Definicje i Teorie — Matematyka — Szkoła średnia (LO/Tech)

Inne

Ciąg arytmetyczny — definicja i własności

Szkoła średnia

Definicja: Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny, jeśli różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała: $$a_{n+1} - a_n = r = \text{const} \quad (r \text{ — różnica ciągu})$$ Wzór ogólny: $a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$ Suma $n$ początkowych wyrazów: $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = \dfrac{n(2a_1 + (n-1)r)}{2}$

Prosto mówiąc: Ciąg arytmetyczny to taki, gdzie od wyrazu do wyrazu dodajesz zawsze tę samą liczbę $r$. Np. $3, 7, 11, 15, \ldots$ — za każdym razem $+4$.

Zastosowanie:

Suma liczb $1+2+3+\ldots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ (Gauss)
Prognozowanie liniowe (np. cena rośnie o stałą kwotę rocznie)
Harmonogram spłat stałej kwoty rat kredytu
Każdy wielomian liniowy generuje ciąg arytmetyczny

Przykład: Ciąg: $5, 9, 13, 17, \ldots$ Znajdź $a_{20}$ i $S_{20}$.

$r = 9 - 5 = 4$, $a_1 = 5$
$a_{20} = 5 + (20-1)\cdot 4 = 5 + 76 = 81$
$S_{20} = \dfrac{20(5+81)}{2} = \dfrac{20 \cdot 86}{2} = 860$

⚡ Zapamiętaj: Środkowy wyraz (lub średnia dwóch środkowych) ciągu arytmetycznego równa się średniej arytmetycznej całego ciągu. $a_n = \dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.

Funkcja liniowa — własności i zastosowania

Szkoła średnia

Definicja: Funkcja liniowa $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = ax + b$, $a \neq 0$.
Wykres: linia prosta o nachyleniu $a$ i przecięciu z $OY$ w punkcie $(0, b)$.
Własności: dziedzina $\mathbb{R}$, zbiór wartości $\mathbb{R}$, różnowartościowa, ciągła.

Monotoniczność:

$a > 0$: rosnąca na całej dziedzinie
$a < 0$: malejąca na całej dziedzinie

Miejsce zerowe: $x_0 = -\dfrac{b}{a}$ (gdzie prosta przecina oś $OX$).
Kąt nachylenia prostej: $\tan\alpha = a$ (dla $a > 0$: kąt ostry; $a < 0$: rozwarty).

Przykład: $f(x) = -2x + 6$. Znajdź: miejsce zerowe, wartość $f(4)$, narysuj.

MZ: $-2x+6=0 \Rightarrow x=3$, punkt $(3,0)$
Przecięcie z $OY$: $(0,6)$
$f(4) = -2\cdot4+6 = -2$, punkt $(4,-2)$
Funkcja malejąca ($a=-2 < 0$)

⚡ Zapamiętaj: Interpretacja "a": wzrost $x$ o 1 jednostkę powoduje wzrost $f(x)$ o $a$ jednostek. Np. przy $a=-2$: każda dodatkowa jednostka $x$ zmniejsza $f$ o 2.

Funkcje cyklometryczne — arcsin, arccos, arctg, arccotg

Szkoła średnia

Funkcje cyklometryczne to funkcje odwrotne do trygonometrycznych (z ograniczoną dziedziną):

$\arcsin x$: dziedzina $[-1,1]$, wartości $\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$; $\arcsin x = \alpha \Leftrightarrow \sin\alpha = x$
$\arccos x$: dziedzina $[-1,1]$, wartości $[0, \pi]$; $\arccos x = \alpha \Leftrightarrow \cos\alpha = x$
$\text{arctg}\, x$: dziedzina $\mathbb{R}$, wartości $\left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$; $\text{arctg}\, x = \alpha \Leftrightarrow \text{tg}\,\alpha = x$
$\text{arccotg}\, x$: dziedzina $\mathbb{R}$, wartości $(0, \pi)$

Prosto mówiąc: Funkcje cyklometryczne odpowiadają na pytanie „dla jakiego kąta sinus (cosinus, tangens…) wynosi tyle?". $\arcsin(\tfrac{1}{2}) = 30°$, bo $\sin 30° = \tfrac{1}{2}$. Ograniczenie dziedziny jest konieczne, bo funkcje trygonometryczne nie są różnowartościowe na całym $\mathbb{R}$.

Ważne tożsamości:

$\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ dla $x \in [-1,1]$
$\text{arctg}\, x + \text{arccotg}\, x = \dfrac{\pi}{2}$ dla $x \in \mathbb{R}$
$\arcsin(-x) = -\arcsin x$ (nieparzysta); $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$

Pochodne (kluczowe dla całkowania): $$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad (\arccos x)' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad (\text{arctg}\, x)' = \frac{1}{1+x^2}$$ Całki: $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C$, $\quad\displaystyle\int \frac{dx}{1+x^2} = \text{arctg}\, x + C$

Przykłady:

$\arcsin\!\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \tfrac{\pi}{4} = 45°$
$\arccos(-1) = \pi = 180°$
$\text{arctg}(\sqrt{3}) = \tfrac{\pi}{3} = 60°$
Równanie: $\sin x = 0{,}6 \Rightarrow x = \arcsin(0{,}6) \approx 36{,}87°$ (plus okresy)

⚡ Zapamiętaj: $\arcsin$ i $\arccos$ mają dziedzinę $[-1,1]$. $\text{arctg}$ przyjmuje wszystkie liczby rzeczywiste. Tożsamość $\arcsin x + \arccos x = \pi/2$ — suma zawsze daje kąt prosty!

Pochodna — pojęcie i interpretacja

Szkoła średnia

Definicja: Pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$ to granica ilorazu różnicowego: $$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$ Jeśli ta granica istnieje, mówimy że $f$ jest różniczkowalna w $x_0$.

Prosto mówiąc: Pochodna to chwilowe tempo zmiany — jak prędkościomierz w samochodzie. Prędkość = pochodna drogi po czasie $v(t) = s'(t)$.

Podstawowe wzory różniczkowania:

$(c)'= 0$ (stała)
$(x^n)' = nx^{n-1}$
$(\sin x)' = \cos x$; $(\cos x)' = -\sin x$
$(e^x)' = e^x$; $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$
Reguła łańcuchowa: $[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
$(fg)' = f'g + fg'$; $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$

Przykład: Znajdź miejsca, gdzie $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ osiąga ekstrema.

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2-2x-3) = 3(x-3)(x+1)$
$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 3$ lub $x = -1$
$f''(x) = 6x - 6$; $f''(-1) = -12 < 0$ → maksimum; $f''(3) = 12 > 0$ → minimum

⚡ Zapamiętaj: $f'(x_0) > 0$ — funkcja rośnie w $x_0$; $f'(x_0) < 0$ — maleje; $f'(x_0) = 0$ — kandydat na ekstremum (nie zawsze!). Sprawdź zmianę znaku $f'$.

Wzory trygonometryczne — jedynka i redukcyjne

Szkoła średnia

Jedynka trygonometryczna: $$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \quad \text{(dla każdego } \alpha\text{)}$$ Stąd: $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$; $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$.

Wzory redukcyjne (zmiana argumentu):

$\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha$; $\cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha$
$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$; $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ (parzystość/nieparzystość)
$\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cos\alpha$; $\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \sin\alpha$ (kofunkcje)

Wzory addycyjne:

$\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$

Wzory dwukąta: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$; $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Przykład: Mając $\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$, oblicz $\cos\alpha$, $\tan\alpha$, $\sin 2\alpha$.

$\cos\alpha = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$ (I ćwiartka: $\cos > 0$)
$\tan\alpha = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$
$\sin 2\alpha = 2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5} = \frac{24}{25}$

⚡ Zapamiętaj: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ to Pitagoras na okręgu jednostkowym — punkt $(\cos\alpha, \sin\alpha)$ zawsze leży na okręgu $x^2+y^2=1$. Wszystkie inne wzory wynikają z tej tożsamości.

Ciąg geometryczny — definicja i własności

Szkoła średnia

Definicja: Ciąg $(b_n)$ jest geometryczny, jeśli iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały: $$\frac{b_{n+1}}{b_n} = q = \text{const} \quad (q \neq 0 \text{ — iloraz ciągu})$$ Wzór ogólny: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ Suma $n$ wyrazów ($q \neq 1$): $S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$ Suma nieskończona ($|q| < 1$): $S_\infty = \dfrac{b_1}{1-q}$

Prosto mówiąc: Ciąg geometryczny to taki, gdzie każdy wyraz mnożysz przez to samo $q$. Np. $2, 6, 18, 54, \ldots$ — za każdym razem $\times 3$.

Zastosowanie:

Procent składany (kapitalizacja): $K_n = K_0 \cdot (1+p)^n$
Wzrost/zanik wykładniczy (populacja, promieniotwórczość)
Skale muzyczne: każda oktawa podwaja częstotliwość
Ułamek dziesiętny okresowy jako suma nieskończona

Przykład: Lokata 1000 zł, oprocentowanie 5% rocznie. Ile po 3 latach?

$q = 1{,}05$, $b_1 = 1000$
$b_4 = 1000 \cdot 1{,}05^3 = 1000 \cdot 1{,}157625 \approx 1157{,}63$ zł

⚡ Zapamiętaj: $0{,}\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Dlaczego? To suma geometryczna: $\frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \ldots = \frac{3/10}{1-1/10} = \frac{1}{3}$.

Funkcja kwadratowa — postacie i wierzchołek

Szkoła średnia

Trzy postacie funkcji kwadratowej ($a \neq 0$):

Ogólna: $f(x) = ax^2 + bx + c$
Kanoniczna (wierzchołkowa): $f(x) = a(x-p)^2 + q$, gdzie $W(p,q)$ — wierzchołek
Iloczynowa (gdy $\Delta > 0$): $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$

Wierzchołek: $p = -\dfrac{b}{2a}$, $q = -\dfrac{\Delta}{4a}$, gdzie $\Delta = b^2 - 4ac$.

Prosto mówiąc: Parabola otwarta w górę ($a>0$) ma minimum w wierzchołku. Otwarta w dół ($a<0$) — maksimum. Wierzchołek to "środek symetrii" paraboli.

Miejsca zerowe: $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

$\Delta > 0$: dwa miejsca zerowe
$\Delta = 0$: jedno MZ (wierzchołek na osi OX)
$\Delta < 0$: brak MZ (parabola nie przecina OX)

Przykład: $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$. Znajdź wierzchołek i MZ.

$\Delta = 64 - 48 = 16$; $\sqrt{\Delta}=4$
$x_{1,2} = \dfrac{8 \pm 4}{4}$: $x_1=1$, $x_2=3$
$p = \dfrac{1+3}{2} = 2$; $q = f(2) = 8-16+6 = -2$
Postać kanoniczna: $f(x)=2(x-2)^2-2$

⚡ Zapamiętaj: Postać iloczynowa od razu daje MZ. Postać kanoniczna od razu daje wierzchołek. Postać ogólna jest najlepsza do wyznaczania $\Delta$. Ucz się przechodzić między nimi!

Układy równań — metody rozwiązywania (LO)

Szkoła średnia

Układ 2×2 liniowy — metody:

Podstawiania: z jednego równania wyraź $x$ (lub $y$) i podstaw do drugiego
Eliminacji (przeciwnych wsp.): pomnóż równania i dodaj stronami
Wyznacznikowa (Cramera): $x=\dfrac{W_x}{W}$, $y=\dfrac{W_y}{W}$ — dla układów 2×2 i 3×3

Wyznacznik $2 \times 2$: $W = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1$

Reguła Cramera dla $\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$: $$W=\begin{vmatrix}a_1&b_1\a_2&b_2\end{vmatrix},\quad W_x=\begin{vmatrix}c_1&b_1\c_2&b_2\end{vmatrix},\quad W_y=\begin{vmatrix}a_1&c_1\a_2&c_2\end{vmatrix}$$ Jeśli $W \neq 0$: dokładnie jedno rozwiązanie. $W = 0$: sprzeczny lub nieoznaczony.

Przykład (Cramer): $\begin{cases}3x+2y=8\x-y=1\end{cases}$

$W = 3\cdot(-1)-1\cdot2 = -5$
$W_x = 8\cdot(-1)-1\cdot2 = -10$; $x = \frac{-10}{-5} = 2$
$W_y = 3\cdot1-1\cdot8 = -5$; $y = \frac{-5}{-5} = 1$

⚡ Zapamiętaj: Metoda Cramera jest elegancka, ale wolna dla dużych układów. W praktyce (matura) używaj eliminacji lub podstawiania — są szybsze i mniej podatne na błędy znaku.

Całka oznaczona — twierdzenie zasadnicze rachunku

Szkoła średnia

Twierdzenie zasadnicze RR (Newton-Leibniz): Jeśli $F$ jest funkcją pierwotną $f$ na $[a,b]$, to:

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b$$

Własności: liniowość ($\int af+bg = a\int f + b\int g$), addytywność ($\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c$).

$\int_a^b f\,dx = -\int_b^a f\,dx$; $\int_a^a f\,dx = 0$.

Zastosowania: pole obszaru, droga z prędkości, ładunek elektryczny.

$\int_0^2 (3x^2-2x)\,dx = \Big[x^3-x^2\Big]_0^2 = (8-4)-(0-0) = 4$.

Pole między krzywą a osią $Ox$: rozbij na przedziały stałości znaku $f$; $P = \int |f(x)|\,dx$.

Całki krzywoliniowe — praca i cyrkulacja

Szkoła średnia

Całka krzywoliniowa pola wektorowego $\vec{F}$ wzdłuż krzywej $C$:

$$\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_a^b \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t)\,dt$$

Praca: $W=\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}$; dla pola zachowawczego: $W=\phi(B)-\phi(A)$ (niezależna od drogi).

Pole zachowawcze ↔ $\nabla\times\vec{F}=\vec{0}$ ↔ $\vec{F}=\nabla\phi$ (gradient potencjału).

Twierdzenie Greena (2D): $\oint_C Pdx+Qdy = \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$

$\vec{F}=(-y,x)$, okrąg $r=1$: $\oint Pdx+Qdy=\iint_D(1-(-1))dA=2\pi$ — cyrkulacja.

Twierdzenie Greena = dwuwymiarowy specjalny przypadek twierdzenia Stokesa.

Granica funkcji — definicja i techniki obliczania

Szkoła średnia

Definicja Heinego: $\lim_{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow$ dla każdego ciągu $x_n\to a$ (z $x_n\neq a$) mamy $f(x_n)\to L$.

Definicja Cauchy'ego: $\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0$: $0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon$.

Techniki dla $\frac{0}{0}$: upraszczaj algebrycznie (faktoryzacja, wzory WSM), mnóż przez sprzężenie.

Dla $\frac{\infty}{\infty}$: dziel przez najwyższą potęgę $x$.

Ważne granice: $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$; $\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$; $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$.

$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=4$.

$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5}=\lim_{x\to\infty}\frac{3+1/x^2}{1-5/x^2}=3$.

Forma $\frac{0}{0}$ to niedookreślona — NIE wynika z niej wartość. Zawsze próbuj uprościć. $\frac{k}{0}$ ($k\neq0$) → $\pm\infty$ lub brak granicy.

Całkowanie przez podstawienie — metoda i zastosowania

Szkoła średnia

Podstawienie $t = g(x)$, $dt = g'(x)\,dx$:

$$\int f(g(x))\cdot g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt$$

Schemat: (1) wybierz $t = g(x)$, (2) oblicz $dt$, (3) przelicz całkę na $t$, (4) scałkuj, (5) wróć do $x$.

Dla całki oznaczonej — zmień też granice: jeśli $x\in[a,b]$, to $t\in[g(a),g(b)]$.

$\int \sin(3x)\,dx$: $t=3x$, $dt=3\,dx$, $dx=\frac{dt}{3}$: $\int\frac{\sin t}{3}\,dt = -\frac{\cos t}{3}+C = -\frac{\cos 3x}{3}+C$.

$\int_0^1 x e^{x^2}\,dx$: $t=x^2$, $dt=2x\,dx$: $\frac{1}{2}\int_0^1 e^t\,dt = \frac{e-1}{2}$.

Wzorzec: jeśli widzisz pochodną czegoś pod całką — to sygnał do podstawienia.

Ciągłość funkcji — punkty i rodzaje nieciągłości

Szkoła średnia

$f$ ciągła w $a$ gdy: (1) $f(a)$ istnieje, (2) $\lim_{x\to a}f(x)$ istnieje, (3) $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

Rodzaje nieciągłości:

Usuwalna: $\lim_{x\to a}f(x)=L$, ale $f(a)\neq L$ lub nie istnieje → można „naprawić" przez definicję $f(a)=L$.
Skokowa: lewostronna $\neq$ prawostronna granica. Skok = różnica granic.
Istotna (nieokreślona): przynajmniej jedna granica jednostronna $=\pm\infty$ lub nie istnieje.

$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$: nieciągłość usuwalna w $x=1$ (granica $=2$, $f(1)$ nie istnieje).

$f(x)=\text{sgn}(x)$: skok w $x=0$ (lewa granica $-1$, prawa $+1$).

$f(x)=\frac{1}{x}$: nieciągłość istotna w $x=0$.

Funkcje: wielomian, trygonometryczne, exp, log — ciągłe na całej dziedzinie. Złożenie funkcji ciągłych — ciągłe.

Gradient, dywergencja i rotacja — operatory wektorowe

Szkoła średnia

Gradient skalara: $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)$ — kierunek najszybszego wzrostu.

Dywergencja wektora: $\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$ — "źródłowość" pola.

Rotacja: $\nabla\times\vec{F}$ — "wirkowość" pola.

Tw. dywergencji (Gaussa-Ostrogradskiego): $\oiint_S\vec{F}\cdot d\vec{A}=\iiint_V\nabla\cdot\vec{F}\,dV$

Tw. Stokesa: $\oint_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_S(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{A}$

Równania Maxwella zapisane przez $\nabla\cdot$ i $\nabla\times$ — kompaktowa notacja wektorowa ukrywa złożoność.

Całkowanie przez części — wzór i strategia

Szkoła średnia

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Pochodzi z reguły pochodnej iloczynu: $(uv)' = u'v + uv'$.

Wybór $u$ wg reguły LIATE (priorytety): Logarytm → Odwrotne trygonometryczne → Algebraiczne (wielomiany) → Trygonometryczne → Eksponencjalne.

Wybierz $u$ z wyższego priorytetu (będzie różniczkowane), $dv$ — z niższego (będzie całkowane).

$\int x e^x\,dx$: $u=x$, $dv=e^x dx$ → $du=dx$, $v=e^x$: $xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$.

$\int \ln x\,dx$: $u=\ln x$, $dv=dx$: $x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\ln x - x + C$.

Niekiedy trzeba zastosować całkowanie przez części dwukrotnie (np. $\int x^2 e^x\,dx$).

Przekształcenie Laplace'a — rozwiązywanie ODE

Szkoła średnia

$$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt$$

Kluczowe pary: $\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}$; $\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}$; $\mathcal{L}\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}}$; $\mathcal{L}\{\sin\omega t\}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$.

Pochodna: $\mathcal{L}\{f'\}=sF(s)-f(0)$ — ODE → algebraiczne równanie w $s$.

Metoda: zastos. Laplace'a → rozwiąż alg. → odwrotna transf. (przez rozwinięcie ułamkowe).

$y''-y=0$, $y(0)=1$, $y'(0)=0$: $(s^2-1)Y=s$ → $Y=\frac{s}{s^2-1}=\frac{1/2}{s-1}+\frac{1/2}{s+1}$ → $y=\frac{e^t+e^{-t}}{2}=\cosh t$.

Laplace to "alfabet" inżynierów sterowania — transmitancja, zera, bieguny, stabilność układów.

Reguła de l'Hôpitala

Szkoła średnia

Jeśli $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ daje formę $\frac{0}{0}$ lub $\frac{\infty}{\infty}$, to:

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

pod warunkiem, że ta ostatnia granica istnieje (lub jest $\pm\infty$).

Formy sprowadzalne: $0\cdot\infty=\frac{0}{1/\infty}=\frac{0}{0}$; $\infty-\infty$ — wspólny mianownik; $0^0,\,1^\infty,\,\infty^0$ — logarytmuj.

Można stosować wielokrotnie — jeśli po zastosowaniu nadal $\frac{0}{0}$, stosuj dalej.

$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}\overset{H}{=}\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}\overset{H}{=}\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}=\frac{1}{2}$.

$\lim_{x\to\infty}xe^{-x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}\overset{H}{=}\lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^x}=0$.

Różniczkuj LICZNIK i MIANOWNIK oddzielnie — NIE stosuj reguły ilorazu! Zawsze sprawdź formę nieoznaczoną przed zastosowaniem.

Całkowanie przez rozkład na ułamki proste

Szkoła średnia

Cel: $\int\frac{P(x)}{Q(x)}dx$, gdy $\deg P<\deg Q$. Rozkładamy $\frac{P}{Q}$ na sumę prostszych ułamków.

Przypadki:

Proste pierwiastki rzeczywiste: $\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}$.
Wielokrotny pierwiastek: $\frac{1}{(x-a)^2}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^2}$.
Para zespolona: $\frac{1}{x^2+px+q}=\frac{Ax+B}{x^2+px+q}$ → dopełnienie do kwadratu.

Gdy $\deg P\geq\deg Q$: najpierw dzielenie z resztą.

$\int\frac{2x+1}{x^2-x-2}dx$: $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$; $\frac{2x+1}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}$; $A=\frac{5}{3}$, $B=\frac{1}{3}$; wynik: $\frac{5}{3}\ln|x-2|+\frac{1}{3}\ln|x+1|+C$.

Wyznaczanie $A,B$: podstaw $x=a$ (zerowanie mianownika). Alternatywa: porównaj współczynniki wielomianów.

Przekształcenie Fouriera — widmo i zastosowania

Szkoła średnia

$$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-2\pi i\xi t}\,dt$$

Odwrotna: $f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)e^{2\pi i\xi t}\,d\xi$

Twierdzenie splotowe: $\widehat{f*g}=\hat{f}\cdot\hat{g}$ — splot w dziedzinie czasu = iloczyn w widmowej.

DFT/FFT: dyskretna wersja, algorytm FFT $O(N\log N)$ — podstawa cyfrowego przetwarzania sygnałów.

Zastosowania: kompresja JPEG, MP3, filtrowanie sygnałów, MRI, spektroskopia NMR.

Zasada nieoznaczoności Heisenberga to matematyczna konsekwencja TF: $\Delta t\cdot\Delta\xi\ge\frac{1}{4\pi}$.

Reguła de l'Hôpitala — granice nieokreślone

Szkoła średnia

Jeśli $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$ lub $\pm\infty$, to (pod warunkiem istnienia prawej strony):

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Postacie nieokreślone: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$, $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$.

Dla $0\cdot\infty$: przekształć do $\frac{f}{1/g}$ lub $\frac{g}{1/f}$, potem stosuj regułę.

$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1} = 1$.

$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} = 0$ (logarytm rośnie wolniej niż liniowo).

Regułę można stosować wielokrotnie, ale sprawdź za każdym razem, czy wciąż mamy postać $\frac{0}{0}$ lub $\frac{\infty}{\infty}$.

Długość łuku krzywej

Szkoła średnia

Postać jawna $y=f(x)$, $x\in[a,b]$: $L=\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$.

Postać parametryczna $(x(t),y(t))$, $t\in[\alpha,\beta]$: $L=\displaystyle\int_\alpha^\beta\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt$.

Postać biegunowa $r=r(\varphi)$: $L=\displaystyle\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{r^2+(r')^2}\,d\varphi$.

Idea: łuk ≈ suma małych ciotek $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+(y')^2}\,dx$.

$y=\frac{2}{3}x^{3/2}$, $x\in[0,4]$: $y'=x^{1/2}$; $L=\int_0^4\sqrt{1+x}\,dx=\bigl[\frac{2}{3}(1+x)^{3/2}\bigr]_0^4=\frac{2}{3}(5^{3/2}-1)=\frac{2}{3}(5\sqrt{5}-1)\approx7{,}09$.

Całka najczęściej nieelementarna — stosuj podstawienie lub numerykę. Sprawdź: obwód koła: $x=r\cos t$, $y=r\sin t$ → $L=2\pi r$. ✓

Elipsa — równanie kanoniczne i własności

Szkoła średnia

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a > b > 0$$

Ogniska: $F_1(-c,0)$, $F_2(c,0)$, gdzie $c^2=a^2-b^2$. Dla każdego punktu $P$ na elipsie: $|PF_1|+|PF_2|=2a$.

Półoś wielka $a$ (na osi $Ox$), półoś mała $b$ (na osi $Oy$).

Mimośród: $e = \frac{c}{a} \in (0,1)$. Dla $e\to0$ → okrąg; $e\to1$ → bardzo wydłużona.

Pole elipsy: $P = \pi ab$. Obwód: nie ma prostego wzoru (całka eliptyczna).

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$: $a=5$, $b=3$, $c=4$, $e=\frac{4}{5}$, ogniska $(\pm4,0)$, $P=15\pi$.

Orbity planet to elipsy (I prawo Keplera) — Słońce w jednym ognisku.

Całki niewłaściwe — zbieżność

Szkoła średnia

$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,dx$ — całka niewłaściwa I rodzaju.

Jeśli $f$ nieograniczona w $a$: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx$ — II rodzaju.

Kryterium porównawcze: jeśli $0\leq f\leq g$ i $\int g$ zbiega, to $\int f$ też zbiega.

Całka $\int_1^\infty x^{-p}dx$: zbiega dla $p>1$; rozbieżna dla $p\leq1$.

Całka $\int_0^1 x^{-p}dx$: zbiega dla $p<1$; rozbieżna dla $p\geq1$.

$\int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx=\lim_{b\to\infty}\bigl[-\frac{1}{x}\bigr]_1^b=0+1=1$ ✓ (zbieżna).

$\int_1^\infty\frac{1}{x}dx=\lim_{b\to\infty}\ln b=+\infty$ (rozbieżna).

$\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}[2\sqrt{x}]_\varepsilon^1=2$ ✓.

Całka $\int_1^\infty$ od $1/x^p$: „$p>1$ → zbieżna". Całka $e^{-x}$ na $[0,\infty)$ zawsze zbiega (eksponenta bije potęgi).

Hiperbola i parabola — równania i własności

Szkoła średnia

Hiperbola: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$; $c^2=a^2+b^2$; $|PF_1|-|PF_2|=\pm2a$.

Asymptoty: $y=\pm\frac{b}{a}x$; mimośród $e=\frac{c}{a}>1$.

Parabola: $y^2=2px$ (otwarta w prawo); ognisko $F(\frac{p}{2},0)$; kierownica $x=-\frac{p}{2}$.

Definicja paraboli: $|PF|=d(P, \text{kierownica})$.

Parabola $y=ax^2+bx+c$: wierzchołek $(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})$; ognisko w $\frac{1}{4a}$ od wierzchołka.

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$: $a=2$, $b=3$, asymptoty $y=\pm\frac{3}{2}x$.

Krzywe stożkowe to przekroje stożka: okrąg ($e=0$), elipsa, parabola ($e=1$), hiperbola ($e>1$).

Iloczyn skalarny i wektorowy wektorów w R³

Szkoła średnia

Iloczyn skalarny: $\vec{u}\cdot\vec{v} = u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$

Iloczyn wektorowy: $\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}$; $|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta$

$\vec{u}\cdot\vec{v}=0 \Leftrightarrow$ prostopadłe; $\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0} \Leftrightarrow$ równoległe.

$|\vec{u}\times\vec{v}|$ = pole równoległoboku rozpiętego przez $\vec{u}$ i $\vec{v}$.

Trójskalar mieszany: $\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})$ = objętość równoległościanu.

$\vec{u}=[1,2,3]$, $\vec{v}=[4,5,6]$: $\vec{u}\cdot\vec{v}=4+10+18=32$. $\vec{u}\times\vec{v}=[2\cdot6-3\cdot5,\ldots]=[-3,6,-3]$.

Iloczyn wektorowy nie jest przemienny: $\vec{u}\times\vec{v}=-\vec{v}\times\vec{u}$.

Równania różniczkowe — czynnik całkujący

Szkoła średnia

Liniowe RR rzędu I: $y'+P(x)y=Q(x)$.

Czynnik całkujący: $\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$.

Mnożymy obie strony przez $\mu$: $(\mu y)'=\mu Q(x)$, stąd $y=\frac{1}{\mu}\int\mu Q\,dx+\frac{C}{\mu}$.

Jednorodne: $y'+P(x)y=0\Rightarrow y=Ce^{-\int P\,dx}$.

Niejednorodne: $y=y_{ogólne}=y_{jednorodne}+y_{szczególne}$.

Alternatywa: metoda zmiennych stałych — w $y_j$ zastąp stałą $C$ funkcją $C(x)$.

$y'+2y=e^x$: $\mu=e^{2x}$; $(e^{2x}y)'=e^{3x}$; $e^{2x}y=\frac{1}{3}e^{3x}+C$; $y=\frac{e^x}{3}+Ce^{-2x}$.

Sprawdź przez podstawienie. $y'+P(x)y=0$ jest liniowe jednorodne: zawsze rozdzielenie zmiennych też działa: $\frac{dy}{y}=-P\,dx$.

Funkcja wykładnicza — definicja i własności

Szkoła średnia

Definicja: $f(x) = a^x$, gdzie $a > 0$, $a \neq 1$, $x \in \mathbb{R}$.
Własności: dziedzina $\mathbb{R}$, zbiór wartości $(0, +\infty)$, $f(0)=1$, $f(1)=a$.
Równanie $a^x = b$ ma rozwiązanie: $x = \log_a b$ (dla $b > 0$).

Prosto mówiąc: Wykładnicza opisuje wzrost/spadek geometryczny — zdwajanie co pewien czas (np. bakterie) lub rozpad (np. radioaktywny). "Wykładnik to nieznana" — różnica od potęgi $x^2$, gdzie wykładnik jest stały.

Monotoniczność:

$a > 1$: rosnąca; $\lim_{x\to-\infty}a^x=0$, $\lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty$
$0 < a < 1$: malejąca; $\lim_{x\to-\infty}a^x=+\infty$, $\lim_{x\to+\infty}a^x=0$

Naturalna baza: $e \approx 2{,}718$; $f(x)=e^x$ — podstawa analizy matematycznej.
Prawa działań: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$; $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$; $(a^m)^n=a^{mn}$.

Przykład: Rozwiąż $2^{2x-1} = 8$.

$8 = 2^3$, więc $2^{2x-1} = 2^3$
$2x-1=3 \Rightarrow x=2$

⚡ Zapamiętaj: $a^x > 0$ zawsze (wykładnicza nigdy nie jest zerem!). Czas podwojenia przy wzroście geometrycznym: $T = \dfrac{\ln 2}{\ln a}$ (np. dla $a=2$: $T=1$, dla $a=1{,}07$: $T\approx10{,}2$ lat).

Prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa

Szkoła średnia

Prawdopodobieństwo warunkowe: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$$ "Prawdopodobieństwo $A$ pod warunkiem $B$" — zawężamy przestrzeń zdarzeń do $B$.
Zdarzenia niezależne: $A \perp B \Leftrightarrow P(A|B) = P(A) \Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)$.

Wzór na prawdopodobieństwo całkowite: $$P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|H_i)\cdot P(H_i)$$ gdzie $H_1,\ldots,H_n$ — zupełny układ zdarzeń (parami rozłączne, suma = $\Omega$).
Wzór Bayesa: $$P(H_k|A) = \frac{P(A|H_k)\cdot P(H_k)}{\sum_{i=1}^n P(A|H_i)\cdot P(H_i)}$$ Aktualizuje prawdopodobieństwo hipotezy po zaobserwowaniu zdarzenia.

Przykład: Fabryki I, II, III produkują 50%, 30%, 20% towaru. Braki: 2%, 3%, 5%. Losowy towar jest wadliwy — jakie P, że pochodzi z fabryki III?

$P(W) = 0{,}5\cdot0{,}02+0{,}3\cdot0{,}03+0{,}2\cdot0{,}05 = 0{,}01+0{,}009+0{,}01=0{,}029$
$P(III|W) = \dfrac{0{,}2\cdot0{,}05}{0{,}029} = \dfrac{0{,}01}{0{,}029} \approx 34{,}5\%$

⚡ Zapamiętaj: Wzór Bayesa to podstawa uczenia maszynowego, filtrów antyspamowych i diagnostyki medycznej. "Prawdopodobieństwo apriori" (przed) vs "aposteriori" (po obserwacji).

Układy równań różniczkowych liniowych

Szkoła średnia

$\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$, gdzie $A$ — macierz $n\times n$, $\mathbf{x}=[x_1,\ldots,x_n]^T$.

Metoda wartości własnych: jeśli $Av=\lambda v$, to $\mathbf{x}(t)=Ce^{\lambda t}v$ jest rozwiązaniem.

Rozwiązanie ogólne (różne wartości własne $\lambda_1,\lambda_2$): $\mathbf{x}=C_1e^{\lambda_1t}v_1+C_2e^{\lambda_2t}v_2$.

Stabilność: $\text{Re}(\lambda)<0$ → rozwiązanie maleje do $0$ (stabilne); $>0$ → rośnie (niestabilne).

Sprzężone zespolone $\lambda=\alpha\pm\beta i$: rozwiązania $e^{\alpha t}\cos(\beta t)$, $e^{\alpha t}\sin(\beta t)$.

$\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\mathbf{x}$: $\lambda_1=3$, $v_1=[1,1]^T$; $\lambda_2=1$, $v_2=[1,-1]^T$; $\mathbf{x}=C_1e^{3t}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+C_2e^{t}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$.

Punkt stały $\mathbf{x}=0$: węzeł (realne $\lambda$), spirala (zespolone $\lambda$), środek (czysto urojone). Stabilność → lewy półpłaszczyzna.

Wielomiany — definicja, stopień i pierwiastki

Szkoła średnia