdzenie Fubiniego mówi, że kolejność nie ma znaczenia (dla ciągłych $f$).

Zastosowanie:

Objętość brył ograniczonych przez powierzchnie
Masa o zmiennej gęstości
Środek ciężkości płaskich figur

Przykład: $\iint_{[0,1]\times[0,2]}(x+y)\,dA=\int_0^1\left(\int_0^2(x+y)\,dy\right)dx=\int_0^1[xy+\tfrac{y^2}{2}]_0^2\,dx=\int_0^1(2x+2)\,dx=[x^2+2x]_0^1=3$.

⚡ Zapamiętaj: Twierdzenie Fubiniego: dla ciągłego $f$ na prostokącie kolejność całkowania nie ma znaczenia. Wybierz tę, która jest łatwiejsza obliczeniowo.

Objętość bryły obrotowej — metoda dysków i walcowa

Szkoła średnia

Bryła obrotowa — bryła powstała przez obrót obszaru wokół osi.
Metoda dysków (obrót wokół osi $OX$): $$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\, dx$$ Metoda walcowa (powłokowa) (obrót wokół osi $OY$): $$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x)\, dx$$

Prosto mówiąc: Metoda dysków: tną bryłę na bardzo cienkie krążki (dyski) — pole każdego dysku to $\pi r^2$, „grubość" to $dx$. Całka sumuje te nieskończenie cienkie dyski. Metoda walcowa: tną na koncentryczne walce — powierzchnia boczna walca to $2\pi r \cdot h$.

Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej: $$S = 2\pi \int_a^b f(x) \cdot \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\, dx$$ Bryły specjalne (sprawdzenie wzorów):

Walec: $f(x) = r$, $V = \pi r^2 h$ ✓
Stożek: $f(x) = \tfrac{r}{h}x$, $V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h$ ✓
Kula: $f(x) = \sqrt{R^2-x^2}$, $V = \tfrac{4}{3}\pi R^3$ ✓

Oblicz objętość kuli promienia $R$ (obrót półkola $y=\sqrt{R^2-x^2}$ wokół $OX$): $$V = \pi\int_{-R}^{R}(R^2-x^2)\,dx = \pi\left[R^2x - \tfrac{x^3}{3}\right]_{-R}^{R} = \pi\cdot\tfrac{4R^3}{3} = \tfrac{4}{3}\pi R^3$$

⚡ Zapamiętaj: Dyski → $\pi\int [f(x)]^2 dx$ (obrót wokół $OX$). Walce → $2\pi\int x\cdot f(x)\,dx$ (wokół $OY$). Sprawdź wzory na walec, stożek i kulę jako test poprawności rachunków.

Asymptota ukośna — wyznaczanie i interpretacja

Szkoła średnia

Asymptota ukośna $y = mx + b$ istnieje, gdy: $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} \in \mathbb{R}, \qquad b = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx] \in \mathbb{R}$$ Wtedy $f(x) - (mx+b) \to 0$ gdy $x \to \pm\infty$. Odrębne asymptoty możliwe dla $+\infty$ i $-\infty$.

Prosto mówiąc: Asymptota ukośna to prosta, do której wykres „ucieka" dla dużych $|x|$ — nie poziomo (jak asymptota pozioma), ale pod skosem. Pojawia się np. w funkcjach wymiernych gdy stopień licznika = stopień mianownika + 1.

Kiedy szukać asymptoty ukośnej:

Funkcje wymierne: stopień licznika o 1 większy niż mianownika
$f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$: podziel wielomiany — iloraz (liniowy) to asymptota
Inne funkcje: $\sqrt{x^2+x} \sim x + \tfrac{1}{2}$ dla $x\to+\infty$

Porównanie z asymptotą poziomą: Asymptota pozioma ($y=b$): $m=0$. Ukośna: $m \neq 0$.

Znajdź asymptotę ukośną $f(x) = \dfrac{x^2+2x+3}{x+1}$:

$m = \lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2+2x+3}{x(x+1)} = \lim \dfrac{x^2+2x+3}{x^2+x} = 1$
$b = \lim[f(x)-x] = \lim \dfrac{x^2+2x+3 - x(x+1)}{x+1} = \lim \dfrac{x+3}{x+1} = 1$
Asymptota: $y = x+1$ (co widać też po dzieleniu wielomianów: $\frac{x^2+2x+3}{x+1} = x+1 + \frac{2}{x+1}$)

⚡ Zapamiętaj: $m = \lim f(x)/x$, potem $b = \lim[f(x)-mx]$. Dla funkcji wymiernych — po prostu podziel wielomiany: liniowy iloraz daje asymptotę, reszta → 0. Sprawdź osobno dla $x\to+\infty$ i $x\to-\infty$!

Metoda bisekcji i stycznych — numeryczne pierwiastki funkcji

Szkoła średnia

Metoda bisekcji: Jeśli $f(a) \cdot f(b) < 0$ (różne znaki na krańcach przedziału), to $\exists\, c \in (a,b)$: $f(c) = 0$ (tw. Darboux). Algorytm: wielokrotnie dziel przedział na pół.
Metoda Newtona (stycznych): $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Prosto mówiąc: Bisekcja = „szukasz liczby od 1 do 100 metodą połowy: za mała/za duża". Wolna, ale zawsze działa. Metoda Newtona = wyznaczasz styczną do wykresu, szukasz jej miejsca zerowego — startuje wolno, ale zbiega kwadratowo (każdy krok podwaja liczbę poprawnych cyfr).

Zbieżność:

Bisekcja: liniowa — po $n$ krokach błąd $\leq \dfrac{b-a}{2^n}$; potrzeba $n \approx 3{,}32\log_{10}\!\left(\dfrac{b-a}{\varepsilon}\right)$ kroków
Newton: kwadratowa — liczba poprawnych cyfr podwaja się w każdej iteracji (gdy startujemy blisko pierwiastka)

Warunki stosowalności Newtona: $f'(x_n) \neq 0$; startuj blisko pierwiastka; $f$ dwukrotnie różniczkowalna.

Znajdź $\sqrt{2}$ metodą Newtona (pierwiastek $f(x) = x^2-2$, $f'(x)=2x$, start $x_0=1$):

$x_1 = 1 - \dfrac{1-2}{2} = 1{,}5$
$x_2 = 1{,}5 - \dfrac{1{,}25}{3} = 1{,}4\overline{16}$
$x_3 \approx 1{,}41421356$ — już 8 cyfr po 3 iteracjach!

⚡ Zapamiętaj: Bisekcja — niezawodna, liniowa zbieżność. Newton — szybka (kwadratowa), ale wymaga $f'$ i dobrego startu. W praktyce: bisekcja do zawężenia przedziału, Newton do precyzyjnego wyznaczenia wartości.

Zbiory — definicja i działania

Szkoła średnia

Definicja: Zbiór to kolekcja dobrze określonych obiektów (elementów). Zapisujemy: $A = \{1, 2, 3\}$ lub opisowo.

$x \in A$ — $x$ należy do $A$
$x \notin A$ — $x$ nie należy do $A$
$\emptyset$ — zbiór pusty
$A \subseteq B$ — $A$ jest podzbiorem $B$ (każdy element $A$ jest w $B$)

Działania na zbiorach:

Suma $A \cup B$: elementy należące do $A$ LUB $B$ (albo obu)
Iloczyn (część wspólna) $A \cap B$: elementy należące do $A$ I $B$
Różnica $A \setminus B$: elementy $A$, które nie są w $B$
Dopełnienie $A^c$: elementy spoza $A$ (w zbiorze uniwersalnym)

Liczby rzeczywiste jako zbiory (inkluzje): $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$ Liczby niewymierne ($\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$): $\sqrt{2}, \pi, e$ — nie da się zapisać jako ułamka.

Przykład: $A = \{1,2,3,4\}$, $B = \{3,4,5,6\}$.

$A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}$
$A \cap B = \{3,4\}$
$A \setminus B = \{1,2\}$

⚡ Zapamiętaj: Suma ∪ = LUB (więcej elementów). Iloczyn ∩ = I (wspólne). Diagram Venna pomaga to wizualizować.

Funkcja — definicja formalna

Szkoła średnia

Definicja: Funkcja $f: X \to Y$ to przyporządkowanie, które każdemu elementowi $x$ ze zbioru $X$ (dziedzina) przypisuje dokładnie jeden element $y$ ze zbioru $Y$ (przeciwdziedzina). Zapisujemy: $y = f(x)$.

Dziedzina $D_f = X$ — zbiór dopuszczalnych argumentów
Zbiór wartości $W_f \subseteq Y$ — zbiór wartości faktycznie przyjmowanych przez $f$
Wykres $= \{(x, f(x)) : x \in D_f\}$ — zbiór punktów na płaszczyźnie

Prosto mówiąc: Funkcja to maszyna — wrzucasz $x$, wychodzi dokładnie jeden $y$. Jeden $x$ → jeden $y$ (ale różne $x$ mogą dawać ten sam $y$).

Jak wyznaczać dziedzinę:

Mianownik ≠ 0: $f(x) = \frac{1}{x-2}$ → $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$
Podpierwiastkowy ≥ 0: $f(x) = \sqrt{x-3}$ → $x \geq 3$, $D_f = [3, +\infty)$
Logarytm > 0: $f(x) = \log(x+1)$ → $x > -1$, $D_f = (-1, +\infty)$

Przykład: $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-1}$. Dziedzina?

Warunek 1: $x \geq 0$ (podpierwiastkowy)
Warunek 2: $x - 1 \neq 0$, czyli $x \neq 1$
$D_f = [0, 1) \cup (1, +\infty)$

⚡ Zapamiętaj: Test pionowej prostej — jeśli pionowa prosta przecina wykres w więcej niż jednym punkcie, to NIE jest to funkcja!

Monotoniczność i miejsca zerowe funkcji

Szkoła średnia

Definicje:

Rosnąca: dla $x_1 < x_2$ zachodzi $f(x_1) < f(x_2)$ — im większy argument, tym większa wartość
Malejąca: dla $x_1 < x_2$ zachodzi $f(x_1) > f(x_2)$
Miejsce zerowe: argument $x_0$ taki, że $f(x_0) = 0$ — punkt przecięcia z osią $OX$
Ekstremum lokalne: punkt, gdzie funkcja „zmienia" monotoniczność

Prosto mówiąc: Rosnąca = idzie „w górę" wraz z $x$. Malejąca = idzie „w dół". Miejsca zerowe to punkty, gdzie wykres przecina oś $x$.

Jak badać monotoniczność:

Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$: rosnąca gdy $a > 0$, malejąca gdy $a < 0$
Funkcja kwadratowa $f(x) = ax^2 + bx + c$: malejąca potem rosnąca (gdy $a > 0$), z wierzchołkiem jako minimum
W szkole średniej: z wykresu lub tablicą znaków pochodnej

Przykład: $f(x) = x^2 - 4$. Miejsca zerowe i monotoniczność?

$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$
Parabola otwarta ku górze, wierzchołek $(0, -4)$
Malejąca na $(-\infty, 0)$, rosnąca na $(0, +\infty)$

⚡ Zapamiętaj: Miejsce zerowe ≠ wartość minimalna. Parabola może mieć minimum (dla $a>0$) i 0, 1 lub 2 miejsca zerowe — to zależy od delty!

Logarytm — definicja i własności

Szkoła średnia

Definicja: Logarytm o podstawie $a$ z liczby $b$ ($\log_a b$) to wykładnik $x$, do którego należy podnieść $a$, aby otrzymać $b$: $$\log_a b = x \iff a^x = b \quad (a > 0,\; a \neq 1,\; b > 0)$$ Logarytm naturalny: $\ln x = \log_e x$. Logarytm dziesiętny: $\log x = \log_{10} x$.

Prosto mówiąc: Logarytm to „odwrotność" potęgowania. Pytamy: „do jakiej potęgi podnosić 2, żeby dostać 8?" Odpowiedź: $\log_2 8 = 3$, bo $2^3 = 8$.

Kluczowe własności:

$\log_a(mn) = \log_a m + \log_a n$ (iloczyn → suma)
$\log_a\frac{m}{n} = \log_a m - \log_a n$ (iloraz → różnica)
$\log_a m^k = k \log_a m$ (potęga → mnożnik)
$\log_a a = 1$; $\log_a 1 = 0$
Zamiana podstawy: $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$

Przykład: Oblicz $\log_2 32 + \log_2 4$.

$\log_2 32 + \log_2 4 = \log_2 (32 \cdot 4) = \log_2 128$
$2^7 = 128 \Rightarrow \log_2 128 = 7$

⚡ Zapamiętaj: Logarytm istnieje tylko dla $b > 0$ i $a > 0$, $a \neq 1$. Nie możesz wziąć logarytmu z liczby ujemnej ani zera!

Trygonometria — definicja jednostkowa

Szkoła średnia

Definicja przez okrąg jednostkowy: Dla kąta $\alpha$ (w stopniach lub radianach) zaznaczonego na okręgu jednostkowym ($r=1$), punkt $(x,y)$ na okręgu spełnia: $$\cos\alpha = x, \quad \sin\alpha = y$$ Definicja rozszerza sin i cos na WSZYSTKIE kąty (także $> 90°$ i ujemne).

Prosto mówiąc: Wyobraź okrąg o promieniu 1. Kąt $\alpha$ to obrót od osi $x$. Sinus = wysokość punktu, cosinus = pozioma odległość od środka.

Znaki w ćwiartkach (CAST):

I ćwiartka (0°–90°): sin $+$, cos $+$, tg $+$
II ćwiartka (90°–180°): sin $+$, cos $-$, tg $-$
III ćwiartka (180°–270°): sin $-$, cos $-$, tg $+$
IV ćwiartka (270°–360°): sin $-$, cos $+$, tg $-$

Radiany: $180° = \pi$ rad; $90° = \frac{\pi}{2}$; $60° = \frac{\pi}{3}$; $45° = \frac{\pi}{4}$

Przykład: Oblicz $\sin 150°$ i $\cos 150°$.

$150° = 180° - 30°$ → II ćwiartka
$\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}$ (sin $+$ w II ćwiartce)
$\cos 150° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (cos $-$ w II ćwiartce)

⚡ Zapamiętaj: Jedynka trygonometryczna: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ — zawsze, dla każdego kąta!

Prawdopodobieństwo — pojęcia podstawowe

Szkoła średnia

Definicje:

Doświadczenie losowe — eksperyment o niepewnym wyniku (rzut kostką)
Przestrzeń zdarzeń elementarnych $\Omega$ — zbiór wszystkich możliwych wyników
Zdarzenie $A$ — podzbiór $\Omega$ (zestaw wybranych wyników)
Zdarzenie pewne — $\Omega$ (zawsze zachodzi)
Zdarzenie niemożliwe — $\emptyset$ (nigdy nie zachodzi)

Klasyczna definicja: $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ (gdy wyniki równie prawdopodobne)

Prosto mówiąc: Szansa rzutu "6" kostką = 1 wynik sprzyjający / 6 wszystkich = $\frac{1}{6} \approx 16{,}7\%$.

Kluczowe własności:

$0 \leq P(A) \leq 1$ zawsze
$P(\Omega) = 1$; $P(\emptyset) = 0$
$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ — zdarzenie przeciwne
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ — ogólna reguła dodawania
Zdarzenia niezależne: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Przykład: Rzut dwiema kostkami. P(suma = 7)?

$|\Omega| = 36$ (6×6)
Sumy = 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) → $|A| = 6$
$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

⚡ Zapamiętaj: Prawdopodobieństwo NIE dodaje się dla zdarzeń zależnych! $P(A \cup B) \neq P(A) + P(B)$ gdy $A \cap B \neq \emptyset$.

Kolejność działań i nawiasy

Podstawówka

Definicja: Kolejność wykonywania działań (PEMDAS/BODMAS):

Nawiasy — zawsze najpierw, od wewnątrz na zewnątrz
Potęgi i pierwiastki
Mnożenie i dzielenie — od lewej do prawej
Dodawanie i odejmowanie — od lewej do prawej

Prosto mówiąc: Wyobraź sobie restaurację: najpierw kelner przynosi dania z nawiasów (VIP), potem potęgi (menedżer), potem mnożenie/dzielenie (kucharz), na końcu dodawanie/odejmowanie (pomocnik).

Zastosowanie: Każde wyrażenie algebraiczne, kalkulator, programowanie — wszędzie tam, gdzie oblicza się wartość wyrażenia wielooperacyjnego.

Przykład: Oblicz $2 + 3 \cdot (8 - 2^2)$

Potęga w nawiasie: $2^2 = 4$
Nawias: $8 - 4 = 4$
Mnożenie: $3 \cdot 4 = 12$
Dodawanie: $2 + 12 = 14$

⚡ Zapamiętaj: $2 + 3 \cdot 4 = 14$, NIE 20! Mnożenie wykonujesz przed dodawaniem. Chcesz innej kolejności? Użyj nawiasów: $(2+3)\cdot 4 = 20$.

Liczby naturalne, całkowite i wymierne

Podstawówka

Definicja: Liczby naturalne to $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ — liczby do liczenia elementów. Liczby całkowite $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$ rozszerzają je o ujemne. Liczby wymierne $\mathbb{Q}$ to wszystkie liczby dające się zapisać jako ułamek $\frac{p}{q}$, gdzie $p, q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$.

Prosto mówiąc: Naturalne — liczysz jabłka (1, 2, 3...). Całkowite — dodajesz temperatury ujemne (−5°C). Wymierne — dzielisz pizzę (3/4 pizzy).

Zastosowanie:

Naturalne: liczenie sztuk, kolejności, indeksów
Całkowite: temperatura, dług, poziom morza (−200 m)
Wymierne: ułamki, proporcje, ceny (2,50 zł = 5/2)

Przykład: Czy $-3$, $\frac{7}{2}$, $0{,}25$ są wymierne?

$-3 = \frac{-3}{1}$ — tak ✓
$\frac{7}{2} = 3{,}5$ — tak ✓
$0{,}25 = \frac{1}{4}$ — tak ✓

⚡ Zapamiętaj: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ — każdy zbiór zawiera się w kolejnym. Liczba niewymierna (np. $\sqrt{2}$, $\pi$) nie da się zapisać jako ułamek zwykły.

Statystyka opisowa — średnia, mediana, moda

Podstawówka

Definicje miar tendencji centralnej:

Średnia arytmetyczna $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \dfrac{\sum x_i}{n}$
Mediana — wartość środkowa po posortowaniu danych. Dla parzystej liczby danych: średnia dwóch środkowych.
Moda (dominanta) — wartość lub wartości występujące najczęściej w zbiorze.

Prosto mówiąc: Masz oceny: 3, 4, 4, 5, 6. Średnia to ich suma podzielona przez 5. Mediana to środkowa (4). Moda to 4 (pojawia się 2 razy).

Kiedy którą miarę stosować?

Średnia — gdy dane są równomiernie rozłożone, brak skrajnych wartości
Mediana — gdy są wartości odstające (np. zarobki: kilka osób bardzo bogatych zawyża średnią)
Moda — gdy szukasz "najpopularniejszego" (np. najczęstszy rozmiar buta w sklepie)

Przykład: Dane: $2, 4, 4, 6, 8, 10, 100$

Średnia: $\frac{2+4+4+6+8+10+100}{7} = \frac{134}{7} \approx 19{,}1$ (zawyżona przez 100!)
Mediana: po sortowaniu środkowy to $6$ (lepiej oddaje "typową" wartość)
Moda: $4$ (pojawia się 2 razy)

⚡ Zapamiętaj: Mediana jest odporna na wartości odstające, dlatego np. GUS podaje medianę wynagrodzeń, nie średnią — bo kilka bardzo wysokich pensji bardzo zawyżałoby średnią.

Wykresy funkcji prostoliniowych

Podstawówka

Funkcja liniowa: $f(x) = ax + b$, gdzie $a, b \in \mathbb{R}$.
Wykres: linia prosta. $a$ — współczynnik kierunkowy (nachylenie), $b$ — wyraz wolny (przecięcie z $OY$).
Miejsca zerowe: $x_0 = -\dfrac{b}{a}$ (gdy $a \neq 0$) — przecięcie z $OX$.

Prosto mówiąc: $a > 0$ → prosta rośnie (idzie w górę w prawo). $a < 0$ → maleje. $a = 0$ → pozioma. Im większy $|a|$, tym strojsza prosta. $b$ to gdzie prosta "zaczyna" na osi $y$.

Rysowanie prostej — dwa sposoby:

Dwa punkty: wyznacz $(0, b)$ i $(−b/a, 0)$, połącz.
Punkt + nachylenie: zacznij od $(0,b)$, przesuń o 1 w prawo i $a$ w górę.

Proste równoległe: mają ten sam $a$. Proste prostopadłe: $a_1 \cdot a_2 = -1$.

Przykład: Napisz równanie prostej przez punkty $A(1, 3)$ i $B(3, 7)$.

$a = \dfrac{7-3}{3-1} = \dfrac{4}{2} = 2$
$b = y - ax = 3 - 2\cdot1 = 1$
$f(x) = 2x + 1$

⚡ Zapamiętaj: Dwa punkty wyznaczają dokładnie jedną prostą. Wzór na współczynnik kierunkowy: $a = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ — "różnica $y$ przez różnicę $x$".

Diagram pudełkowy i analiza rozkładu danych

Podstawówka

Diagram pudełkowy (boxplot) wizualizuje: minimum, $Q_1$, medianę, $Q_3$, maksimum (five-number summary).

Konstrukcja: pudełko od $Q_1$ do $Q_3$ (zawiera środkowe 50% danych); linia w środku = mediana; wąsy do min/max lub 1,5×IQR.

Punkty poza wąsami: wartości odstające (outliers).

Skośność: mediana bliżej $Q_1$ → skośność prawostronka; bliżej $Q_3$ → lewostronna.

Dane: 2, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 30. $Q_1=6$, $Me=9$, $Q_3=13{,}5$. Wartość 30 → outlier (>$Q_3+1{,}5\cdot7{,}5=24{,}75$).

Boxplot szybko ujawnia asymetrię i wartości odstające — jeden rzut oka na rozkład.

Potęgi i pierwiastki — podstawy

Podstawówka

Definicja: Potęga $a^n$ to iloczyn $n$ czynników równych $a$: $$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ razy}}, \quad a \in \mathbb{R},\ n \in \mathbb{N}$$ Pierwiastek $n$-tego stopnia: $\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^n = a$ (dla $a \geq 0$, $n \in \mathbb{N}^+$). Szczególny przypadek: $\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}$ (pierwiastek kwadratowy).

Prosto mówiąc: $3^4$ to skrót na $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$. Pierwiastek to operacja odwrotna — $\sqrt{81} = 9$, bo $9^2 = 81$.

Ważne prawa potęg:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ — dodaj wykładniki przy mnożeniu
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ — odejmij przy dzieleniu
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ — mnóż przy potęgowaniu potęgi
$a^0 = 1$ (dla $a \neq 0$)
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$

Przykład: Uprość $\dfrac{2^5 \cdot 2^3}{2^4}$

Licznik: $2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8$
Dzielenie: $\dfrac{2^8}{2^4} = 2^{8-4} = 2^4 = 16$

⚡ Zapamiętaj: $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$! Przykład: $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \neq 3+4 = 7$. Pierwiastek NIE rozdziela się na składniki sumy.

Średnia, mediana, moda — porównanie miar tendencji

Podstawówka

Średnia arytmetyczna: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ — wrażliwa na wartości odstające.

Mediana $Me$: środkowa wartość w uporządkowanym ciągu — odporna na odstające.

Moda $Mo$: wartość najczęstsza — może nie być jedyna lub może nie istnieć.

Dla symetrycznych rozkładów: $\bar{x} = Me = Mo$.

Rozkład lewostronnie skośny: $Mo > Me > \bar{x}$; prawostronnie: $Mo < Me < \bar{x}$.

Dane: 2, 3, 3, 5, 7, 100: $\bar{x}=20$, $Me=4$, $Mo=3$. Outlier 100 "zawyża" średnią — mediana lepiej opisuje typową wartość.

Zarobki → użyj mediany (Bill Gates wchodzi do baru i średnia zarobków gwałtownie rośnie).

Permutacje i silnia

Podstawówka

Silnia: $n!=1\cdot2\cdot3\cdots n$; $0!=1$; $1!=1$.

Permutacja: liczba porządków $n$ różnych elementów: $P_n=n!$

Permutacja $k$-elementowa (wariacja bez powtórzeń): $V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ — wybieramy $k$ z $n$ i ustawiamy w kolejności.

Permutacje z powtórzeniami: $n$ elementów, gdzie $n_1$ jednakich, $n_2$ jednakich,…: $P=\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}$

Np. litery słowa ROWER: $\frac{5!}{2!}=60$ (R powtarza się 2 razy).

Ile różnych 3-cyfrowych kodów z cyfr $\{1,2,3,4,5\}$ bez powtórzeń? $V_5^3=\frac{5!}{2!}=60$.

Ile ustawień liter słowa MATEMATYKA? $\frac{10!}{3!\cdot2!\cdot2!}=75600$ (M×3, A×2, T×2).

Kolejność MA znaczenie → permutacje/wariacje. Wzór: ile jest kodów PIN? $10^4$ z powtórzeniami, $10\cdot9\cdot8\cdot7=5040$ bez.

Prawdopodobieństwo klasyczne — definicja i obliczenia

Podstawówka

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ — liczba przypadków sprzyjających / liczba wszystkich równie możliwych.

Warunki: zdarzenia elementarne jednakowo prawdopodobne, skończona przestrzeń.

$P(\emptyset)=0$, $P(\Omega)=1$, $P(A')=1-P(A)$.

Zdarzenia wykluczające się: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

Ogólnie: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Rzut dwiema kostkami. $A$ = suma = 7: pary $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ → $P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

Wyjęcie karty czerwonej lub króla: $P=\frac{26+4-2}{52}=\frac{28}{52}=\frac{7}{13}$.

Liczenie przypadków = kombinatoryka: permutacje, wariacje, kombinacje.

Kombinacje — wybór bez kolejności

Podstawówka

$\binom{n}{k}=C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — liczba sposobów wyboru $k$ elementów z $n$, gdy kolejność NIE ma znaczenia.

Czytamy: „$n$ nad $k$" lub „$n$ po $k$".

Własności: $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$; $\binom{n}{1}=n$; $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.

Wzór Pascala: $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ (trójkąt Pascala).

Kombinacje z powtórzeniami: $\overline{C}_n^k=\binom{n+k-1}{k}$.

Komisja 3-osobowa z 7 kandydatów: $\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!\cdot4!}=35$ sposobów.

Loto 6/49: $\binom{49}{6}=13\,983\,816$ — tyle kombinacji (prawdopodobieństwo: $\approx1\text{ do }14$ mln).

Kombinacje vs permutacje: {A,B,C} i {B,C,A} to TA SAMA kombinacja, ale RÓŻNE permutacje. Klucz: „czy kolejność ma znaczenie?"

Czworokąty szczególne — własności

Podstawówka

Hierarchia czworokątów:

Trapez: jedna para boków równoległych (podstawy)
Równoległobok: dwie pary boków równoległych i równych; przeciwne kąty równe
Prostokąt: równoległobok z kątami prostymi; przekątne równe
Romb: równoległobok z wszystkimi bokami równymi; przekątne prostopadłe i dwusieczne kątów
Kwadrat: prostokąt i romb jednocześnie; 4 równe boki, 4 kąty proste

Prosto mówiąc: Kwadrat to "król" — spełnia wszystkie warunki. Romb to kwadrat "pochylony". Prostokąt to kwadrat "rozciągnięty". Równoległobok to prostokąt pochylony.

Pola powierzchni:

Trapez: $P = \dfrac{(a+b)\cdot h}{2}$, gdzie $a, b$ — podstawy, $h$ — wysokość
Równoległobok: $P = a \cdot h$
Prostokąt: $P = a \cdot b$
Romb: $P = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$ (przekątne) lub $P = a \cdot h$
Kwadrat: $P = a^2$

Przykład: Trapez o podstawach 6 cm i 10 cm, wysokości 4 cm. $$P = \frac{(6+10)\cdot 4}{2} = \frac{16 \cdot 4}{2} = 32 \text{ cm}^2$$

⚡ Zapamiętaj: Każdy kwadrat jest prostokątem i rombem, ale nie każdy prostokąt jest kwadratem. Hierarchia idzie "w górę" — podklasy mają więcej własności.

Dwumian Newtona

Podstawówka

$(a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$

$k$-ty wyraz (licząc od $k=0$): $W_k=\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.

Trójkąt Pascala podaje współczynniki: wiersz $n$ to $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{n}$.

Wzory szczególne: $(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k$; dla $x=1$: $2^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$.

Suma modułów naprzemiennych: $(1-1)^n=0$ → $\sum(-1)^k\binom{n}{k}=0$.

$(x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$; współczynnik przy $x^2$: $\binom{4}{2}\cdot1^2\cdot2^2=6\cdot4=24$.

$99^3=(100-1)^3=10^6-3\cdot10^4+3\cdot10^2-1=970299$.

Wyraz ogólny: $\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ — potęgi sumują się do $n$. Szukasz wyrazu z $x^m$: ustaw wykładnik $x$ = $m$ i wyznacz $k$.

Ułamki — definicja i rodzaje

Podstawówka

Definicja: Ułamek $\frac{a}{b}$ to wynik dzielenia liczby $a$ (licznik) przez $b$ (mianownik), gdzie $b \neq 0$. Ułamek właściwy: $|a| < |b|$. Ułamek niewłaściwy: $|a| \geq |b|$. Liczba mieszana: całość + ułamek właściwy, np. $2\frac{3}{4}$.

Prosto mówiąc: Ułamek to kawałek całości. Mianownik mówi na ile części podzielono całość, licznik — ile tych części bierzemy.

Zastosowanie:

Skracanie: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ — podziel licznik i mianownik przez NWD
Dodawanie: sprowadź do wspólnego mianownika (NWW), potem dodaj liczniki
Mnożenie: licznik × licznik, mianownik × mianownik
Dzielenie: mnóż przez odwrotność: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

Przykład: $\frac{2}{3} + \frac{3}{4}$

NWW(3,4) = 12
$\frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}$

⚡ Zapamiętaj: NIE dodawaj mianowników! $\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \neq \frac{2}{5}$. Zawsze sprowadzaj do wspólnego mianownika.

Rachunek prawdopodobieństwa — reguły dodawania i mnożenia

Podstawówka

Reguła dodawania: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Zdarzenia wykluczające się: $P(A\cap B)=0\Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

Reguła mnożenia: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$.

Zdarzenia niezależne: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.

Prawdopodobieństwo warunkowe: $P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ — prawdopodobieństwo $B$ pod warunkiem $A$.

Zdarzenie przeciwne: $P(\bar A)=1-P(A)$.

Dwie kostki: $P(\text{suma}\geq10)$: pary $(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)=6$ spośród $36$. $P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

Karta z talii 52: $P(\text{as lub kier})=\frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$.

OR → dodaj (odejmij część wspólną). AND → pomnóż. Niezależne zdarzenia: informacja o jednym NIE zmienia szansy drugiego.

Schemat Bernoulliego — próby niezależne

Podstawówka

$n$ niezależnych prób, każda z prawdopodobieństwem sukcesu $p$ (i porażki $q=1-p$).

Prawdopodobieństwo dokładnie $k$ sukcesów: $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k q^{n-k}$.

$X\sim B(n,p)$ — rozkład dwumianowy.

Wartość oczekiwana: $E(X)=np$.

Wariancja: $\text{Var}(X)=npq$; odchylenie: $\sigma=\sqrt{npq}$.

Zastosowanie: rzuty monetą, kontrola jakości, ankiety (tak/nie).

5 rzutów monetą, $P(\text{dokładnie 3 orły})=\binom{5}{3}(\frac{1}{2})^3(\frac{1}{2})^2=10\cdot\frac{1}{32}=\frac{5}{16}\approx31{,}25\%$.

Testy: 10 pytań, każde z $p=0{,}25$ na sukces. $E=10\cdot0{,}25=2{,}5$ poprawnych odpowiedzi.

Wymaga: $n$ prób niezależnych, stałe $p$, tylko 2 wyniki. Loto NIE spełnia warunku stałego $p$ (losowanie bez zwracania).

Procenty — definicja i obliczenia

Podstawówka

Definicja: Procent ($\%$) to setna część całości: $$1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$$ $p\%$ liczby $W$ wynosi $\dfrac{p}{100} \cdot W$. Trzy podstawowe zadania procentowe:

Obliczyć $p\%$ z $W$: wynik $= \frac{p}{100} \cdot W$
Obliczyć, ile $\%$ liczba $x$ stanowi z $W$: wynik $= \frac{x}{W} \cdot 100\%$
Obliczyć całość $W$, jeśli $x$ stanowi $p\%$: wynik $= \frac{x \cdot 100}{p}$

Prosto mówiąc: Procent to po prostu ułamek z mianownikiem 100. $30\% = \frac{30}{100} = 0{,}3$. Przy zniżce 20% na coś za 50 zł oszczędzasz $0{,}2 \times 50 = 10$ zł.

Zastosowanie:

Rabaty i ceny: $-15\%$ od ceny
Podatki: VAT 23%
Odsetki bankowe: lokata 4% w skali roku
Wyniki ankiet i statystyki

Przykład: Cena butów 180 zł, rabat 25%. Ile zapłacisz?

Rabat: $\frac{25}{100} \cdot 180 = 0{,}25 \cdot 180 = 45$ zł
Cena po rabacie: $180 - 45 = 135$ zł
Alternatywnie: $180 \cdot 0{,}75 = 135$ zł (mnożysz przez $1 - 0{,}25$)

⚡ Zapamiętaj: Dwa rabaty 10% to NIE to samo co jeden rabat 20%! Dwa razy 10%: $100 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 81$ zł, czyli 19% taniej, nie 20%.

Rozstęp i kwartyle — miary rozproszenia

Podstawówka

Rozstęp: $R = x_{max} - x_{min}$ — najprostsza miara rozproszenia.

Kwartyle: $Q_1$ (25%), $Q_2 = Me$ (mediana, 50%), $Q_3$ (75%).

Rozstęp ćwiartkowy: $IQR = Q_3 - Q_1$ — odporna miara rozproszenia.

Wyznaczanie kwartyli: uporządkuj dane, podziel na cztery równe ćwiartki.

Wartości odstające (outliers): $x < Q_1 - 1{,}5\cdot IQR$ lub $x > Q_3 + 1{,}5\cdot IQR$.

Dane: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12. $Q_1=4$, $Q_2=7$, $Q_3=10$. $IQR=6$. $R=10$.

$IQR$ jest odporny na wartości odstające; rozstęp — bardzo wrażliwy.

Prawdopodobieństwo zdarzeń zależnych i niezależnych

Podstawówka

Zdarzenia niezależne: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Zdarzenia zależne: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

$P(B|A)$ — prawdopodobieństwo warunkowe $B$ pod warunkiem $A$.

Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe: $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Dodawanie: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Urna: 4 białe, 3 czarne. Losujemy 2 bez zwracania. $P(\text{obie białe}) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} = \frac{2}{7}$.

Ze zwracaniem → niezależne; bez zwracania → zależne (skład urny się zmienia).

Proporcja i proporcjonalność

Podstawówka

Definicja: Proporcja to równość dwóch stosunków: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, co równoważnie oznacza $a \cdot d = b \cdot c$ (iloczyn krzyżowy). Proporcjonalność prosta: $y = kx$ (gdy $x$ rośnie $n$-krotnie, $y$ też rośnie $n$-krotnie). Proporcjonalność odwrotna: $xy = k$ (gdy $x$ rośnie $n$-krotnie, $y$ maleje $n$-krotnie).

Prosto mówiąc:

Proporcja prosta: więcej towarów → więcej płacisz
Proporcja odwrotna: więcej pracowników → krócej trwa praca

Jak rozwiązywać przez proporcję:

Zapisz znane dane i szukane jako proporcję
Wyznacz szukaną przez iloczyn krzyżowy
Sprawdź, czy proporcja jest prosta czy odwrotna!

Przykład: 5 kg jabłek kosztuje 15 zł. Ile kosztuje 8 kg?

$\frac{5}{15} = \frac{8}{x}$ (proporcja prosta)
$x = \frac{8 \cdot 15}{5} = 24$ zł

⚡ Zapamiętaj: Sprawdź kierunek! Więcej robotników → krócej trwa praca → proporcja ODWROTNA. Zapisz: $5 \cdot t_1 = 8 \cdot t_2$.

Układ współrzędnych kartezjańskich

Podstawówka

Definicja: Układ współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie tworzą dwie prostopadłe osie liczbowe: oś $OX$ (pozioma, odcięta) i oś $OY$ (pionowa, rzędna) przecinające się w punkcie $O(0,0)$ zwanym początkiem układu. Każdy punkt $P$ na płaszczyźnie opisujemy parą $(x, y)$, gdzie $x$ — odległość (ze znakiem) od osi $OY$, $y$ — odległość (ze znakiem) od osi $OX$.

Prosto mówiąc: To jak mapa z siatką ulic. Powiedz "idź 3 bloki w prawo i 2 bloki w górę" — to jest punkt $(3, 2)$.

Ćwiartki układu:

I ćwiartka: $x > 0$, $y > 0$ (prawy górny)
II ćwiartka: $x < 0$, $y > 0$ (lewy górny)
III ćwiartka: $x < 0$, $y < 0$ (lewy dolny)
IV ćwiartka: $x > 0$, $y < 0$ (prawy dolny)

Przykład: Oblicz odległość punktów $A(1, 2)$ i $B(5, 5)$: $$|AB| = \sqrt{(5-1)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

⚡ Zapamiętaj: Kolejność ma znaczenie! Punkt $(3, 2) \neq (2, 3)$. Pierwsza liczba to zawsze $x$ (poziomo), druga to $y$ (pionowo).

Kombinatoryka — permutacje, wariacje, kombinacje

Podstawówka

Permutacje (kolejność ma znaczenie, bez powtórzeń): $P_n = n!$

Wariacje z powtórzeniami: $W_n^k = n^k$

Wariacje bez powtórzeń: $V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Kombinacje (kolejność nie ma znaczenia): $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Ile słów z liter A,B,C,D? $P_4 = 24$. Ile 2-literowych? $V_4^2 = 12$. Ile par? $\binom{4}{2}=6$.

PIN 4-cyfrowy (0-9): $10^4 = 10000$ możliwości.

Pytanie kluczowe: czy kolejność ma znaczenie? (tak → wariacja/permutacja; nie → kombinacja).

Wykresy słupkowe — odczytywanie i tworzenie

Podstawówka

Definicja: Wykres słupkowy (kolumnowy) przedstawia dane kategorialne za pomocą prostokątnych słupków, których wysokość odpowiada wartości danej kategorii. Oś X — kategorie, oś Y — wartości.

Prosto mówiąc: Każda kategoria ma swój słupek. Im wyższy słupek, tym większa wartość. Idealne do porównywania kilku rzeczy naraz.

Zastosowanie:

Porównywanie wyników z różnych miesięcy
Zestawienie popularności produktów
Wyniki głosowania lub ankiety

Przykład: Sprzedaż w sklepie: sty: 120, lut: 95, mar: 150. Rysujemy 3 słupki — marcowy jest najwyższy. Oś Y zaczyna od 0!

⚡ Zapamiętaj: Oś Y zawsze zaczyna od 0 (chyba że zaznaczysz przerwę). Inaczej wykres jest mylący i nierzetelny.

Liczby pierwsze i rozkład na czynniki

Podstawówka

Definicja: Liczba naturalna większa od 1 jest pierwsza, jeśli ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i siebie samą. Liczba złożona to każda naturalna > 1, która nie jest pierwsza.
Zasadnicze twierdzenie arytmetyki: Każda liczba naturalna > 1 daje się przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych w sposób jedyny (z dokładnością do kolejności czynników).

Prosto mówiąc: Liczby pierwsze to "atomy" matematyki — nie da się ich rozłożyć dalej. Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na takie atomy: np. $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.

Sito Eratostenesa — sposób na znajdowanie liczb pierwszych: wypisz liczby 2–N, wykreślaj wielokrotności 2, potem 3, 5... Niewykreślone to liczby pierwsze.
Liczby pierwsze do 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Przykład: Rozłóż 360 na czynniki pierwsze.

$360 \div 2 = 180$; $180 \div 2 = 90$; $90 \div 2 = 45$
$45 \div 3 = 15$; $15 \div 3 = 5$; 5 jest pierwsze
$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

⚡ Zapamiętaj: Liczba 1 NIE jest pierwsza (ma tylko jeden dzielnik). Liczba 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą — wszystkie inne parzyste są złożone.

Skala — przeliczanie na mapach i planach

Podstawówka

Definicja: Skala mapy to stosunek odległości na mapie do rzeczywistej odległości w terenie: $$\text{skala} = \frac{\text{odległość na mapie}}{\text{odległość rzeczywista}}$$ Zapis $1:n$ oznacza, że 1 cm na mapie odpowiada $n$ cm w rzeczywistości.

Prosto mówiąc: Skala $1:100\,000$ znaczy: 1 cm na mapie = 100 000 cm = 1 km w terenie. Im większa liczba po ":", tym mniejszy szczegół mapy.

Obliczenia:

Odległość rzeczywista = odległość na mapie × mianownik skali
Odległość na mapie = odległość rzeczywista ÷ mianownik skali

Uważaj na jednostki — przelicz na te same przed obliczeniem!

Przykład: Mapa w skali $1:50\,000$. Zmierzyłeś 6 cm. Jaka to odległość?

$6 \text{ cm} \times 50\,000 = 300\,000 \text{ cm}$
$300\,000 \text{ cm} = 3000 \text{ m} = 3 \text{ km}$

⚡ Zapamiętaj: Skala $1:5000$ jest większa (bardziej szczegółowa) niż $1:100\,000$. "Większa skala" = więcej detali, mniejszy obszar na mapie.

Symetria osiowa i środkowa

Podstawówka

Symetria osiowa: Przekształcenie płaszczyzny — odbicie względem prostej $l$ (osi symetrii). Punkt $P$ przechodzi w $P'$, gdzie $l$ jest prostopadłą dwusieczną odcinka $PP'$.
Symetria środkowa: Przekształcenie — obrót o 180° wokół punktu $S$ (środka symetrii). Punkt $P$ przechodzi w $P'$, gdzie $S$ jest środkiem odcinka $PP'$.

Prosto mówiąc: Symetria osiowa to odbicie w lustrze — oś to lustro. Symetria środkowa to "przebicie" przez punkt — jak obracasz kartkę o 180° wokół centralnego gwoździka.

Figury symetryczne:

Prostokąt — 2 osie symetrii, 1 środek symetrii
Kwadrat — 4 osie symetrii, 1 środek
Koło — nieskończenie wiele osi (każda średnica), 1 środek
Równoboczny trójkąt — 3 osie symetrii, brak środka symetrii

Przykład: Znajdź symetryczny do $A(2, 3)$ względem:

Osi $OX$: $A'(2, -3)$ — zmień znak współrzędnej $y$
Osi $OY$: $A'(-2, 3)$ — zmień znak współrzędnej $x$
Środka $O(0,0)$: $A'(-2, -3)$ — zmień znaki obu

⚡ Zapamiętaj: Symetria zachowuje długości i kąty (jest izometrią). Symetria osiowa odwraca orientację figury (jak w lustrze), a środkowa — zachowuje orientację.

Wykresy kołowe — interpretacja procentowa

Podstawówka

Definicja: Wykres kołowy (pierścieniowy) dzieli koło na wycinki proporcjonalne do udziałów procentowych poszczególnych kategorii. Suma wszystkich wycinków = 100% = 360°.

Prosto mówiąc: Koło to "cały tort" (100%). Każda kategoria dostaje kawałek proporcjonalny do swojego udziału. Dobry gdy chcesz pokazać udziały w całości.

Zastosowanie:

Budżet domowy — gdzie idą pieniądze
Skład produktu (białko, tłuszcz, cukier)
Wyniki wyborów

Przykład: Klasa: 40% dziewcząt, 60% chłopców. Kąt wycinku dziewcząt: $0{,}40 \times 360° = 144°$. Chłopcy: $0{,}60 \times 360° = 216°$.

⚡ Zapamiętaj: Kąt wycinku = procent × 3,6 (bo 360°/100% = 3,6°/%). Zawsze sprawdzaj, czy kąty sumują się do 360°.

Tabele danych — jak poprawnie odczytywać

Podstawówka

Definicja: Tabela danych to siatka wierszy i kolumn. Nagłówki opisują co reprezentuje dany wiersz/kolumna. Każda komórka zawiera jedną wartość odpowiadającą jej wierszowi i kolumnie.

Prosto mówiąc: Czytasz tabelę jak mapę: wybierasz wiersz (co?) i kolumnę (kiedy/gdzie?) — przecięcie to szukana wartość. Zawsze czytaj nagłówki!

Zastosowanie:

Rozkłady jazdy, cenniki, tabele kursów walut
Wyniki sportowe, tabele ligowe
Porównanie kilku cech naraz

Przykład: Tabela temperatur: wiersze = miasta, kolumny = miesiące. Aby znaleźć temperaturę w Krakowie w lipcu — znajdź wiersz "Kraków" i kolumnę "lipiec".

⚡ Zapamiętaj: Najpierw przeczytaj tytuł tabeli i nagłówki wierszy/kolumn. Bez tego dane nie mają sensu.

Wykresy liniowe — odczytywanie trendu

Podstawówka

Definicja: Wykres liniowy łączy punkty danych odcinkami. Pokazuje zmiany w czasie. Rosnąca linia = trend wzrostowy, opadająca = spadkowy, pozioma = brak zmian.

Prosto mówiąc: Idealne do pokazywania "jak coś się zmieniało z biegiem czasu". Temperatura w ciągu tygodnia, wzrost rośliny, cena akcji.

Zastosowanie:

Temperatura dzienna lub roczna
Postępy w nauce (wyniki testów)
Zmiana masy lub wzrostu

Przykład: Temperatura poniedziałek–piątek: 12°, 15°, 14°, 18°, 20°. Trend rosnący z lekkim spadkiem w środę. Szczyt: piątek 20°.

⚡ Zapamiętaj: Wykres liniowy służy do CIĄGŁYCH danych (czas, pomiary). Do kategorii używaj słupkowego.

Średnia arytmetyczna — obliczanie krok po kroku

Podstawówka

Definicja: Średnia arytmetyczna zbioru $n$ liczb to ich suma podzielona przez $n$: $$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$$

Prosto mówiąc: Zsumuj wszystkie wartości, podziel przez ile ich jest. Wyobraź sobie, że "rozkładasz" sumę równo na wszystkich.

Zastosowanie:

Średnia ocen w szkole
Średnia temperatura miesiąca
Średnia prędkość w podróży

Przykład: Wyniki testu: 72, 85, 68, 91, 74. Suma = 390. Średnia = $390 \div 5 = 78$.

⚡ Zapamiętaj: Średnia MOŻE nie być równa żadnemu z wyników w zbiorze. To wartość "wyważona" — wrażliwa na skrajne wartości.

Mediana — środkowy wynik w zbiorze danych

Podstawówka

Definicja: Mediana to wartość środkowa po uszeregowaniu danych rosnąco. Dla nieparzystej liczby danych $n$ — środkowy element. Dla parzystej — średnia dwóch środkowych.

Prosto mówiąc: Ustaw wszystkich uczniów w kolejce od najniższego do najwyższego. Ten stojący w środku ma wzrost równy medianie.

Zastosowanie:

Mediana zarobków (odporna na skrajne wartości)
Mediana cen nieruchomości
Lepiej niż średnia gdy są duże skoki w danych

Przykład: Dane: 3, 7, 2, 9, 4. Po sortowaniu: 2, 3, 4, 7, 9. Mediana = 4 (element 3-ci z 5). Dla 2, 3, 4, 7, 9, 10: mediana = $\tfrac{4+7}{2} = 5{,}5$.

⚡ Zapamiętaj: Najpierw SORTUJ, potem szukaj środka. Jeden miliarder w grupie nie zmienia mediany drastycznie — zmienia średnią.

Moda — najczęstszy wynik w danych

Podstawówka

Definicja: Moda (dominanta) to wartość, która najczęściej pojawia się w zbiorze danych. Zbiór może mieć jedną modę, wiele mód lub żadnej (gdy każda wartość pojawia się tyle samo razy).

Prosto mówiąc: Co jest "popularne"? Moda to "ulubieniec" — ta wartość, na którą najczęściej trafiasz w danych.

Zastosowanie:

Najpopularniejszy rozmiar butów w sklepie
Najczęstsza odpowiedź w ankiecie
Typowy czas przejazdu autobusem

Przykład: Oceny: 4, 3, 5, 4, 2, 4, 3, 5. Moda = 4 (pojawia się 3 razy). Dane: 1, 2, 3, 4 — brak mody (każda po raz jeden).

⚡ Zapamiętaj: Moda jedyna miara, która może dotyczyć danych nielizbowych (np. kolor oczu: "moda = brązowy").

NWD i NWW — największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność

Podstawówka

NWD(a, b) — największa liczba naturalna, która dzieli jednocześnie $a$ i $b$.
NWW(a, b) — najmniejsza liczba naturalna, która jest wielokrotnością zarówno $a$, jak i $b$.
Związek: $\text{NWD}(a,b) \cdot \text{NWW}(a,b) = a \cdot b$

Prosto mówiąc: NWD to największy "wspólny kawałek" — przydaje się przy skracaniu ułamków. NWW to najmniejszy "wspólny mianownik" — przy dodawaniu ułamków o różnych mianownikach.

Algorytm Euklidesa (NWD): Dziel większą liczbę przez mniejszą, zastąp większą resztą — powtarzaj aż reszta = 0. NWD = ostatni niezerowy dzielnik.
NWW przez rozkład: Weź każdy czynnik pierwszy z najwyższą potęgą z obu rozkładów.

Przykład: Znajdź NWD i NWW dla 36 i 48.

$36 = 2^2 \cdot 3^2$; $48 = 2^4 \cdot 3$
NWD: najmniejsze potęgi wspólnych czynników: $2^2 \cdot 3 = 12$
NWW: największe potęgi wszystkich czynników: $2^4 \cdot 3^2 = 144$
Sprawdzenie: $12 \cdot 144 = 1728 = 36 \cdot 48$ ✓

⚡ Zapamiętaj: NWD skraca ułamek $\frac{36}{48} = \frac{36 \div 12}{48 \div 12} = \frac{3}{4}$. NWW daje wspólny mianownik: $\frac{1}{36}+\frac{1}{48} = \frac{4}{144}+\frac{3}{144} = \frac{7}{144}$.

Procenty — pojęcie i obliczenia

Podstawówka

Definicja: Procent ($\%$) to jedna setna część całości: $1\% = \frac{1}{100}$. $p\%$ z liczby $W$ wynosi $\frac{p}{100} \cdot W$.

Prosto mówiąc: „Procent" pochodzi z łaciny — per centum = „na sto". Myślisz o procentach jak o kawałkach stu równych części.

Trzy typy zadań:

Ile to $p\%$ z $W$? → $x = \frac{p}{100} \cdot W$
Jaki procent $x$ stanowi z $W$? → $p = \frac{x}{W} \cdot 100\%$
Jaka jest całość $W$, jeśli $x$ to $p\%$? → $W = \frac{x \cdot 100}{p}$

Zmiana procentowa:

Wzrost o $p\%$: pomnóż przez $(1 + \frac{p}{100})$, np. +20% → ×1,20
Spadek o $p\%$: pomnóż przez $(1 - \frac{p}{100})$, np. –15% → ×0,85

Przykład: Cena 200 zł, zniżka 30%. Nowa cena?

Zniżka: $\frac{30}{100} \cdot 200 = 60$ zł
Cena po: $200 - 60 = 140$ zł (lub $200 \cdot 0{,}70 = 140$ zł)

⚡ Zapamiętaj: Wzrost o 10%, a potem spadek o 10% NIE wraca do punktu wyjścia! $100 \cdot 1{,}1 \cdot 0{,}9 = 99$. Procenty działają na aktualną wartość.

Trójkąty — rodzaje i pola

Podstawówka

Rodzaje trójkątów:

Wg boków: równoboczny ($a=b=c$), równoramienny ($a=b \neq c$), różnoboczny
Wg kątów: ostrokątny (wszystkie $< 90°$), prostokątny (jeden $= 90°$), rozwartokątny (jeden $> 90°$)

Suma kątów trójkąta: $\alpha + \beta + \gamma = 180°$

Wzory na pole:

Podstawowy: $P = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$ (podstawa × wysokość / 2)
Wzór Herona: $P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, gdzie $s = \frac{a+b+c}{2}$
Przez sin: $P = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$

Nierówność trójkąta: Suma dowolnych dwóch boków musi być większa od trzeciego: $a+b > c$.

Przykład: Trójkąt o bokach 5, 12, 13.

Sprawdź $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ → trójkąt prostokątny (tw. Pitagorasa)
Pole: $P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$

⚡ Zapamiętaj: Trójkąt równoboczny ma wszystkie kąty po 60°. Wysokość w trójkącie prostokątnym opuszczona na przeciwprostokątną dzieli go na dwa trójkąty podobne do siebie i do oryginału.

Doświadczenie losowe — rzut monetą i kostką

Podstawówka

Definicja: Doświadczenie losowe to takie, którego wynik nie jest z góry określony. Zbiór wszystkich możliwych wyników to przestrzeń zdarzeń $\Omega$. Zdarzenie to dowolny podzbiór $\Omega$.

Prosto mówiąc: Rzucasz kostką — możesz wylosować 1,2,3,4,5,6. Prawdopodobieństwo każdego = $\tfrac{1}{6}$ (gdy kostka symetryczna). Każdy wynik jednakowo możliwy.

Zastosowanie:

Gry planszowe i losowania
Prognozowanie wyników sportowych
Ubezpieczenia i ryzyko

Przykład: Rzut monetą: $\Omega = \{O, R\}$ (orzeł, reszka). Prawdopodobieństwo orła = $\tfrac{1}{2}$. Rzut kostką: zdarzenie "parzysta" = $\{2,4,6\}$, $P = \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$.

⚡ Zapamiętaj: $P = \tfrac{\text{liczba korzystnych wyników}}{\text{liczba wszystkich wyników}}$ — tylko gdy wyniki są równo prawdopodobne.

Drzewko możliwości — metoda zliczania wyników

Podstawówka

Definicja: Drzewko (diagram drzewa) to graficzny schemat rozgałęzień pokazujący wszystkie możliwe wyniki złożonego doświadczenia losowego. Każda gałąź = jeden wynik kolejnego etapu.

Prosto mówiąc: Rzucasz monetą dwa razy. Pierwsza gałąź: O lub R. Z każdej wyrastają kolejne dwie: OO, OR, RO, RR. Widać WSZYSTKIE kombinacje.

Zastosowanie:

Wyznaczanie przestrzeni zdarzeń
Liczenie kombinacji (ubrania, menu)
Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń złożonych

Przykład: Rzut monetą i kostką: $2 \times 6 = 12$ wyników. Drzewko: 2 gałęzie (O,R) → każda 6 gałęzi (1–6). Wyniki: O1, O2, ..., O6, R1, ..., R6.

⚡ Zapamiętaj: Liczba wyników = iloczyn liczb możliwości na każdym etapie. $2 \times 6 = 12$, $6 \times 6 = 36$ (dwie kostki).

Zdarzenie pewne, niemożliwe i losowe

Podstawówka

Definicja: • Zdarzenie pewne: zawsze zachodzi, $P = 1$
• Zdarzenie niemożliwe: nigdy nie zachodzi, $P = 0$
• Zdarzenie losowe: może zajść lub nie, $0 < P < 1$

Prosto mówiąc: Rzucasz zwykłą kostką — wyrzucenie liczby od 1 do 6 to zdarzenie pewne. Wyrzucenie 7 to niemożliwe. Wyrzucenie 5 to losowe.

Zastosowanie:

Ocena prawdopodobieństwa zdarzeń
Analiza ryzyka w decyzjach
Gry i losowania

Przykład: Worek z kulkami: 3 czerwone, 2 niebieskie. P(czerwona) = 3/5. P(żółta) = 0 (niemożliwe). P(czerwona lub niebieska) = 1 (pewne).

⚡ Zapamiętaj: Prawdopodobieństwo zawsze mieści się w przedziale $[0, 1]$. Suma prawdopodobieństw wszystkich możliwych wyników = 1.

Dane statystyczne — zbieranie i porządkowanie

Podstawówka

Definicja: Dane statystyczne to zebrane obserwacje lub pomiary. Porządkujemy je przez: tabelę częstości, sortowanie, grupowanie w przedziały. Populacja to cała badana zbiorowość, próba — jej część.

Prosto mówiąc: Zbierasz dane (np. wzrost uczniów), a potem układasz je tak, by łatwo znaleźć wzorce: kto jest najwyższy, jaka jest typowa wartość.

Zastosowanie:

Ankiety szkolne i badania opinii
Pomiary naukowe
Analiza wyników sportowych

Przykład: Wzrosty (cm): 162, 175, 168, 175, 180, 162, 162. Tabela częstości: 162→3×, 168→1×, 175→2×, 180→1×. Moda = 162 cm.

⚡ Zapamiętaj: Tabelę częstości tworzysz przez policzenie, ile razy każda wartość wystąpiła. Użyj kreseczek przy zliczaniu.

Diagram Venna — zaznaczanie zbiorów

Podstawówka

Definicja: Diagram Venna to rysunek złożony z zachodzących na siebie okręgów (lub owalnych obszarów), gdzie każdy okrąg reprezentuje zbiór. Część wspólna (przekrój) to element należący do obu zbiorów.

Prosto mówiąc: Dwa okręgi częściowo na siebie nachodzą. W środku (część wspólna) są elementy należące do obu zbiorów. Na zewnątrz — elementy nienależące do żadnego.

Zastosowanie:

Klasyfikacja zwierząt (ssaki, zwierzęta wodne)
Hobby uczniów (kto gra w piłkę I pływa)
Logika i teoria zbiorów

Przykład: Zbiór A: {1,2,3,4}, Zbiór B: {3,4,5,6}. Część wspólna A∩B = {3,4}. Suma A∪B = {1,2,3,4,5,6}.

⚡ Zapamiętaj: ∩ = przekrój (część wspólna = "i"). ∪ = suma (wszystkie razem = "lub"). A\B = różnica (tylko w A, nie w B).

Równania liniowe z jedną niewiadomą

Podstawówka

Definicja: Równanie liniowe z jedną niewiadomą $x$ ma postać: $$ax + b = 0, \quad a \neq 0$$ Jedyne rozwiązanie: $x = -\dfrac{b}{a}$.
Ogólniej: $ax + b = cx + d$ — przenosimy wyrazy z $x$ na lewą, stałe na prawą stronę.

Prosto mówiąc: Równanie to "waga" — to co robisz po jednej stronie, musisz zrobić po drugiej. Cel: zostać z samym $x$ po lewej stronie.

Algorytm rozwiązywania:

Usuń nawiasy (reguła rozdzielności)
Przenieś wyrazy z $x$ na lewą, stałe na prawą stronę (zmień znaki)
Połącz wyrazy podobne
Podziel obie strony przez współczynnik przy $x$

Szczególne przypadki: $0 \cdot x = 0$ — nieskończenie wiele rozwiązań; $0 \cdot x = 5$ — brak rozwiązań.

Przykład: Rozwiąż $3(x-2) + 5 = 2x - 1$

$3x - 6 + 5 = 2x - 1$
$3x - 1 = 2x - 1$
$3x - 2x = -1 + 1$
$x = 0$

⚡ Zapamiętaj: Zawsze sprawdź wynik — podstaw znalezione $x$ do oryginalnego równania. Tu: $3(0-2)+5 = -6+5=-1$ i $2\cdot0-1=-1$ ✓.

Twierdzenie Pitagorasa

Podstawówka

Twierdzenie: W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej ($c$) równa się sumie kwadratów długości przyprostokątnych ($a$, $b$): $$a^2 + b^2 = c^2$$ Twierdzenie odwrotne: Jeśli $a^2 + b^2 = c^2$, to trójkąt jest prostokątny.

Prosto mówiąc: Masz trójkąt z kątem prostym? Kwadrat zbudowany na najdłuższym boku ma pole równe sumie pól kwadratów na krótszych bokach. Egipcjanie używali sznura z węzłami co 3-4-5 jednostek do mierzenia kątów prostych przy budowie piramid.

Trójki pitagorejskie (liczby naturalne):

3, 4, 5 (i wielokrotności: 6-8-10, 9-12-15…)
5, 12, 13
8, 15, 17
7, 24, 25

Zastosowania: Odległość punktów, przekątna prostokąta, wysokość w trójkącie.

Przykład: Przekątna kwadratu o boku $a$. $$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$ Dla $a = 5$ cm: $d = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$ cm.

⚡ Zapamiętaj: Przekątna prostokąta: $d = \sqrt{a^2+b^2}$. Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$: $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Obie wynikają wprost z twierdzenia Pitagorasa.

Figury podobne — skala i warunki podobieństwa

Podstawówka

Definicja: Dwie figury są podobne ($\sim$), jeśli jedna powstaje z drugiej przez powiększenie lub pomniejszenie (homotetię), ewentualnie z dodatkowym obrotem lub odbiciem. Stosunek odpowiadających sobie boków jest stały i nazywa się skalą podobieństwa $k$.

Warunki podobieństwa trójkątów:

KKK — odpowiadające kąty są równe ($\alpha=\alpha'$, $\beta=\beta'$, $\gamma=\gamma'$)
BBB — odpowiadające boki proporcjonalne ($\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$)
BKB — dwa boki proporcjonalne i zawarty między nimi kąt równy

Pola figur podobnych: $\dfrac{P_1}{P_2} = k^2$ (skala pól = kwadrat skali liniowej)

Przykład: Dwa trójkąty podobne, skala $k = 3$. Mniejszy ma pole 8 cm². Pole większego? $$P_2 = k^2 \cdot P_1 = 9 \cdot 8 = 72 \text{ cm}^2$$

⚡ Zapamiętaj: Podobieństwo ≠ przystąwalność! Figury przystające są podobne ze skalą $k=1$. Mapy i modele architektoniczne to podobieństwo w działaniu — mapa 1:25000 oznacza $k=\frac{1}{25000}$.

Nierówności liniowe z jedną niewiadomą

Podstawówka

Definicja: Nierówność liniowa: $ax + b > 0$ (lub $<, \geq, \leq$).
Rozwiązaniem jest przedział liczb (nie pojedyncza wartość).
Kluczowa reguła: Przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną — odwróć znak nierówności!

Prosto mówiąc: $2 < 5$. Pomnóż obie strony przez $-1$: $-2 > -5$ (znak się odwraca!). To jedna z pułapek, w którą łatwo wpaść.

Notacja rozwiązań:

$x > 3$: przedział $(3, +\infty)$, na osi — strzałka w prawo od otwartego punktu
$x \leq -2$: przedział $(-\infty, -2\rangle$, strzałka w lewo od zamkniętego punktu

Łączenie nierówności: $-1 < x \leq 4$ — przedział $(-1, 4\rangle$

Przykład: Rozwiąż $-2x + 3 \geq 7$

$-2x \geq 7 - 3 = 4$
$x \leq \dfrac{4}{-2} = -2$ (dzielenie przez $-2$ — odwróć $\geq$ na $\leq$!)
Rozwiązanie: $x \in (-\infty, -2\rangle$

⚡ Zapamiętaj: Dzielisz/mnożysz przez ujemną? Odwróć znak! $-2x \geq 4 \Rightarrow x \leq -2$, NIE $x \geq -2$.

Wyrażenia algebraiczne i zmienne

Podstawówka

Definicja: Zmienna (np. $x$, $a$, $n$) to symbol reprezentujący nieznaną liczbę. Wyrażenie algebraiczne to zapis zawierający zmienne, liczby i działania, np. $3x + 2$, $a^2 - b$. Równanie to równość dwóch wyrażeń z co najmniej jedną zmienną: $2x + 5 = 11$.

Prosto mówiąc: Zmienna to „nieznajomy" — szukamy jej wartości. Wyrażenie algebraiczne to przepis — podstawiasz liczbę, dostajesz wynik.

Zasady przekształceń:

Dodawaj podobne wyrazy: $3x + 5x = 8x$ (ale $3x + 5y$ nie upraszcza się)
Równanie: co robisz z jedną stroną, rób z drugą
Przenoszenie: zmień znak! $x + 3 = 7 \Rightarrow x = 7 - 3$

Przykład: Rozwiąż $3x - 4 = 11$.

Dodaj 4 do obu stron: $3x = 15$
Podziel przez 3: $x = 5$
Sprawdzenie: $3 \cdot 5 - 4 = 11$ ✓

⚡ Zapamiętaj: Przenosząc wyraz na drugą stronę równania, ZAWSZE zmieniasz znak! $+$ staje się $-$ i odwrotnie.

Bryły — graniastosłupy i ostrosłupy

Podstawówka

Graniastosłup — bryła o dwóch równoległych i przystających podstawach (wielokątach) połączonych prostokątnymi bocznymi ścianami. Prosty: boczne krawędzie prostopadłe do podstaw.
Ostrosłup — bryła o podstawie (wielokącie) i trójkątnych ścianach bocznych zbiegających się w wierzchołku (apex).

Wzory — graniastosłup prosty:

Objętość: $V = P_{podst} \cdot h$ (pole podstawy × wysokość)
Pole powierzchni: $P_{pp} = 2P_{podst} + P_{boczna}$
Sześcian ($a$): $V = a^3$; $P_{pp} = 6a^2$
Prostopadłościan ($a,b,c$): $V = abc$; $P_{pp} = 2(ab+bc+ca)$

Wzory — ostrosłup:

Objętość: $V = \dfrac{1}{3} P_{podst} \cdot h$
Stożek: $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$; Walec: $V = \pi r^2 h$
Kula: $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$; $P_{pp} = 4\pi r^2$

Przykład: Ostrosłup czworokątny (kwadratowy) o podstawie $6\times6$ cm i wysokości 8 cm. $$V = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 96 \text{ cm}^3$$

⚡ Zapamiętaj: Objętość ostrosłupa = $\frac{1}{3}$ objętości graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości. Trzy takie ostrosłupy wypełniają jeden graniastosłup.

Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Podstawówka

Definicja: Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi: $$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$ Rozwiązanie to para $(x, y)$ spełniająca oba równania jednocześnie.

Metody rozwiązywania:

Podstawiania: Wyraź jedną niewiadomą z jednego równania i podstaw do drugiego.
Przeciwnych współczynników: Pomnóż równania tak, by jeden ze współczynników miał wartości przeciwne — dodaj stronami.
Graficzna: Narysuj obie proste — punkt przecięcia to rozwiązanie.

Liczba rozwiązań: jedno (proste się przecinają), brak (równoległe), nieskończenie wiele (pokrywają się).

Przykład (przeciwnych wsp.): $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \ 4x - 3y = 6 \end{cases}$

Dodaj oba: $6x = 18 \Rightarrow x = 3$
Podstaw: $2\cdot3 + 3y = 12 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2$
Rozwiązanie: $(3, 2)$

⚡ Zapamiętaj: Sprawdź wynik w OBU równaniach: $2\cdot3+3\cdot2=12$ ✓ i $4\cdot3-3\cdot2=6$ ✓. Jeden błąd w rachunkach = zły wynik w obu!

Podstawowe figury geometryczne — definicje

Podstawówka

Definicje:

Punkt — element bez wymiarów, określa położenie
Prosta — nieskończona linia, przez 2 punkty przechodzi dokładnie 1 prosta
Odcinek — część prostej między dwoma punktami (ma długość)
Kąt — część płaszczyzny między dwoma półprostymi o wspólnym początku (wierzchołku)
Wielokąt — figura ograniczona odcinkami (bokami), np. trójkąt, czworokąt

Rodzaje kątów:

Ostry: $0° < \alpha < 90°$
Prosty: $\alpha = 90°$
Rozwarty: $90° < \alpha < 180°$
Pełny: $\alpha = 360°$

Zastosowanie — trójkąt:

Suma kątów trójkąta: $\alpha + \beta + \gamma = 180°$
Trójkąt prostokątny: jeden kąt = 90°
Równoboczny: wszystkie boki równe, kąty po 60°
Równoramienny: dwa boki równe, dwa kąty przy podstawie równe

Przykład: Trójkąt ma kąty 50° i 70°. Ile wynosi trzeci kąt?

$\alpha + \beta + \gamma = 180°$
$\gamma = 180° - 50° - 70° = 60°$

⚡ Zapamiętaj: Suma kątów w KAŻDYM trójkącie = 180°. Suma kątów w czworokącie = 360°. Ogólnie: $n$-kąt → $(n-2) \cdot 180°$.

Przekształcenia geometryczne — przesunięcie i obrót

Podstawówka

Izometria — przekształcenie zachowujące odległości (długości, kąty, pola). Główne izometrie:

Przesunięcie (translacja): każdy punkt przesuwa się o ten sam wektor $\vec{v} = [p, q]$. Wzór: $P(x,y) \to P'(x+p, y+q)$.
Obrót: każdy punkt obraca się o kąt $\varphi$ wokół środka $S$. Dla środka $(0,0)$: $x'=x\cos\varphi - y\sin\varphi$, $y'=x\sin\varphi + y\cos\varphi$.
Odbicie (symetria osiowa): omówione wcześniej.

Prosto mówiąc: Translacja to "przesunięcie figury bez obracania" — jak przesuwasz bierkę szachową. Obrót to wirowanie wokół punktu — jak wskazówka zegara.

Złożenia przekształceń: Dwa odbicia względem równoległych prostych = translacja. Dwa odbicia względem przecinających się prostych = obrót o kąt = 2 × kąt między prostymi.

Przykład: Przesuń trójkąt $A(1,1)$, $B(3,1)$, $C(2,3)$ o wektor $\vec{v} = [2,-1]$.

$A'(1+2, 1-1) = A'(3, 0)$
$B'(3+2, 1-1) = B'(5, 0)$
$C'(2+2, 3-1) = C'(4, 2)$

⚡ Zapamiętaj: Translacja i obrót zachowują orientację figury (nie "odwracają" jej jak w lustrze). Złożenie dwóch symetrii osiowych daje translację lub obrót — to fundamentalne twierdzenie geometrii.

Koło i okrąg — definicje

Podstawówka

Definicje:

Okrąg — zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych o dokładnie $r$ od środka $O$. To sam obwód (linia).
Koło — okrąg wraz z wnętrzem (powierzchnia)
Promień $r$ — odcinek od środka do okręgu
Średnica $d = 2r$ — cięciwa przez środek
Cięciwa — odcinek łączący dwa punkty okręgu

Prosto mówiąc: Okrąg = sam drut ogrodzenia okrągłego pola. Koło = cały obszar pola.

Wzory:

Długość okręgu: $L = 2\pi r = \pi d$
Pole koła: $P = \pi r^2$
Łuk: $l = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$
Wycinek: $P_w = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$

Przykład: Koło o promieniu 7 cm. Długość okręgu i pole?

$L = 2\pi \cdot 7 = 14\pi \approx 43{,}98$ cm
$P = \pi \cdot 49 = 49\pi \approx 153{,}94$ cm²

⚡ Zapamiętaj: $\pi \approx 3{,}14$ lub $\pi \approx \frac{22}{7}$. Długość okręgu: $r$ w pierwszej potędze. Pole koła: $r$ w drugiej potędze.

Prostopadłość i równoległość

Podstawówka

Definicje:

Proste równoległe — nie przecinają się (są w tej samej płaszczyźnie i nie mają punktu wspólnego). Symbol: $a \parallel b$
Proste prostopadłe — przecinają się pod kątem prostym (90°). Symbol: $a \perp b$

Prosto mówiąc: Równoległe — jak szyny kolejowe (nigdy się nie spotkają). Prostopadłe — jak ulice tworzące literę T lub L.

Własności:

Jeśli dwie proste są prostopadłe do tej samej prostej — są do siebie równoległe
Kąty przy przecięciu równoległych przez prostą poprzeczną: naprzemianległe są równe, odpowiadające sobie są równe
Prostokąt: cztery kąty proste, boki przeciwległe równoległe

Przykład: Prosta poprzeczna przecina dwie równoległe. Jeden kąt = 65°. Jakie są pozostałe?

Kąty przy jednej prostej: 65° i 115° (uzupełniają się do 180°)
Kąty naprzemianległe: 65° po obu stronach
Kąty odpowiadające: 65° po tej samej stronie

⚡ Zapamiętaj: Równoległe proste — takie same odległości od siebie w każdym miejscu. Jeśli prosta jest prostopadła do jednej z równoległych, jest prostopadła do obu.

Logarytm i jego własności

Logarytmy

Szkoła średnia

Definicja

$$\log_a b=c \iff a^c=b$$

przy założeniach $a>0$, $a\ne1$, $b>0$. Logarytm odpowiada na pytanie: do której potęgi podnieść podstawę, aby otrzymać daną liczbę.

Wartości podstawowe

$$\log_a1=0,\qquad \log_aa=1,\qquad a^{\log_ab}=b$$

Własności

$$\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$$

$$\log_a\frac{x}{y}=\log_ax-\log_ay$$

$$\log_ax^k=k\log_ax$$

Logarytm zamienia mnożenie na dodawanie, dzielenie na odejmowanie, a potęgowanie na mnożenie — to czyni go głównym narzędziem przy równaniach wykładniczych.

Zmiana podstawy

$$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca},\qquad \log_ab=\frac{1}{\log_ba}$$

Przykład: $\log_832=\frac{\log_232}{\log_28}=\frac{5}{3}$.

Oznaczenia skrócone

$\log x$ to logarytm dziesiętny (podstawa $10$), a $\ln x$ — naturalny (podstawa $e\approx2{,}718$).

Na co uważać

Nie istnieje wzór na $\log_a(x+y)$. W równaniach logarytmicznych zawsze zaczynaj od wyznaczenia dziedziny — argument musi być dodatni, co zwykle eliminuje część formalnie otrzymanych rozwiązań.

Własności funkcji liniowej

Funkcja liniowa

Szkoła średnia

Postać i wykres

$$f(x)=ax+b$$

Wykresem jest prosta. Współczynnik $a$ to współczynnik kierunkowy (nachylenie), $b$ to wyraz wolny — rzędna punktu przecięcia z osią $OY$.

Monotoniczność

$a>0$ — funkcja rosnąca
$a<0$ — funkcja malejąca
$a=0$ — funkcja stała (prosta pozioma)

Miejsce zerowe

$$ax+b=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{b}{a}\qquad(a\ne0)$$

Wyznaczanie równania prostej

Z dwóch punktów $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$:

$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad y-y_1=a(x-x_1)$$

Wzajemne położenie prostych

$$l_1\parallel l_2 \iff a_1=a_2,\qquad l_1\perp l_2 \iff a_1a_2=-1$$

Układy równań liniowych

Interpretacja geometryczna liczby rozwiązań:

oznaczony — proste przecinają się (jedno rozwiązanie)
nieoznaczony — proste się pokrywają (nieskończenie wiele)
sprzeczny — proste równoległe rozłączne (brak rozwiązań)

Na co uważać

Prosta pionowa $x=c$ nie jest funkcją i nie ma współczynnika kierunkowego — nie da się jej zapisać w postaci $y=ax+b$. Warunek prostopadłości zawodzi też dla pary prosta pozioma–pionowa; ten przypadek rozpatruj osobno.

Trójkąty podobne

Podobieństwo i twierdzenie Talesa

Szkoła średnia

Twierdzenie Talesa

Proste równoległe przecinające ramiona kąta wyznaczają na nich odcinki proporcjonalne:

$$\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{|A_1B_1|}{|B_1C_1|}$$

Twierdzenie odwrotne pozwala z proporcji wnioskować o równoległości — pod warunkiem, że odcinki odkładamy od wierzchołka kąta w tym samym kierunku.

Cechy podobieństwa trójkątów

kk — dwa kąty jednego równe dwóm kątom drugiego
bbb — trzy pary boków proporcjonalne
bkb — dwie pary boków proporcjonalne i kąt między nimi równy

Skala podobieństwa

Jeśli figury są podobne w skali $k$, to:

$$\frac{\text{obwody}}{\ }=k,\qquad \frac{P_1}{P_2}=k^2,\qquad \frac{V_1}{V_2}=k^3$$

Długości rosną jak $k$, pola jak $k^2$, a objętości jak $k^3$.

Punkty szczególne trójkąta

środkowe → środek ciężkości, dzieli je w stosunku $2:1$ od wierzchołka
symetralne boków → środek okręgu opisanego
dwusieczne kątów → środek okręgu wpisanego
wysokości → ortocentrum

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej, więc $R=\frac{c}{2}$.

Na co uważać

Pole nie rośnie liniowo ze skalą. Jeśli pole wzrosło $16$ razy, skala wynosi $k=4$, nie $16$. Środek okręgu opisanego może leżeć poza trójkątem (przy kącie rozwartym), a wpisanego — zawsze wewnątrz.

Równania kwadratowe — powtórzenie

Funkcja kwadratowa i równania kwadratowe

Szkoła średnia

Trzy postacie funkcji kwadratowej

Ogólna: $f(x)=ax^2+bx+c$ — widać $c$, czyli punkt przecięcia z osią $OY$.

Kanoniczna: $f(x)=a(x-p)^2+q$ — widać wierzchołek $W=(p,q)$.

Iloczynowa: $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ — widać miejsca zerowe (istnieje przy $\Delta\ge0$).

Wyróżnik i pierwiastki

$$\Delta=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$

$\Delta>0$ — dwa różne pierwiastki
$\Delta=0$ — jeden pierwiastek podwójny $x_0=\frac{-b}{2a}$
$\Delta<0$ — brak pierwiastków rzeczywistych

Wierzchołek paraboli

$$p=\frac{-b}{2a},\qquad q=\frac{-\Delta}{4a}$$

W praktyce bezpieczniej policzyć $p$, a potem po prostu $q=f(p)$ — mniej okazji do pomyłki ze znakiem.

Wzory Viète’a

$$x_1+x_2=\frac{-b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}$$

Pozwalają badać pierwiastki bez ich obliczania — np. znaki: oba dodatnie gdy suma i iloczyn są dodatnie, różnych znaków gdy iloczyn jest ujemny. Przydatna tożsamość: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$.

Nierówności kwadratowe

Wyznaczamy miejsca zerowe, szkicujemy parabolę (ramiona wg znaku $a$) i odczytujemy przedziały. Dla $a>0$: nierówność $>0$ daje dwa przedziały zewnętrzne, $<0$ — jeden wewnętrzny.

Na co uważać

Równania niezupełne rozwiązuj bez delty: $x^2-9=0\Rightarrow x=\pm3$; $x^2-5x=0\Rightarrow x(x-5)=0$. Nigdy nie dziel przez $x$ — stracisz rozwiązanie $x=0$. W zadaniach z parametrem najpierw sprawdź warunek na $\Delta$.

Twierdzenie Bézouta

Wielomiany

Szkoła średnia

Pojęcia podstawowe

Wielomian stopnia $n$: $W(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$, gdzie $a_n\ne0$. Liczbę $a_n$ nazywamy współczynnikiem wiodącym, a $a_0$ — wyrazem wolnym.

Twierdzenie Bézouta

$$W(x)=(x-a)Q(x)+W(a)$$

Reszta z dzielenia przez dwumian $(x-a)$ równa się wartości wielomianu w punkcie $a$. Stąd kluczowy wniosek:

$$(x-a)\mid W(x) \iff W(a)=0$$

Uwaga na znak: dla dzielnika $(x+2)$ podstawiamy $a=-2$.

Pierwiastki wymierne

Jeśli współczynniki są całkowite, każdy pierwiastek wymierny $\frac{p}{q}$ (ułamek nieskracalny) spełnia: $p$ dzieli wyraz wolny, $q$ dzieli współczynnik wiodący. Gdy $a_n=1$, pierwiastki wymierne są całkowite i dzielą wyraz wolny.

Rozkład na czynniki

Metody: wyłączanie przed nawias, grupowanie, wzory skróconego mnożenia, dzielenie przez znaleziony dwumian (schemat Hornera).

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\qquad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

Nierówności wielomianowe

Rozkładamy na czynniki, zaznaczamy pierwiastki na osi i rysujemy krzywą od prawej góry (gdy współczynnik wiodący jest dodatni). Przy pierwiastku o krotności nieparzystej krzywa przechodzi przez oś, przy parzystej — odbija się.

Na co uważać

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wskazuje tylko kandydatów — każdego trzeba sprawdzić podstawieniem. Nie gwarantuje też, że pierwiastki wymierne w ogóle istnieją (wielomian $x^3-2$ nie ma żadnego).

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Trygonometria w trójkącie

Szkoła średnia

Funkcje kąta ostrego

W trójkącie prostokątnym, dla kąta $\alpha$:

$$\sin\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{przy kącie}}{\text{przeciwprostokątna}},\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przy kącie}}$$

Wartości szczególne

$\sin30^\circ=\frac12$, $\ \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\ \sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$, $\ \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\ \cos60^\circ=\frac12$

Związki podstawowe

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

Ponadto $\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)$ — stąd nazwa „cosinus” (co-sinus, sinus kąta dopełniającego).

Twierdzenie sinusów i cosinusów

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$$

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$

Twierdzenie cosinusów uogólnia twierdzenie Pitagorasa — dla $\gamma=90^\circ$ mamy $\cos90^\circ=0$ i wzór redukuje się do $c^2=a^2+b^2$.

Pole trójkąta

$$P=\frac12ab\sin\gamma,\qquad P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\qquad P=\frac{abc}{4R}=sr$$

gdzie $s=\frac{a+b+c}{2}$ (wzór Herona).

Na co uważać

We wzorze $\frac12ab\sin\gamma$ kąt musi leżeć między podanymi bokami. Dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny, a sinus wciąż dodatni. Przy danych bok-bok-kąt mogą istnieć dwa różne trójkąty.

Funkcja wykładnicza

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Szkoła średnia

Funkcja wykładnicza

$$f(x)=a^x,\qquad a>0,\ a\ne1$$

Dziedzina: $\mathbb{R}$. Zbiór wartości: $(0,+\infty)$ — funkcja nigdy nie przyjmuje wartości $0$ ani ujemnych. Zawsze przechodzi przez punkt $(0,1)$, a oś $OX$ jest asymptotą poziomą.

Dla $a>1$ rośnie, dla $0

Funkcja logarytmiczna

$$f(x)=\log_ax$$

Jest funkcją odwrotną do wykładniczej — jej wykres to odbicie wykresu $a^x$ względem prostej $y=x$. Dziedzina: $(0,+\infty)$, zbiór wartości: $\mathbb{R}$, przechodzi przez $(1,0)$, oś $OY$ jest asymptotą pionową.

Równania wykładnicze

Podstawowa metoda: sprowadzenie obu stron do tej samej podstawy.

$$a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x)$$

Przykład: $2^x=32=2^5$, więc $x=5$.

Metoda podstawienia

Równania typu $a^{2x}+pa^x+q=0$ sprowadzamy do kwadratowego, podstawiając $t=a^x>0$.

Przykład: $4^x-5\cdot2^x+4=0$, podstawiamy $t=2^x$: $t^2-5t+4=0$, skąd $t=1$ lub $t=4$, czyli $x=0$ lub $x=2$.

Nierówności wykładnicze

Kierunek zależy od podstawy: dla $a>1$ zostaje bez zmian, dla $0odwraca się.

Na co uważać

Po podstawieniu odrzuć rozwiązania $t\le0$ — funkcja wykładnicza takich wartości nie przyjmuje. W równaniach logarytmicznych zawsze zacznij od dziedziny.

Wykresy funkcji wykładniczej i logarytmicznej

Oba poziomy

Funkcja wykładnicza

$$f(x)=a^x,\qquad a>0,\ a\neq1$$

Dziedzina to $\mathbb{R}$, zbiór wartości $(0,+\infty)$. Dla $a>1$ funkcja rośnie, dla $0

Funkcja logarytmiczna

$$f(x)=\log_a x,\qquad a>0,\ a\neq1$$

Dziedzina to $(0,+\infty)$, zbiór wartości $\mathbb{R}$. Przechodzi przez $(1,\ 0)$, asymptota pionowa to oś $OY$ ($x=0$).

Funkcje wzajemnie odwrotne

$\log_a x$ jest funkcją odwrotną do $a^x$. Ich wykresy są symetryczne względem prostej $y=x$, a punkty charakterystyczne zamienione: $(0,1)$ i $(1,0)$.

Przesunięcia

Dodanie stałej do funkcji ($a^x+q$) przesuwa wykres w pionie — asymptota pozioma przechodzi na $y=q$. Zmiana argumentu ($\log_a(x-p)$) przesuwa w poziomie i zmienia dziedzinę oraz asymptotę pionową.

Zastosowania

Model wzrostu wykładniczego opisuje procent składany $K(t)=K_0(1+p)^t$, rozpad promieniotwórczy i wzrost populacji.

Na co uważać

Funkcja wykładnicza nigdy nie jest ujemna ani zerowa. Logarytm istnieje tylko dla argumentów dodatnich — zawsze wyznacz dziedzinę.

Ciąg arytmetyczny (1)

Ciągi liczbowe

Szkoła średnia

Pojęcie ciągu

Ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Wyraz o numerze $n$ oznaczamy $a_n$. Ciąg można zadać wzorem ogólnym (jawnym) albo rekurencyjnym.

Ciąg arytmetyczny

Stała różnica $r$ między kolejnymi wyrazami:

$$a_n=a_1+(n-1)r$$

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

Własność charakterystyczna: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ — każdy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów.

Ciąg geometryczny

Stały iloraz $q$ kolejnych wyrazów:

$$a_n=a_1q^{n-1}$$

$$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\qquad(q\ne1)$$

Własność: $a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$.

Szereg geometryczny

Dla $|q|<1$ suma nieskończenie wielu wyrazów jest skończona:

$$S=\frac{a_1}{1-q}$$

Przykład: $1+\frac12+\frac14+\ldots=\frac{1}{1-\frac12}=2$.

Procent składany

$$K_n=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$

To bezpośrednie zastosowanie ciągu geometrycznego — kapitał rośnie geometrycznie.

Na co uważać

We wzorze ogólnym ciągu arytmetycznego jest $(n-1)r$, a nie $nr$ — do dziesiątego wyrazu dodajemy różnicę dziewięć razy. Wzór na sumę ciągu geometrycznego nie działa dla $q=1$ (dzielenie przez zero) — ten przypadek rozpatruj osobno. Przy szeregu najpierw sprawdź warunek $|q|<1$.

Ciągi arytmetyczne i geometryczne — wzory i zastosowania

Oba poziomy

Dwa rodzaje ciągów

Arytmetyczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy $r$.

Geometryczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez stały iloraz $q$.

Wyraz ogólny

$$a_n=a_1+(n-1)r \qquad\text{(arytmetyczny)}$$

$$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1} \qquad\text{(geometryczny)}$$

W obu wzorach występuje $n-1$, a nie $n$ — od pierwszego do $n$-tego wyrazu wykonujemy $n-1$ kroków.

Suma początkowych wyrazów

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n \qquad\text{(arytmetyczny)}$$

$$S_n=a_1\cdot\frac{q^{\,n}-1}{q-1} \qquad\text{(geometryczny, } q\neq1)$$

Pierwszy wzór to po prostu liczba wyrazów razy ich średnia — parujemy pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim, a każda para daje tę samą sumę.

Wyraz środkowy

$$b=\frac{a+c}{2} \ \text{(arytm.)},\qquad b=\sqrt{ac} \ \text{(geom., dodatnie)}$$

To średnia arytmetyczna i średnia geometryczna. W zadaniu „liczby $4$, $x$, $25$ tworzą ciąg” odpowiedź zależy od rodzaju ciągu: $14{,}5$ albo $10$.

Sprytne podstawienia

Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego zapisujemy jako $a-r$, $a$, $a+r$ — wtedy ich suma to $3a$, bez $r$.

Dla geometrycznego: $\frac{a}{q}$, $a$, $aq$ — iloczyn to $a^3$, bez $q$.

Te podstawienia zamieniają układ dwóch równań w jedno.

Monotoniczność

Ciąg arytmetyczny rośnie, gdy $r>0$, maleje, gdy $r<0$. Pierwszy wyraz nie ma znaczenia.

Ciąg dany wzorem $a_n=pn+q$ jest arytmetyczny o różnicy $p$.

Szereg geometryczny

$$S=\frac{a_1}{1-q} \qquad\text{dla } |q|<1$$

Warunek dotyczy modułu ilorazu. Dla $q=-5$ mamy $q<1$, ale szereg jest rozbieżny.

Przykład: $8+4+2+1+\dots=\frac{8}{1-\frac12}=16$.

Procent składany

$$K_n=K_0(1+p)^n$$

To ciąg geometryczny o ilorazie $1+p$. Przy kapitalizacji częstszej niż roczna dzielimy stopę i mnożymy liczbę okresów:

$$K=K_0\left(1+\frac{p}{m}\right)^{mn}$$

Dla $5000$ zł na $12\%$ z kapitalizacją kwartalną po roku mamy $5000\cdot1{,}03^4\approx5627{,}54$ zł — o $27{,}54$ zł więcej niż przy rocznej.

Spadek wartości

Ten sam wzór z $q<1$ opisuje amortyzację. Samochód tracący $15\%$ rocznie po trzech latach wart jest $0{,}85^3\approx61{,}4\%$ ceny początkowej — a nie $55\%$.

Na co uważać

Nie myl wykładnika $n$ z $n-1$. Sprawdzaj warunek $|q|<1$ przed użyciem wzoru na sumę szeregu. I pamiętaj, że w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem.

Odległość między punktami w układzie współrzędnych

Geometria analityczna

Szkoła średnia

Punkty i odcinki

$$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

$$S=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$

Wzór na odległość to twierdzenie Pitagorasa zapisane we współrzędnych.

Prosta

Postać kierunkowa $y=ax+b$ oraz ogólna $Ax+By+C=0$. Odległość punktu od prostej:

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Wzór wymaga postaci ogólnej — prostą $y=2x+1$ trzeba najpierw przekształcić do $2x-y+1=0$.

Okrąg i koło

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Środek $S=(a,b)$, promień $r$. Znaki w nawiasach są przeciwne do współrzędnych środka. Koło to nierówność $\le r^2$. Z postaci rozwiniętej środek i promień wyznaczamy przez uzupełnianie do kwadratu.

Wektory

$$\vec{AB}=[x_2-x_1,\ y_2-y_1],\qquad |\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

$$\vec u\circ\vec v=u_1v_1+u_2v_2=|\vec u||\vec v|\cos\alpha$$

Iloczyn skalarny daje liczbę. Kluczowy wniosek: $\vec u\perp\vec v \iff \vec u\circ\vec v=0$.

Na co uważać

Wektor $\vec{AB}$ to „koniec minus początek”. Jeśli po uzupełnieniu do kwadratu prawa strona równania okręgu wyjdzie ujemna, równanie nie opisuje żadnego okręgu.

Pochodna funkcji w punkcie

Pochodna funkcji

Szkoła średnia

Definicja

$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

Pochodna mierzy chwilowe tempo zmian funkcji. Geometrycznie jest to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie $x_0$.

Równanie stycznej: $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

Pochodne funkcji elementarnych

$$(c)'=0,\qquad (x^n)'=nx^{n-1},\qquad (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

$$(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x,\qquad (e^x)'=e^x,\qquad (\ln x)'=\frac1x$$

Reguły różniczkowania

$$(f\pm g)'=f'\pm g'$$

$$(fg)'=f'g+fg'$$

$$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$$

$$\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$

Badanie funkcji

$f'(x)>0$ — funkcja rosnąca
$f'(x)<0$ — funkcja malejąca
$f'(x_0)=0$ i zmiana znaku z $+$ na $-$ — maksimum lokalne
$f'(x_0)=0$ i zmiana znaku z $-$ na $+$ — minimum lokalne

Interpretacja fizyczna

Pochodna drogi po czasie to prędkość, pochodna prędkości — przyspieszenie.

Na co uważać

Sam warunek $f'(x_0)=0$ nie wystarcza — dla $f(x)=x^3$ mamy $f'(0)=0$, ale ekstremum nie ma (brak zmiany znaku). Pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych. Przy funkcji złożonej łatwo pominąć „pochodną wnętrza”. Szukając wartości najmniejszej i największej na przedziale domkniętym, sprawdź także końce przedziału.

Interpretacja pochodnej — styczna i prędkość

Oba poziomy

Interpretacja geometryczna

Pochodna $f'(x_0)$ to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie $x_0$. Równanie stycznej:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$

Interpretacja fizyczna

Pochodna drogi po czasie to prędkość chwilowa, a pochodna prędkości — przyspieszenie:

$$v(t)=s'(t),\qquad a(t)=v'(t)$$

Podstawowe wzory

$$(x^n)'=nx^{n-1},\qquad (c)'=0,\qquad (cx)'=c$$

Pochodną wielomianu liczymy wyraz po wyrazie.

Znak pochodnej a monotoniczność

$$f'>0 \Rightarrow \text{funkcja rośnie},\qquad f'<0 \Rightarrow \text{maleje}$$

Gdy $f'(x_0)=0$, styczna jest pozioma — to kandydat na ekstremum.

Zastosowania

Chwile zatrzymania ciała znajdujemy z warunku $v(t)=0$. Wierzchołek paraboli to punkt, w którym pochodna się zeruje.

Na co uważać

Pochodna to nachylenie, nie wartość funkcji. Pochodna stałej wynosi zero — nie przepisujemy wyrazu wolnego do wyniku.

Kombinacje

Kombinatoryka

Szkoła średnia

Reguły podstawowe

Reguła mnożenia: jeśli wybór składa się z $k$ niezależnych kroków, liczby możliwości mnożymy. Reguła dodawania: jeśli wybór to jeden z rozłącznych przypadków, liczby możliwości dodajemy.

Cztery podstawowe schematy

$$P_n=n! \qquad\text{— permutacje (ustawienie wszystkich } n \text{ elementów)}$$

$$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!} \qquad\text{— wariacje bez powtórzeń}$$

$$\overline{V}_n^k=n^k \qquad\text{— wariacje z powtórzeniami}$$

$$C_n^k=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \qquad\text{— kombinacje}$$

Jak wybrać schemat

Zadaj dwa pytania:

Czy kolejność ma znaczenie? Tak → wariacje/permutacje. Nie → kombinacje.
Czy elementy mogą się powtarzać? Tak → wariacje z powtórzeniami.

Przykład: „delegacja 3-osobowa z 5 osób” — kolejność nieistotna, więc $\binom53=10$. „Przewodniczący, zastępca, sekretarz z 5 osób” — kolejność istotna, więc $5\cdot4\cdot3=60$.

Symbol Newtona

$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k},\qquad \binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$$

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$

Współczynniki tworzą kolejne wiersze trójkąta Pascala. Suma wykładników w każdym składniku zawsze wynosi $n$ — to szybki test poprawności.

Na co uważać

Przyjmujemy $0!=1$. Mylenie kombinacji z wariacjami to najczęstszy błąd — zawsze zacznij od pytania o kolejność.

Stożek

Bryły obrotowe

Szkoła średnia

Walec

$$V=\pi r^2H,\qquad P_b=2\pi rH,\qquad P_c=2\pi r(r+H)$$

Powierzchnia boczna po rozwinięciu jest prostokątem o wymiarach $2\pi r$ (obwód podstawy) na $H$. Przekrój osiowy to prostokąt $2r\times H$.

Stożek

$$V=\frac13\pi r^2H,\qquad P_b=\pi rl,\qquad P_c=\pi r(r+l)$$

gdzie $l$ to tworząca, powiązana z pozostałymi wymiarami przez twierdzenie Pitagorasa:

$$l=\sqrt{r^2+H^2}$$

Powierzchnia boczna po rozwinięciu jest wycinkiem koła o promieniu $l$ i kącie $\alpha=\frac{r}{l}\cdot360^\circ$. Przekrój osiowy to trójkąt równoramienny.

Kula

$$V=\frac43\pi r^3,\qquad P=4\pi r^2$$

Każdy przekrój kuli płaszczyzną jest kołem. Przekrój przez środek (koło wielkie) ma promień $r$, a w odległości $d$ od środka — promień $\sqrt{r^2-d^2}$.

Skalowanie

Podwojenie promienia zwiększa pole $4$ razy, a objętość $8$ razy — bo pole zależy od $r^2$, a objętość od $r^3$.

Na co uważać

W stożku do objętości wchodzi wysokość $H$, a do pola bocznego tworząca $l$ — mylenie ich to najczęstszy błąd w tym temacie. W zadaniach o przekroju osiowym będącym kwadratem (walec) zachodzi $H=2r$.

Przedziały

Zbiory, przedziały i wartość bezwzględna

Szkoła średnia

Działania na zbiorach

$A\cup B$ — suma (elementy należące do któregokolwiek), $A\cap B$ — część wspólna (do obu), $A\setminus B$ — różnica (do $A$, ale nie do $B$).

Przedziały

$$\langle a,b\rangle=\{x: a\le x\le b\},\qquad (a,b)=\{x: a

Nawias ostry (domknięty) oznacza, że koniec należy do zbioru; okrągły — że nie należy. Przy $\pm\infty$ zawsze stosujemy nawias okrągły.

Wartość bezwzględna

$$|x|=\begin{cases}x & \text{dla } x\ge0\-x & \text{dla } x<0\end{cases}$$

Interpretacja geometryczna: $|x-c|$ to odległość punktu $x$ od punktu $c$ na osi liczbowej.

Równania i nierówności z modułem

$$|x|=a \iff x=a \lor x=-a\qquad(a>0)$$

$$|x|

$$|x|>a \iff x<-a \lor x>a$$

Regulamin korzystania ze strony internetowej

§ 1. Postanowienia ogólne

§ 2. Definicje

§ 3. Informacje o stronie

§ 4. Wymagania techniczne i cookies

§ 5. Usługi elektroniczne (płatne i bezpłatne)

§ 6. Rejestracja i Konto (jeżeli dostępne)

§ 7. Zasady korzystania (AUP)

§ 8. Treści Użytkownika i licencja

§ 9. Odpowiedzialność i dostępność

§ 10. Linki zewnętrzne

§ 11. Zgłaszanie naruszeń

§ 12. Prywatność i powierzenie danych

§ 12a. Powierzenie przetwarzania danych

§ 13. Zmiany Regulaminu

§ 14. Kontakt

§ 15. Postanowienia końcowe

Załącznik nr 1 – Umowa Powierzenia Przetwarzania Danych (DPA)

Inne

Ciąg arytmetyczny — definicja i własności

Funkcja liniowa — własności i zastosowania

Funkcje cyklometryczne — arcsin, arccos, arctg, arccotg

Pochodna — pojęcie i interpretacja

Wzory trygonometryczne — jedynka i redukcyjne

Ciąg geometryczny — definicja i własności

Funkcja kwadratowa — postacie i wierzchołek

Układy równań — metody rozwiązywania (LO)

Całka oznaczona — twierdzenie zasadnicze rachunku

Całki krzywoliniowe — praca i cyrkulacja

Granica funkcji — definicja i techniki obliczania

Całkowanie przez podstawienie — metoda i zastosowania

Ciągłość funkcji — punkty i rodzaje nieciągłości

Gradient, dywergencja i rotacja — operatory wektorowe

Całkowanie przez części — wzór i strategia

Przekształcenie Laplace'a — rozwiązywanie ODE

Reguła de l'Hôpitala

Całkowanie przez rozkład na ułamki proste

Przekształcenie Fouriera — widmo i zastosowania

Reguła de l'Hôpitala — granice nieokreślone

Długość łuku krzywej

Elipsa — równanie kanoniczne i własności

Całki niewłaściwe — zbieżność

Hiperbola i parabola — równania i własności

Iloczyn skalarny i wektorowy wektorów w R³

Równania różniczkowe — czynnik całkujący

Funkcja wykładnicza — definicja i własności

Prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa

Układy równań różniczkowych liniowych

Wielomiany — definicja, stopień i pierwiastki

Optymalizacja wielowymiarowa — gradient i warunki KKT

Metoda trapezów i Simpsona — całkowanie numeryczne

Całki wielokrotne — Fubini i zamiana kolejności

Granica i ciągłość funkcji — definicja Cauchy'ego

Całki niewłaściwe — zbieżność i dywergencja

Delta Diraca i rozkłady — wstęp do analizy funkcjonalnej

Pochodne wyższych rzędów i wzór Leibniza

Funkcja logarytmiczna — definicja i własności

Krzywe i krzywizna — geometria różniczkowa

Funkcja złożona — definicja i obliczenia

Funkcja odwrotna — kiedy istnieje i jak ją wyznaczać

Funkcje hiperboliczne — sinh, cosh, tanh

Przekształcenia wykresów funkcji

Równania cząstkowe — fala, ciepło, Laplace

Twierdzenie Lagrange'a — wartość średnia pochodnej

Badanie przebiegu zmienności funkcji — schemat

Funkcja wymierna — wykres i asymptoty

Geometria Riemanniańska — wstęp do tensorów

Twierdzenie zasadnicze RR — związek pochodnej z całką

Ekstremum lokalne funkcji — warunki

Geometria analityczna — prosta i okrąg

Krzywe eliptyczne — geometria i zastosowania

Wyznacznik 3×3 — rozwinięcie Laplace'a i reguła Sarrusa

Monotoniczność funkcji — warunki z pochodną

Szereg Taylora i Maclaurina — rozwinięcia funkcji

Asymptoty — znajdowanie dla złożonych funkcji

Miejsca zerowe a wykres funkcji

Pochodna uwikłana — różniczkowanie uwikłane

Funkcja kwadratowa — analiza pełna (postaci, wierzchołek)

Funkcje trygonometryczne — definicje jednostkowe