Definicje i Teorie

Definicja: Kolejność wykonywania działań (PEMDAS/BODMAS):

1. Nawiasy — zawsze najpierw, od wewnątrz na zewnątrz
2. Potęgi i pierwiastki
3. Mnożenie i dzielenie — od lewej do prawej
4. Dodawanie i odejmowanie — od lewej do prawej

Definicja: Liczby naturalne to $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ — liczby do liczenia elementów. Liczby całkowite $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$ rozszerzają je o ujemne. Liczby wymierne $\mathbb{Q}$ to wszystkie liczby dające się zapisać jako ułamek $\frac{p}{q}$, gdzie $p, q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$.

Definicje miar tendencji centralnej:

• Średnia arytmetyczna $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \dfrac{\sum x_i}{n}$
• Mediana — wartość środkowa po posortowaniu danych. Dla parzystej liczby danych: średnia dwóch środkowych.
• Moda (dominanta) — wartość lub wartości występujące najczęściej w zbiorze.

Funkcja liniowa: $f(x) = ax + b$, gdzie $a, b \in \mathbb{R}$.
Wykres: linia prosta. $a$ — współczynnik kierunkowy (nachylenie), $b$ — wyraz wolny (przecięcie z $OY$).
Miejsca zerowe: $x_0 = -\dfrac{b}{a}$ (gdy $a \neq 0$) — przecięcie z $OX$.

Diagram pudełkowy (boxplot) wizualizuje: minimum, $Q_1$, medianę, $Q_3$, maksimum (five-number summary).

Definicja: Potęga $a^n$ to iloczyn $n$ czynników równych $a$: $$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ razy}}, \quad a \in \mathbb{R},\ n \in \mathbb{N}$$ Pierwiastek $n$-tego stopnia: $\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^n = a$ (dla $a \geq 0$, $n \in \mathbb{N}^+$). Szczególny przypadek: $\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}$ (pierwiastek kwadratowy).

Średnia arytmetyczna: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ — wrażliwa na wartości odstające.

Mediana $Me$: środkowa wartość w uporządkowanym ciągu — odporna na odstające.

Moda $Mo$: wartość najczęstsza — może nie być jedyna lub może nie istnieć.

Silnia: $n!=1\cdot2\cdot3\cdots n$; $0!=1$; $1!=1$.

Permutacja: liczba porządków $n$ różnych elementów: $P_n=n!$

Permutacja $k$-elementowa (wariacja bez powtórzeń): $V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ — wybieramy $k$ z $n$ i ustawiamy w kolejności.

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ — liczba przypadków sprzyjających / liczba wszystkich równie możliwych.

Warunki: zdarzenia elementarne jednakowo prawdopodobne, skończona przestrzeń.

$\binom{n}{k}=C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — liczba sposobów wyboru $k$ elementów z $n$, gdy kolejność NIE ma znaczenia.

Czytamy: „$n$ nad $k$" lub „$n$ po $k$".

Hierarchia czworokątów:

• Trapez: jedna para boków równoległych (podstawy)
• Równoległobok: dwie pary boków równoległych i równych; przeciwne kąty równe
• Prostokąt: równoległobok z kątami prostymi; przekątne równe
• Romb: równoległobok z wszystkimi bokami równymi; przekątne prostopadłe i dwusieczne kątów
• Kwadrat: prostokąt i romb jednocześnie; 4 równe boki, 4 kąty proste

$(a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$

$k$-ty wyraz (licząc od $k=0$): $W_k=\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.

Definicja: Ułamek $\frac{a}{b}$ to wynik dzielenia liczby $a$ (licznik) przez $b$ (mianownik), gdzie $b \neq 0$. Ułamek właściwy: $|a| < |b|$. Ułamek niewłaściwy: $|a| \geq |b|$. Liczba mieszana: całość + ułamek właściwy, np. $2\frac{3}{4}$.

Reguła dodawania: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Zdarzenia wykluczające się: $P(A\cap B)=0\Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

Reguła mnożenia: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$.

Zdarzenia niezależne: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.

$n$ niezależnych prób, każda z prawdopodobieństwem sukcesu $p$ (i porażki $q=1-p$).

Prawdopodobieństwo dokładnie $k$ sukcesów: $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k q^{n-k}$.

Definicja: Procent ($\%$) to setna część całości: $$1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$$ $p\%$ liczby $W$ wynosi $\dfrac{p}{100} \cdot W$. Trzy podstawowe zadania procentowe:

1. Obliczyć $p\%$ z $W$: wynik $= \frac{p}{100} \cdot W$
2. Obliczyć, ile $\%$ liczba $x$ stanowi z $W$: wynik $= \frac{x}{W} \cdot 100\%$
3. Obliczyć całość $W$, jeśli $x$ stanowi $p\%$: wynik $= \frac{x \cdot 100}{p}$

Rozstęp: $R = x_{max} - x_{min}$ — najprostsza miara rozproszenia.

Kwartyle: $Q_1$ (25%), $Q_2 = Me$ (mediana, 50%), $Q_3$ (75%).

Rozstęp ćwiartkowy: $IQR = Q_3 - Q_1$ — odporna miara rozproszenia.

Zdarzenia niezależne: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Zdarzenia zależne: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

$P(B|A)$ — prawdopodobieństwo warunkowe $B$ pod warunkiem $A$.

Definicja: Proporcja to równość dwóch stosunków: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, co równoważnie oznacza $a \cdot d = b \cdot c$ (iloczyn krzyżowy). Proporcjonalność prosta: $y = kx$ (gdy $x$ rośnie $n$-krotnie, $y$ też rośnie $n$-krotnie). Proporcjonalność odwrotna: $xy = k$ (gdy $x$ rośnie $n$-krotnie, $y$ maleje $n$-krotnie).

Definicja: Układ współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie tworzą dwie prostopadłe osie liczbowe: oś $OX$ (pozioma, odcięta) i oś $OY$ (pionowa, rzędna) przecinające się w punkcie $O(0,0)$ zwanym początkiem układu. Każdy punkt $P$ na płaszczyźnie opisujemy parą $(x, y)$, gdzie $x$ — odległość (ze znakiem) od osi $OY$, $y$ — odległość (ze znakiem) od osi $OX$.