Definicje i Teorie

Czym jest procent

Procent to setna część całości. Zapis $p\%$ oznacza dokładnie $\frac{p}{100}$, więc $1\%=0{,}01$, $50\%=0{,}5$, a $100\%$ to cała wielkość.

Trzy podstawowe typy zadań

1. Procent z liczby: $p\%$ z $a$ to $\frac{p}{100}\cdot a$. Przykład: $23\%$ z $400$ to $0{,}23\cdot400=92$.
2. Liczba z procentu: jeśli $p\%$ liczby $a$ wynosi $w$, to $a=\frac{w\cdot100}{p}$. Przykład: $15\%$ pewnej liczby to $45$, więc liczba wynosi $\frac{4500}{15}=300$.
3. Jakim procentem: liczba $w$ stanowi $\frac{w}{a}\cdot100\%$ liczby $a$. Przykład: $30$ to $\frac{30}{120}\cdot100\%=25\%$ ze $120$.

Podwyżki i obniżki

Wygodnie liczyć je jednym mnożeniem przez wskaźnik zmiany:

$$c_{\text{po}}=c\cdot\left(1\pm\frac{p}{100}\right)$$

Cena $80$ zł po obniżce o $25\%$: $80\cdot0{,}75=60$ zł.

Na co uważać

Procenty liczy się zawsze od aktualnej podstawy. Podwyżka o $20\%$, a potem obniżka o $20\%$ nie wraca do ceny wyjściowej: $100\to120\to96$. Podobnie dwie obniżki po $10\%$ to łącznie $19\%$, a nie $20\%$.

Definicja

Potęga $a^n$ to skrócony zapis mnożenia liczby $a$ przez siebie $n$ razy. Liczbę $a$ nazywamy podstawą, a $n$ — wykładnikiem.

Działania na potęgach

Przy tej samej podstawie:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{m\cdot n}$$

Przy tym samym wykładniku:

$$a^n\cdot b^n=(ab)^n,\qquad \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$$

Przypadki szczególne

$$a^0=1\ (a\ne0),\qquad a^1=a,\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a nie liczbę ujemną: $2^{-3}=\frac18$.

Notacja wykładnicza

Bardzo duże i bardzo małe liczby zapisujemy jako $a\cdot10^n$, gdzie $1\le a<10$:

$7\,500\,000=7{,}5\cdot10^6$, $\quad 0{,}00042=4{,}2\cdot10^{-4}$

Na co uważać

Wzory na mnożenie i dzielenie działają tylko przy identycznej podstawie — wyrażenia $2^3\cdot3^2$ nie da się zapisać jako jednej potęgi. Nie istnieje też wzór na $a^m+a^n$.

Cztery reguły potęgowania

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

$$a^m:a^n=a^{m-n}$$

$$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$$

$$(ab)^n=a^n b^n,\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$

Kluczowy warunek: dwie pierwsze reguły działają tylko dla tej samej podstawy. Podstawa nigdy się nie zmienia — $2^3\cdot2^4=2^7$, a nie $4^7$.

Najczęstsza pomyłka

Przy iloczynie wykładniki dodajemy, przy potędze potęgi — mnożymy:

$$2^3\cdot2^2=2^5=32,\qquad \left(2^3\right)^2=2^6=64$$

Te dwa zapisy wyglądają podobnie, a dają różne wyniki.

Wykładnik zerowy

$$a^0=1 \quad \text{dla } a\neq0$$

Wynika to wprost z reguły dzielenia: $\frac{a^n}{a^n}=a^0$, a przecież liczba podzielona przez samą siebie daje $1$.

Potęga liczby ujemnej

Wykładnik parzysty daje wynik dodatni, nieparzysty — ujemny:

$$(-3)^4=81,\qquad (-3)^3=-27$$

Uwaga na nawias: $-3^4$ oznacza $-(3^4)=-81$, a $(-3)^4=81$. Bez nawiasu minus nie wchodzi pod potęgę.

Sprowadzanie do wspólnej podstawy

To niemal zawsze pierwszy krok w trudniejszych zadaniach:

$$\frac{9^3\cdot3^2}{27^2}=\frac{\left(3^2\right)^3\cdot3^2}{\left(3^3\right)^2}=\frac{3^8}{3^6}=3^2=9$$

Dopiero po zapisaniu wszystkiego jako potęgi trójki reguły stają się użyteczne.

Pierwiastek sześcienny

$$\sqrt[3]{a}=b \iff b^3=a$$

$$\sqrt[3]{27}=3,\qquad \sqrt[3]{64}=4,\qquad \sqrt[3]{125}=5,\qquad \sqrt[3]{1000}=10$$

Istotna różnica względem pierwiastka kwadratowego: pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje, bo trzecia potęga liczby ujemnej jest ujemna:

$$\sqrt[3]{-8}=-2$$

Własności pierwiastków

$$\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab},\qquad \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$$

Przykład: $\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}=2\cdot3=6$ oraz $\sqrt[3]{216}=6$ ✔

Gdzie się to przydaje

Objętość sześcianu to $V=a^3$, więc krawędź odzyskujemy pierwiastkiem sześciennym: $a=\sqrt[3]{V}$. Dla $V=1000$ cm³ krawędź wynosi $10$ cm, a pole powierzchni $6\cdot100=600$ cm².

Na co uważać

Nie mnóż podstaw przy mnożeniu potęg. Nie myl $-a^n$ z $(-a)^n$. I pamiętaj, że $(2x)^2=4x^2$ — do kwadratu podnosimy również współczynnik.

Podstawowe pojęcia

Jednomian to iloczyn liczby i zmiennych, np. $3x^2y$. Suma algebraiczna to suma jednomianów, np. $2x^2-5x+1$. Jednomiany różniące się tylko współczynnikiem nazywamy podobnymi — można je redukować: $3x+5x=8x$.

Mnożenie sum algebraicznych

Każdy składnik pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy składnik drugiego:

$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$

Przykład: $(x+3)(x-2)=x^2-2x+3x-6=x^2+x-6$.

Wzory skróconego mnożenia

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Środkowy wyraz $2ab$ to podwojony iloczyn — o nim najczęściej się zapomina.

Zastosowania praktyczne

• Szybkie rachunki: $102^2=(100+2)^2=10000+400+4=10404$
• Rozkład na czynniki: $x^2-49=(x-7)(x+7)$
• Upraszczanie: $(x+4)^2-(x-4)^2=16x$

Najczęstszy błąd

$(a+b)^2\ne a^2+b^2$. Łatwo to sprawdzić na liczbach: $(2+3)^2=25$, ale $2^2+3^2=13$. Suma kwadratów $a^2+b^2$ nie rozkłada się na czynniki.

Graniastosłup

Ma dwie identyczne, równoległe podstawy i ściany boczne będące prostokątami (w graniastosłupie prostym).

$$V=P_p\cdot H,\qquad P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=Ob_p\cdot H$$

Ostrosłup

Ma jedną podstawę, a ściany boczne są trójkątami zbiegającymi się w jednym wierzchołku.

$$V=\frac{1}{3}P_p\cdot H,\qquad P_c=P_p+P_b$$

Ostrosłup ma trzykrotnie mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.

Oznaczenia

• $P_p$ — pole podstawy
• $H$ — wysokość bryły (odcinek prostopadły do podstawy)
• $h$ — wysokość ściany bocznej ostrosłupa (apotema)
• $P_b$ — pole powierzchni bocznej, $P_c$ — pole całkowite

Bryły prawidłowe

Określenie prawidłowy oznacza, że podstawą jest wielokąt foremny: w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym podstawą jest kwadrat, w trójkątnym — trójkąt równoboczny.

Na co uważać

Nie myl wysokości bryły $H$ z wysokością ściany bocznej $h$. Do objętości wchodzi $H$, do pola bocznego $h$. Wiąże je twierdzenie Pitagorasa. Pamiętaj też o jednostkach: $1\ \text{l}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$.

Okrąg a koło

Okrąg to linia — zbiór punktów odległych od środka o promień $r$. Koło to okrąg wraz z całym wnętrzem.

Podstawowe wzory

$$l=2\pi r=\pi d,\qquad P=\pi r^2$$

gdzie $d=2r$ to średnica, a $\pi\approx3{,}14$ jest stosunkiem obwodu do średnicy — identycznym dla każdego okręgu.

Łuk i wycinek

Dla kąta środkowego $\alpha$ bierzemy odpowiednią część pełnego okręgu:

$$l_{\text{łuku}}=2\pi r\cdot\frac{\alpha}{360^\circ},\qquad P_{\text{wycinka}}=\pi r^2\cdot\frac{\alpha}{360^\circ}$$

Symetrie

Koło ma nieskończenie wiele osi symetrii (każda prosta przez środek) oraz środek symetrii. Symetralna odcinka to prosta prostopadła przechodząca przez jego środek — jej punkty są równo oddalone od końców odcinka. Dwusieczna kąta dzieli kąt na połowy, a jej punkty są równo oddalone od ramion.

Najczęstszy błąd

W polu do kwadratu podnosimy promień, nie średnicę. Mając $d=10$, najpierw policz $r=5$, dopiero potem $P=\pi r^2$ — inaczej wynik będzie czterokrotnie za duży. Nie myl też łuku (długość, cm) z wycinkiem (pole, cm²).

Doświadczenie losowe

To doświadczenie, którego wyniku nie da się przewidzieć, np. rzut kostką. Zbiór wszystkich możliwych wyników oznaczamy $\Omega$, a interesujące nas wyniki tworzą zdarzenie $A$.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Gdy wszystkie wyniki są jednakowo możliwe:

$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$$

Wynik zawsze mieści się w przedziale od $0$ (zdarzenie niemożliwe) do $1$ (zdarzenie pewne).

Przykład: rzut kostką, zdarzenie „liczba parzysta”: $P=\frac{3}{6}=\frac12$.

Reguła mnożenia

Jeśli wybór składa się z kilku niezależnych kroków, liczby możliwości mnożymy:

$$n=n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$

Przykład: $3$ koszulki i $4$ spodnie dają $12$ zestawów.

Gdy elementy się nie powtarzają

Liczba możliwości maleje z każdym krokiem. Ustawienie $4$ osób w rzędzie to $4\cdot3\cdot2\cdot1=24$ sposoby, a nie $4^4$.

Na co uważać

Wzór klasyczny wymaga, by wyniki były równie prawdopodobne. Przy sumie oczek z dwóch kostek $|\Omega|=36$ (wszystkie pary), a nie $11$ (możliwe sumy) — bo suma $7$ wypada częściej niż $2$.

Kolejność wykonywania działań

1. Działania w nawiasach (od najbardziej wewnętrznego)
2. Potęgowanie
3. Mnożenie i dzielenie — od lewej do prawej
4. Dodawanie i odejmowanie — od lewej do prawej

Przykład: $2+3\cdot4^2=2+3\cdot16=2+48=50$.

Dzielenie z resztą

$$a=b\cdot q+r,\qquad 0\le r

gdzie $a$ — dzielna, $b$ — dzielnik, $q$ — iloraz, $r$ — reszta. Reszta zawsze jest mniejsza od dzielnika.

Przykład: $47:5=9$ r. $2$, bo $47=5\cdot9+2$.

Zaokrąglanie

O zaokrągleniu decyduje pierwsza cyfra odrzucana. Jeśli jest mniejsza niż $5$ — zaokrąglamy w dół, jeśli $5$ lub więcej — w górę.

Przykład: $3\,748$ do setek → cyfra dziesiątek to $4$, więc $3\,700$.

Liczby rzymskie

$I=1$, $V=5$, $X=10$, $L=50$, $C=100$, $D=500$, $M=1000$. Znak mniejszy przed większym oznacza odejmowanie: $IV=4$, $IX=9$, $XL=40$.

Na co uważać

Mnożenie i dzielenie mają równy priorytet — liczymy je po kolei od lewej: $24:4\cdot2=6\cdot2=12$, a nie $24:8=3$. Podobnie dodawanie i odejmowanie.

Rodzaje kątów

$$\text{ostry}<90^\circ,\quad \text{prosty}=90^\circ,\quad 90^\circ<\text{rozwarty}<180^\circ$$

$$\text{półpełny}=180^\circ,\qquad \text{pełny}=360^\circ$$

Kąt prosty nie jest ani ostry, ani rozwarty — to granica między nimi.

Trójkąty

Ze względu na boki: równoboczny, równoramienny, różnoboczny. Ze względu na kąty: ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny.

Suma kątów wewnętrznych każdego trójkąta wynosi $180^\circ$.

Prostokąt i kwadrat

$$P_{\square}=a\cdot b,\qquad Ob_{\square}=2(a+b)$$

$$P_{kw}=a^2,\qquad Ob_{kw}=4a$$

Kwadrat ma $4$ osie symetrii, prostokąt (niebędący kwadratem) — $2$.

Jednostki pola

$$1\ \text{m}^2=10\,000\ \text{cm}^2,\qquad 1\ \text{cm}^2=100\ \text{mm}^2$$

Przy zamianie jednostek pola przelicznik podnosimy do kwadratu.

Na co uważać

Przed obliczeniem pola sprowadź wszystkie boki do tej samej jednostki. Pole podajemy w jednostkach kwadratowych, obwód w zwykłych.

Cechy podzielności

• przez 2 — ostatnia cyfra parzysta
• przez 3 — suma cyfr dzieli się przez $3$
• przez 4 — liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez $4$
• przez 5 — ostatnia cyfra to $0$ lub $5$
• przez 9 — suma cyfr dzieli się przez $9$
• przez 10 — ostatnia cyfra to $0$

Podzielność przez $6$ to podzielność przez $2$ i przez $3$ jednocześnie.

Liczby pierwsze i złożone

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie samą. Liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona.

Pierwsze liczby pierwsze: $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$.

NWD i NWW

Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze, a następnie:

$$\mathrm{NWD}\ \text{— iloczyn wspólnych czynników w } \textbf{najniższych}\ \text{potęgach}$$

$$\mathrm{NWW}\ \text{— iloczyn wszystkich czynników w } \textbf{najwyższych}\ \text{potęgach}$$

Przykład: $24=2^3\cdot3$, $36=2^2\cdot3^2$, więc $\mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$, $\mathrm{NWW}=2^3\cdot3^2=72$.

Zawsze zachodzi: $\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b$.

Zastosowania

NWD służy do skracania ułamków, NWW — do sprowadzania do wspólnego mianownika.

Na co uważać

Do NWD wchodzą tylko czynniki wspólne. Dla $8=2^3$ i $9=3^2$ nie ma wspólnych czynników, więc $\mathrm{NWD}=1$ — liczby są względnie pierwsze.

Cechy podzielności

• przez 2 — ostatnia cyfra parzysta
• przez 3 — suma cyfr dzieli się przez $3$
• przez 4 — dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez $4$
• przez 5 — ostatnia cyfra to $0$ lub $5$
• przez 9 — suma cyfr dzieli się przez $9$
• przez 10 — ostatnia cyfra to $0$

Przykład: $171$ dzieli się przez $3$, bo $1+7+1=9$. Nie trzeba wykonywać dzielenia.

Podzielność przez liczbę złożoną

Liczba dzieli się przez $6$, gdy dzieli się jednocześnie przez $2$ i przez $3$. Podobnie przez $15$ — gdy przez $3$ i przez $5$. Warunek musi zachodzić dla obu czynników naraz.

Liczby pierwsze i złożone

Pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie. Złożona ma ich więcej.

Liczby pierwsze do $20$: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$.

Dwa fakty warte zapamiętania: liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona (ma tylko jeden dzielnik), a $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.

Rozkład na czynniki pierwsze

Dzielimy kolejno przez najmniejsze liczby pierwsze, aż dojdziemy do jedynki:

$$60=2^2\cdot3\cdot5,\qquad 84=2^2\cdot3\cdot7,\qquad 126=2\cdot3^2\cdot7$$

NWD — największy wspólny dzielnik

Z rozkładów bierzemy czynniki wspólne w najniższych potęgach.

$$24=2^3\cdot3,\quad 36=2^2\cdot3^2 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$$

NWW — najmniejsza wspólna wielokrotność

Bierzemy wszystkie czynniki w najwyższych potęgach.

$$6=2\cdot3,\quad 8=2^3 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{NWW}=2^3\cdot3=24$$

Kiedy NWD, a kiedy NWW

• NWD — gdy coś dzielimy na równe części: paczki, grupy, kawałki materiału
• NWW — gdy coś powtarza się cyklicznie i szukamy spotkania: autobusy, drzewa i lampy, obiegi

Przydatna zależność

$$\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b$$

Dla $30$ i $45$: $15\cdot90=1350=30\cdot45$ ✔ Pozwala szybko policzyć NWW, gdy znamy już NWD.

Liczby względnie pierwsze

Gdy $\mathrm{NWD}=1$, liczby nie mają wspólnego czynnika — jak $15$ i $28$. Ich NWW jest wtedy równe iloczynowi.

Na co uważać

Nie myl NWD z NWW — pierwsze jest zawsze mniejsze lub równe obu liczbom, drugie zawsze większe lub równe. Jeśli wynik nie mieści się w tych granicach, gdzieś jest błąd.

Zestawienie wzorów

$$P_{\text{prostokąt}}=a\cdot b,\qquad P_{\text{kwadrat}}=a^2$$

$$P_{\text{równoległobok}}=a\cdot h,\qquad P_{\text{trójkąt}}=\frac{1}{2}a\cdot h$$

$$P_{\text{trapez}}=\frac{a+b}{2}\cdot h,\qquad P_{\text{romb}}=\frac{e\cdot f}{2}$$

Oznaczenia

• $a$, $b$ — boki (w trapezie: podstawy równoległe)
• $h$ — wysokość, czyli odcinek prostopadły do podstawy
• $e$, $f$ — przekątne rombu

Kluczowa zasada

Wysokość musi odpowiadać tej samej podstawie, którą wybraliśmy. W jednym trójkącie są trzy pary podstawa–wysokość i każda daje ten sam wynik pola.

Przykłady

Trójkąt o podstawie $8$ i wysokości $5$: $P=\frac12\cdot8\cdot5=20$.

Trapez o podstawach $10$ i $6$ oraz wysokości $4$: $P=\frac{16}{2}\cdot4=32$.

Romb o przekątnych $6$ i $8$: $P=\frac{48}{2}=24$.

Na co uważać

W równoległoboku $h$ to wysokość, a nie długość drugiego boku. W trójkącie rozwartokątnym wysokość może padać poza trójkąt — to nadal poprawna wysokość, opuszczamy ją wtedy na przedłużenie boku.

Przekształcenia równoważne

Równanie nie zmienia zbioru rozwiązań, gdy do obu stron dodamy (lub od obu odejmiemy) tę samą liczbę albo pomnożymy (podzielimy) obie strony przez tę samą liczbę różną od zera.

Schemat rozwiązywania

1. Usuwamy nawiasy
2. Przenosimy niewiadome na jedną stronę, liczby na drugą (zmieniając znak)
3. Redukujemy wyrazy podobne
4. Dzielimy przez współczynnik przy niewiadomej
5. Sprawdzamy wynik przez podstawienie

Przykład: $2(x-3)=x+5 \Rightarrow 2x-6=x+5 \Rightarrow x=11$. Sprawdzenie: $2\cdot8=16$ i $11+5=16$. ✔

Trzy możliwe wyniki

• Jedno rozwiązanie — np. $3x=15$, czyli $x=5$
• Równanie sprzeczne — np. $2x+3=2x+5$ prowadzi do $3=5$; brak rozwiązań
• Równanie tożsamościowe — np. $2x+4=2(x+2)$; spełnia je każda liczba

Przekształcanie wzorów

Ten sam mechanizm stosujemy do wzorów. Z $P=a\cdot b$ otrzymujemy $b=\frac{P}{a}$ (przy $a\ne0$).

Na co uważać

Przenosząc wyraz na drugą stronę, zmieniamy jego znak. Mnożąc równanie przez nawias, mnóż każdy składnik: $3(2x-5)=6x-15$, a nie $6x-5$.

Kąty przy przecinających się prostych

Przyległe — mają wspólne ramię i dopełniają się do $180^\circ$.

Wierzchołkowe — leżą naprzeciw siebie i są równe.

Kąty przy prostych równoległych

Gdy dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, kąty odpowiadające oraz naprzemianległe są równe, a kąty jednostronne dopełniają się do $180^\circ$.

Nierówność trójkąta

$$|b-c|

Trójkąt istnieje, gdy każdy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Wystarczy sprawdzić warunek dla najdłuższego boku.

Przystawanie trójkątów

Trójkąty przystające mają identyczny kształt i rozmiar. Cechy przystawania:

• bbb — trzy pary równych boków
• bkb — dwa boki i kąt między nimi
• kbk — dwa kąty i bok między nimi

Uwaga: trzy równe kąty (kkk) dają jedynie podobieństwo, nie przystawanie.

Wielokąty

$$\text{suma kątów}=(n-2)\cdot180^\circ$$

W wielokącie foremnym (wszystkie boki i kąty równe) jeden kąt wynosi:

$$\alpha=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$$

Przykład: sześciokąt foremny ma kąt $\frac{720^\circ}{6}=120^\circ$.

Na co uważać

Dzielenie sumy kątów przez $n$ wolno stosować tylko dla wielokąta foremnego. Równość kątów odpowiadających wymaga, by proste rzeczywiście były równoległe — musi to wynikać z treści zadania, a nie z wyglądu rysunku.

Budowa ułamka

W ułamku $\frac{a}{b}$ liczba $a$ to licznik (ile części bierzemy), a $b$ to mianownik (na ile części podzielono całość). Mianownik nigdy nie może być zerem.

Rodzaje ułamków

• Właściwy — licznik mniejszy od mianownika, np. $\frac38$ (wartość mniejsza od $1$)
• Niewłaściwy — licznik większy lub równy mianownikowi, np. $\frac74$
• Liczba mieszana — całość i ułamek, np. $2\frac35$

Zamiana liczby mieszanej na ułamek

$$a\frac{b}{c}=\frac{a\cdot c+b}{c}$$

Przykład: $2\frac35=\frac{2\cdot5+3}{5}=\frac{13}{5}$.

Skracanie i rozszerzanie

Dzieląc lub mnożąc licznik i mianownik przez tę samą liczbę, otrzymujemy ułamek równy wyjściowemu:

$$\frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac{2}{3},\qquad \frac{2}{3}=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}=\frac{8}{12}$$

Ułamek jest nieskracalny, gdy $\mathrm{NWD}$ licznika i mianownika wynosi $1$.

Porównywanie

Ułamki o różnych mianownikach sprowadzamy do wspólnego mianownika i porównujemy liczniki. Przykład: $\frac34=\frac68$, a $\frac68>\frac58$.

Ułamki dziesiętne

Mianownik $10$, $100$, $1000$ zapisujemy przecinkiem:

$$\frac{3}{10}=0{,}3,\qquad \frac{25}{100}=0{,}25=\frac14$$

Na co uważać

Skracać wolno tylko przez wspólny dzielnik licznika i mianownika — nie wolno skreślać pojedynczych cyfr. W $\frac{16}{64}$ przypadkowe skreślenie szóstek daje poprawny wynik $\frac14$, ale to zbieg okoliczności, a nie metoda.

Dodawanie i odejmowanie

Przy jednakowych mianownikach działamy tylko na licznikach:

$$\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}$$

Przy różnych mianownikach najpierw sprowadzamy do wspólnego mianownika (najwygodniej do $\mathrm{NWW}$):

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$

Mnożenie

$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$$

Warto skracać przed mnożeniem — rachunki są prostsze.

Dzielenie

Mnożymy przez odwrotność dzielnika:

$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$$

Przykład: $\frac34:\frac25=\frac34\cdot\frac52=\frac{15}{8}=1\frac78$.

Potęgowanie

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$

Ułamek liczby

Zwrot „$\frac25$ z $45$” oznacza mnożenie: $\frac25\cdot45=18$.

Na co uważać

Przy dodawaniu nie sumujemy mianowników — $\frac12+\frac13\ne\frac25$. Liczby mieszane przed mnożeniem i dzieleniem zamieniamy na ułamki niewłaściwe. W wyrażeniach z kilkoma działaniami obowiązuje zwykła kolejność: najpierw mnożenie i dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie.

Czym są liczby całkowite

To liczby naturalne, ich liczby przeciwne oraz zero:

$$\ldots,-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots$$

Na osi liczbowej im dalej w prawo, tym liczba większa. Każda liczba ujemna jest mniejsza od zera.

Dodawanie i odejmowanie

Dodawanie liczby dodatniej przesuwa nas w prawo, ujemnej — w lewo:

$$-8+12=4,\qquad -5-3=-8$$

Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie liczby przeciwnej:

$$7-(-3)=7+3=10$$

Mnożenie i dzielenie — reguła znaków

$$(+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+,\qquad (+)\cdot(-)=-$$

Przykłady: $-4\cdot(-6)=24$; $-20:4=-5$.

Potęgowanie liczb ujemnych

Potęga o wykładniku parzystym daje wynik dodatni, o nieparzystym — ujemny:

$$(-2)^2=4,\qquad (-2)^3=-8$$

Wartość bezwzględna

$|a|$ to odległość liczby od zera, zawsze nieujemna: $|-7|=7$, $|7|=7$.

Na co uważać

Rozróżniaj $-2^2$ i $(-2)^2$. W pierwszym przypadku potęgujemy tylko dwójkę, a minus zostaje: $-2^2=-4$. W drugim potęgujemy całą liczbę ujemną: $(-2)^2=4$.

Budowa graniastosłupa

Graniastosłup prosty ma dwie identyczne, równoległe podstawy i ściany boczne będące prostokątami. Nazwa pochodzi od kształtu podstawy: graniastosłup trójkątny, czworokątny, sześciokątny.

Liczba elementów

Dla podstawy o $n$ bokach: ścian $n+2$, krawędzi $3n$, wierzchołków $2n$. Prostopadłościan ($n=4$): $6$ ścian, $12$ krawędzi, $8$ wierzchołków.

Objętość

$$V=P_p\cdot H$$

Szczególne przypadki:

$$V_{\text{prostopadłościan}}=a\cdot b\cdot c,\qquad V_{\text{sześcian}}=a^3$$

Pole powierzchni

$$P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=Ob_p\cdot H$$

Dla sześcianu: $P_c=6a^2$.

Siatka bryły

To rozłożona na płaszczyźnie powierzchnia bryły. Siatka sześcianu składa się z sześciu jednakowych kwadratów; siatka graniastosłupa — z dwóch podstaw i prostokąta o długości równej obwodowi podstawy.

Jednostki objętości

$$1\ \text{l}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3,\qquad 1\ \text{m}^3=1000\ \text{dm}^3$$

Na co uważać

Nie myl objętości z polem powierzchni — dla sześcianu o krawędzi $4$ objętość wynosi $64$, a pole $96$. Przy zamianie jednostek objętości przelicznik podnosimy do trzeciej potęgi: $1\ \text{dm}=10\ \text{cm}$, ale $1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$.

Czym jest objętość

Objętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła — ile sześcianów jednostkowych da się w niej zmieścić. Podajemy ją w jednostkach sześciennych: cm$^3$, dm$^3$, m$^3$.

Podstawowe wzory

$$V_{\text{prostopadłościan}}=a\cdot b\cdot c$$

$$V_{\text{sześcian}}=a^3$$

$$V_{\text{graniastosłup}}=P_p\cdot H$$

Ostatni wzór jest najogólniejszy — prostopadłościan to po prostu graniastosłup o podstawie prostokątnej.

Jednostki objętości

$$1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3,\qquad 1\ \text{m}^3=1\,000\,000\ \text{cm}^3$$

Przelicznik objętości to sześcian przelicznika długości: skoro $1$ m $=100$ cm, to $1$ m$^3=100\cdot100\cdot100$ cm$^3$.

Litry

$$1\ \text{litr}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$$

To najważniejsza zamiana w zadaniach o pojemnikach i akwariach.

Elementy graniastosłupa

Graniastosłup ma dwie jednakowe podstawy i ściany boczne. W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami.

• ścian: liczba boków podstawy plus $2$
• wierzchołków: dwa razy liczba boków podstawy
• krawędzi: trzy razy liczba boków podstawy

Przykład dla graniastosłupa trójkątnego: $5$ ścian, $6$ wierzchołków, $9$ krawędzi.

Siatka bryły

Siatka to powierzchnia bryły rozłożona na płasko. Siatka sześcianu składa się z $6$ jednakowych kwadratów; można je ułożyć na $11$ różnych sposobów.

Pole powierzchni a objętość

To dwie różne wielkości: pole podajemy w cm$^2$, objętość w cm$^3$. Pole powierzchni sześcianu to $6a^2$, a objętość to $a^3$.

Na co uważać

Przy zmianie wymiarów objętość rośnie w trzeciej potędze — podwojenie krawędzi sześcianu zwiększa objętość ośmiokrotnie, a nie dwukrotnie. Przy przeliczaniu jednostek objętości dzielimy przez $1000$ lub $1\,000\,000$, nie przez $100$.

Wyrażenie algebraiczne

To zapis, w którym obok liczb występują litery oznaczające liczby nieznane. Litera zastępuje wartość, której jeszcze nie znamy albo która może się zmieniać.

Zapisywanie treści symbolami

• liczba $x$ powiększona o $5$ → $x+5$
• liczba $x$ dwa razy większa → $2x$
• liczba $x$ powiększona o $5$ i pomnożona przez $2$ → $2(x+5)$
• o $3$ mniej niż $x$ → $x-3$

Nawias jest istotny — $2(x+5)$ i $2x+5$ to różne wyrażenia.

Wartość liczbowa wyrażenia

Podstawiamy liczby w miejsce liter. Dla $a=2$, $b=5$: $3a+2b=6+10=16$.

Upraszczanie

Łączymy wyrazy z tą samą literą:

$$4x+3-2x+5=2x+8$$

Równanie

To równość dwóch wyrażeń z niewiadomą. Rozwiązać równanie to znaleźć wartość niewiadomej, dla której równość jest prawdziwa.

Wolno: dodać lub odjąć tę samą liczbę do obu stron, pomnożyć lub podzielić obie strony przez tę samą liczbę różną od zera.

$$3x-5=16 \;\Rightarrow\; 3x=21 \;\Rightarrow\; x=7$$

Na co uważać

Zawsze sprawdzaj wynik przez podstawienie do pierwotnego równania — to wychwytuje błędy rachunkowe. Przenosząc wyraz na drugą stronę, pamiętaj o zmianie znaku.

Suma kątów

$$\text{trójkąt: }180^\circ,\qquad \text{czworokąt: }360^\circ$$

Czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty — stąd podwojona suma.

Rodzaje trójkątów

Ze względu na boki: równoboczny (wszystkie kąty po $60^\circ$), równoramienny (kąty przy podstawie równe), różnoboczny. Ze względu na kąty: ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny.

W trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do $90^\circ$.

Czworokąty

• Kwadrat — wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste
• Prostokąt — kąty proste, boki równe parami
• Romb — wszystkie boki równe, kąty niekoniecznie proste
• Równoległobok — boki przeciwległe równoległe i równe
• Trapez — co najmniej jedna para boków równoległych

Koło i okrąg

$$l=2\pi r,\qquad P=\pi r^2$$

Okrąg to linia, koło — okrąg wraz z wnętrzem.

Skala

Skala $1:100$ oznacza, że $1$ cm na planie to $100$ cm w rzeczywistości. Odcinek $3$ cm odpowiada więc $300$ cm, czyli $3$ m.

Na co uważać

Kwadrat jest jednocześnie prostokątem i rombem — to nie są rozłączne kategorie. Przy skali zawsze sprawdź, czy pytanie dotyczy planu, czy rzeczywistości, i pilnuj jednostek.

Podstawowa zależność

$$s=v\cdot t,\qquad v=\frac{s}{t},\qquad t=\frac{s}{v}$$

gdzie $s$ — droga, $v$ — prędkość, $t$ — czas. Znając dwie wielkości, zawsze wyznaczymy trzecią.

Jednostki

$$1\ \frac{\text{km}}{\text{h}}=\frac{1000\ \text{m}}{3600\ \text{s}}$$

Zamiana: z km/h na m/s dzielimy przez $3{,}6$, w drugą stronę mnożymy.

Przykład: $36\ \text{km/h}=10\ \text{m/s}$.

Czas w postaci dziesiętnej

Przed obliczeniami minuty zamieniamy na ułamek godziny:

$$30\ \text{min}=0{,}5\ \text{h},\qquad 15\ \text{min}=0{,}25\ \text{h},\qquad 2\ \text{h }30\ \text{min}=2{,}5\ \text{h}$$

Prędkość średnia

To całkowita droga podzielona przez całkowity czas — nie średnia arytmetyczna prędkości na poszczególnych odcinkach.

Zależności

Przy stałej drodze prędkość i czas są odwrotnie proporcjonalne: dwukrotny wzrost prędkości skraca czas o połowę.

Na co uważać

Najczęstszy błąd to mieszanie jednostek — prędkość w km/h przy czasie podanym w minutach. Zawsze najpierw sprowadź wszystko do zgodnych jednostek, a dopiero potem podstawiaj do wzoru.

Proporcja

To równość dwóch ilorazów:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Podstawowa własność — iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi środkowych:

$$a\cdot d=b\cdot c$$

Przykład: z $\frac{x}{6}=\frac{10}{4}$ otrzymujemy $4x=60$, więc $x=15$.

Proporcjonalność prosta

$$y=ax,\qquad \frac{y}{x}=a\ (\text{stałe})$$

Obie wielkości rosną w tym samym tempie. Dwa razy więcej towaru to dwa razy większa zapłata.

Proporcjonalność odwrotna

$$y=\frac{a}{x},\qquad x\cdot y=a\ (\text{stałe})$$

Gdy jedna wielkość rośnie, druga maleje. Przykład: dwa razy więcej robotników to dwa razy krótszy czas pracy.

Podział proporcjonalny

Aby podzielić $600$ zł w stosunku $2:3$: sumujemy części ($2+3=5$), wyznaczamy jedną część ($600:5=120$) i mnożymy ($2\cdot120=240$ oraz $3\cdot120=360$).

Skala mapy

Skala $1:50\,000$ oznacza, że $1$ cm na mapie to $50\,000$ cm w terenie, czyli $500$ m. Odcinek $4$ cm odpowiada więc $2$ km.

Na co uważać

Przed użyciem proporcji ustal typ zależności. Test: podwój jedną wielkość — jeśli druga też się podwaja, to proporcjonalność prosta; jeśli maleje o połowę — odwrotna. Zależność z opłatą stałą (np. $y=4x+10$) nie jest proporcjonalnością.

Średnia arytmetyczna

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$$

Sumujemy wszystkie dane i dzielimy przez ich liczbę. Każde wystąpienie liczy się osobno — dla ocen $5,5,5,2$ mamy $n=4$, więc $\bar{x}=\frac{17}{4}=4{,}25$.

Zależność odwrotna

$$\text{suma}=\bar{x}\cdot n$$

Jeśli średnia trzech liczb wynosi $10$, ich suma to $30$. To bardzo częsty krok w zadaniach.

Diagramy

Słupkowy — porównywanie wielkości. Kołowy — udział części w całości; pełne koło to $360^\circ$, więc:

$$\text{procent}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot100\%$$

Wycinek o kącie $90^\circ$ odpowiada $25\%$ całości.

Jak zmienia się średnia

Dołożenie liczby większej od dotychczasowej średniej podnosi ją, mniejszej — obniża. Liczba równa średniej nic nie zmienia.

Doświadczenia losowe

$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},\qquad 0\le P(A)\le 1$$

Zdarzenie niemożliwe ma $P=0$ (np. wyrzucenie $7$ na kostce), pewne $P=1$.

Na co uważać

Średnia bywa myląca przy wartościach skrajnych — jedna bardzo duża liczba potrafi ją znacząco zawyżyć. Przy odczycie z diagramu zawsze sprawdź, czy oś zaczyna się od zera; przesunięta skala wyolbrzymia różnice.

Mnożenie pisemne

Mnożymy od prawej strony, cyfra po cyfrze, przenosząc nadmiar do następnej kolumny.

Przykład: $234\cdot6$

• $4\cdot6=24$ — piszemy $4$, przenosimy $2$
• $3\cdot6=18$, plus przeniesione $2$ daje $20$ — piszemy $0$, przenosimy $2$
• $2\cdot6=12$, plus przeniesione $2$ daje $14$ — piszemy $14$

$$234\cdot6=1404$$

Dzielenie pisemne

Dzielimy od lewej strony, zabierając kolejne cyfry dzielnej.

Przykład: $852:4$

• $8:4=2$ — zapisujemy $2$
• $5:4=1$ reszty $1$ — zapisujemy $1$, resztę dopisujemy do następnej cyfry
• $12:4=3$ — zapisujemy $3$

$$852:4=213$$

Wynik zawsze warto sprawdzić mnożeniem: $213\cdot4=852$.

Znaki rzymskie

Siedem podstawowych znaków:

$$I=1,\quad V=5,\quad X=10,\quad L=50,\quad C=100,\quad D=500,\quad M=1000$$

Zasady zapisu rzymskiego

• Znaki ustawione od największego dodajemy: $XVI=10+5+1=16$
• Mniejszy znak przed większym oznacza odejmowanie: $IV=5-1=4$, $XL=50-10=40$, $CM=1000-100=900$
• Tego samego znaku nie powtarzamy więcej niż trzy razy — dlatego piszemy $IV$, a nie $IIII$
• Odejmować wolno tylko znakami $I$, $X$ i $C$

Przykład: $MMXXVI=1000+1000+10+10+5+1=2026$.

Na co uważać

Przy mnożeniu pisemnym najczęstszym błędem jest zgubienie przeniesienia — warto zapisywać je drobną cyfrą nad kolumną. Przy zapisie rzymskim uważaj na kolejność: $XL$ to $40$, ale $LX$ to już $60$.

Kolejność działań

1. nawiasy
2. potęgi i pierwiastki
3. mnożenie i dzielenie — od lewej do prawej
4. dodawanie i odejmowanie — od lewej do prawej

Przykład: $2+3\cdot4=2+12=14$. Liczenie po kolei od lewej dałoby błędne $20$ — to najczęstsza pomyłka w tym dziale.

Mnożenie pisemne

Mnożymy przez każdą cyfrę drugiego czynnika osobno, przesuwając kolejne wyniki o jedno miejsce w lewo, a na końcu dodajemy.

Przykład: $128\cdot25$. Liczymy $128\cdot5=640$ oraz $128\cdot20=2560$, w sumie $3200$.

Sprytniej: $25=100:4$, więc $128\cdot25=12\,800:4=3200$.

Dzielenie pisemne

Dzielimy od najstarszej cyfry, zapisując reszty. Przykład: $748:4$ — kolejno $7:4=1$ r. $3$, potem $34:4=8$ r. $2$, wreszcie $28:4=7$. Wynik: $187$.

Sprawdzenie zawsze przez mnożenie: $187\cdot4=748$ ✔

Dzielenie z resztą

$$a=b\cdot q+r,\qquad 0\le r

Litera $q$ to iloraz, $r$ to reszta. Reszta zawsze jest mniejsza od dzielnika — gdyby była równa lub większa, można by wykonać jeszcze jedno pełne dzielenie.

Przykład: $47:5=9$ r. $2$, bo $47=5\cdot9+2$.

Zadania odwrotne

Znając dzielnik, iloraz i resztę, odzyskujemy liczbę ze wzoru wyżej. Dla dzielnika $9$, ilorazu $12$ i reszty $5$: $9\cdot12+5=113$.

Reszty w zadaniach praktycznych

Uwaga na interpretację. Przy $180$ uczniach i autokarach na $52$ miejsca $180:52=3$ r. $24$ — ale trzeba zamówić cztery autokary, bo dwudziestu czterech uczniów nie zostawimy. W innych zadaniach (np. „ile pełnych pudełek”) resztę się odrzuca. Zawsze decyduje treść.

Kontrola z grubsza

Przed zapisaniem wyniku warto go oszacować: $27\cdot24$ to mniej więcej $27\cdot25=675$, więc wynik $648$ jest wiarygodny, a np. $6480$ od razu wyglądałby podejrzanie.

Na co uważać

Trzy klasyczne błędy: liczenie od lewej bez uwzględnienia pierwszeństwa mnożenia, zgubienie przeniesienia przy mnożeniu pisemnym oraz podanie reszty większej od dzielnika.

Wzajemne położenie prostych

• Prostopadłe ($k\perp l$) — przecinają się pod kątem $90^\circ$
• Równoległe ($k\parallel l$) — nie mają punktu wspólnego, odległość między nimi jest stała
• Przecinające się — mają dokładnie jeden punkt wspólny

Rodzaje kątów

• Ostry — mniejszy niż $90^\circ$
• Prosty — dokładnie $90^\circ$
• Rozwarty — większy niż $90^\circ$, ale mniejszy niż $180^\circ$
• Półpełny — dokładnie $180^\circ$
• Pełny — dokładnie $360^\circ$

Suma kątów w trójkącie

W każdym trójkącie zachodzi:

$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$

Dlatego znając dwa kąty, trzeci zawsze obliczymy odejmowaniem. Przykład: gdy $\alpha=50^\circ$ i $\beta=60^\circ$, to $\gamma=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ$.

Podział trójkątów ze względu na boki

• Równoboczny — trzy równe boki, każdy kąt ma $60^\circ$
• Równoramienny — dwa równe boki (ramiona), kąty przy podstawie są równe
• Różnoboczny — wszystkie boki różnej długości

Podział trójkątów ze względu na kąty

• Ostrokątny — wszystkie kąty ostre
• Prostokątny — jeden kąt prosty
• Rozwartokątny — jeden kąt rozwarty

Trójkąt może mieć najwyżej jeden kąt prosty lub rozwarty — dwa takie kąty przekroczyłyby już sumę $180^\circ$.

Na co uważać

W trójkącie równoramiennym równe są kąty przy podstawie, a nie dowolne dwa. Jeśli kąt między ramionami ma $40^\circ$, to na dwa pozostałe zostaje $140^\circ$, czyli po $70^\circ$ każdy.

Co oznacza skala

Skala mówi, ile razy rysunek różni się od rzeczywistości. Zapis $1:n$ czytamy tak: jedna jednostka na rysunku odpowiada $n$ jednostkom w rzeczywistości.

• Pomniejszenie — np. $1:100\,000$ (mapy, plany budynków)
• Powiększenie — np. $2:1$ (rysunki drobnych części)
• Wielkość naturalna — $1:1$

Dwa kierunki przeliczania

$$\text{rzeczywistość}=\text{rysunek}\cdot n,\qquad \text{rysunek}=\frac{\text{rzeczywistość}}{n}$$

Przykład — z mapy w teren

Na mapie $1:100\,000$ odcinek ma $3$ cm. Ile to w rzeczywistości?

$$3\cdot100\,000=300\,000\ \text{cm}=3000\ \text{m}=3\ \text{km}$$

Przykład — z terenu na plan

Odległość $8$ km na mapie $1:200\,000$:

$$8\ \text{km}=800\,000\ \text{cm},\qquad 800\,000:200\,000=4\ \text{cm}$$

Zamiana jednostek długości

$$1\ \text{m}=100\ \text{cm},\qquad 1\ \text{km}=1000\ \text{m}=100\,000\ \text{cm}$$

Na co uważać

Najczęstszy błąd to pominięcie zamiany jednostek. Skala nie ma jednostki — jeśli mnożysz centymetry, wynik też jest w centymetrach i dopiero potem zamieniasz go na metry lub kilometry. Druga pułapka: im większa druga liczba skali, tym mniejszy rysunek — mapa $1:100\,000$ pomniejsza bardziej niż $1:1000$.

Po co są diagramy

Diagram zamienia liczby na obraz — dzięki temu od razu widać, co jest największe, a co najmniejsze.

Diagram słupkowy

Wysokość słupka odpowiada wartości. Najlepiej nadaje się do porównywania grup między sobą. Jeśli podano legendę „jedna kratka = $5$ osób”, wartość odczytujemy mnożeniem: słupek o $7$ kratkach to $7\cdot5=35$ osób.

Diagram kołowy

Całe koło to całość, czyli $100\%$ oraz pełny kąt $360^\circ$. Stąd przelicznik:

$$1\%=3{,}6^\circ,\qquad \text{kąt}=\frac{\text{procent}}{100}\cdot360^\circ$$

Najczęstsze części całości

• $\frac12=50\%=180^\circ$
• $\frac13\approx33\%=120^\circ$
• $\frac14=25\%=90^\circ$
• $\frac15=20\%=72^\circ$

Obliczanie procentu z liczby

$$\text{procent z liczby}=\frac{p}{100}\cdot a$$

Przykład: $40\%$ z $30$ uczniów to $0{,}4\cdot30=12$ uczniów.

Średnia z danych

$$\text{średnia}=\frac{\text{suma wartości}}{\text{liczba wartości}}$$

Przykład: dla $12$, $15$, $9$ i $20$ mamy $\frac{12+15+9+20}{4}=\frac{56}{4}=14$.

Na co uważać

Sprawdzaj, czy wszystkie części diagramu kołowego sumują się do $100\%$ — jeśli nie, gdzieś jest błąd. Uważaj też na osie diagramów słupkowych: gdy oś nie zaczyna się od zera, różnice wyglądają na dużo większe, niż są w rzeczywistości.

Odsetki od lokaty

Bank dopisuje do wpłaconej kwoty odsetki liczone jako procent od kapitału:

$$\text{odsetki}=\text{kapitał}\cdot\frac{p}{100}$$

Przykład: od $2000$ zł przy $5\%$ rocznie odsetki wynoszą $0{,}05\cdot2000=100$ zł.

Podatek od zysku

Od odsetek pobierany jest podatek $19\%$. Zamiast liczyć podatek i odejmować, szybciej od razu policzyć, ile zostaje:

$$\text{do wypłaty}=\text{odsetki}\cdot0{,}81$$

Przykład: z $300$ zł odsetek zostaje $300\cdot0{,}81=243$ zł.

Kapitalizacja — odsetki od odsetek

Po dopisaniu odsetek do kapitału w kolejnym roku procent liczy się już od większej kwoty:

$$K_n=K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$

Przykład: $1000$ zł na $2$ lata przy $10\%$ daje $1000\cdot1{,}1^2=1210$ zł — o $10$ zł więcej niż przy prostym naliczaniu.

Podwyżka i obniżka

$$\text{po podwyżce o } p\%:\ a\cdot\left(1+\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{po obniżce o } p\%:\ a\cdot\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$$

Podwyżka o $10\%$ i następnie obniżka o $10\%$ nie wraca do ceny wyjściowej: $200\to220\to198$ zł, bo drugi procent liczymy od większej kwoty.

Szukanie kwoty sprzed zmiany

Jeśli po podwyżce o $20\%$ cena wynosi $360$ zł, to cena początkowa to:

$$360:1{,}2=300\ \text{zł}$$

Dzielimy, a nie odejmujemy $20\%$ od $360$ — to dałoby błędne $288$ zł.

Procent a punkt procentowy

To dwie różne miary tej samej zmiany:

• Punkty procentowe — zwykła różnica: z $4\%$ na $6\%$ to wzrost o $2$ punkty procentowe
• Procent zmiany — liczony względem wartości początkowej: $\frac{6-4}{4}=50\%$

Na co uważać

Zawsze sprawdzaj, od czego liczysz procent. Ta sama zmiana z $4\%$ na $6\%$ to jednocześnie $2$ punkty procentowe i aż $50\%$ wzrostu — obie odpowiedzi są poprawne, ale odpowiadają na inne pytania.

Odsetki od lokaty

Oprocentowanie zawsze podaje się w skali roku, nawet gdy lokata trwa krócej:

$$\text{odsetki}=\text{kapitał}\cdot\frac{p}{100}\cdot\frac{\text{liczba miesięcy}}{12}$$

Lokata półroczna na $6\%$ daje faktycznie $3\%$, kwartalna na $8\%$ — $2\%$.

Podatek od zysków kapitałowych

Bank pobiera $19\%$ od odsetek — nigdy od wpłaconego kapitału.

$$\text{odsetki netto}=\text{odsetki brutto}\cdot0{,}81$$

Przykład: $2000$ zł na $5\%$ daje $100$ zł odsetek, podatek to $19$ zł, więc na konto trafia $2081$ zł.

Cena netto i brutto

$$\text{brutto}=\text{netto}\cdot\left(1+\tfrac{\text{VAT}}{100}\right)$$

Przy stawce $23\%$ mnożnikiem jest $1{,}23$:

$$\text{netto}=\frac{\text{brutto}}{1{,}23}$$

Najczęstszy błąd przy VAT

Aby z ceny brutto $123$ zł otrzymać netto, dzielimy przez $1{,}23$ i dostajemy $100$ zł. Odjęcie $23\%$ od $123$ zł daje błędne $94{,}71$ zł — bo podatek liczony jest od netto, a nie od brutto.

Stawki VAT w Polsce

Podstawowa $23\%$, obniżone $8\%$ (m.in. usługi budowlane) i $5\%$ (książki, część żywności), a niektóre towary są zwolnione.

Porównywanie ofert

Oferty sprowadzamy do wspólnego okresu — zwykle do roku. Bank dający $1{,}2\%$ kwartalnie daje w roku $4{,}8\%$, czyli więcej niż konkurent z $4\%$ rocznie.

Przy porównaniach z podatkiem liczy się kwota po opodatkowaniu. Lokata $5\%$ obciążona podatkiem $19\%$ daje efektywnie $4{,}05\%$ — mniej niż zwolniona z podatku obligacja na $4{,}2\%$.

Zadania odwrotne

Gdy znamy odsetki po opodatkowaniu, cofamy się o dwa kroki. Kwota $81$ zł to $81\%$ odsetek brutto, więc brutto wynosiło $100$ zł, a przy kapitale $2000$ zł daje to oprocentowanie $5\%$.

Podatek od podatku

Przy paliwie VAT nalicza się od kwoty zawierającej już akcyzę. Dla ceny netto $4$ zł i akcyzy $1{,}50$ zł podstawą jest $5{,}50$ zł, a VAT wynosi $1{,}265$ zł — cena końcowa to około $6{,}77$ zł.

Na co uważać

Nie zapomnij przeliczyć stopy rocznej na faktyczny okres. Nie obciążaj podatkiem kapitału. I nie odejmuj procentu VAT od ceny brutto.

Na czym to polega

Przekształcanie wzoru to wyznaczenie z niego innej wielkości. Obowiązuje jedna zasada: to, co robimy z jedną stroną równania, musimy zrobić z drugą.

Działania odwrotne

• dodawanie $\leftrightarrow$ odejmowanie
• mnożenie $\leftrightarrow$ dzielenie
• podnoszenie do kwadratu $\leftrightarrow$ pierwiastkowanie

Przykład 1 — pole prostokąta

Ze wzoru $P=a\cdot b$ wyznaczamy $b$, dzieląc obie strony przez $a$:

$$b=\frac{P}{a}$$

Przykład 2 — pole trójkąta

Ze wzoru $P=\frac{a\cdot h}{2}$ wyznaczamy $h$ w dwóch krokach:

$$2P=a\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\frac{2P}{a}$$

Przykład 3 — wzór z dodawaniem

Ze wzoru $y=2x+3$ wyznaczamy $x$. Najpierw odejmujemy $3$, potem dzielimy przez $2$:

$$y-3=2x \quad\Rightarrow\quad x=\frac{y-3}{2}$$

Najważniejsze wzory do ćwiczeń

• $s=v\cdot t \ \Rightarrow\ t=\frac{s}{v}$, $v=\frac{s}{t}$
• $O=2\pi r \ \Rightarrow\ r=\frac{O}{2\pi}$
• $V=P_p\cdot H \ \Rightarrow\ H=\frac{V}{P_p}$
• $P=a^2 \ \Rightarrow\ a=\sqrt{P}$ (dla $a>0$)

Na co uważać

Kolejność działań ma znaczenie: $\frac{y-3}{2}$ to nie to samo co $\frac{y}{2}-3$. Gdy nie masz pewności, czy wzór przekształciłeś dobrze, podstaw konkretne liczby i sprawdź, czy obie wersje dają ten sam wynik. Warto też kontrolować jednostki — kilometry dzielone przez km/h muszą dać godziny.

Budowa ułamka

W ułamku $\frac{a}{b}$ liczba $a$ to licznik — mówi, ile części bierzemy. Liczba $b$ to mianownik — mówi, na ile równych części podzielono całość. Mianownik nigdy nie może być zerem.

Rodzaje ułamków

• Właściwy — licznik mniejszy od mianownika, wartość mniejsza od $1$, np. $\frac38$
• Niewłaściwy — licznik większy lub równy mianownikowi, np. $\frac94$ albo $\frac55$
• Liczba mieszana — całość i ułamek razem, np. $2\frac35$

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

$$a\frac{b}{c}=\frac{a\cdot c+b}{c}$$

Przykład: $3\frac14=\frac{3\cdot4+1}{4}=\frac{13}{4}$.

Zamiana w drugą stronę

Dzielimy licznik przez mianownik z resztą. Wynik dzielenia to część całkowita, a reszta staje się nowym licznikiem.

Przykład: $22:7=3$ reszty $1$, więc $\frac{22}{7}=3\frac17$.

Dodawanie i odejmowanie przy jednakowych mianownikach

$$\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}$$

Działamy tylko na licznikach — mianownik przepisujemy bez zmian. Przykład: $\frac49+\frac29=\frac69=\frac23$.

Odejmowanie od całości

Liczbę całkowitą zamieniamy na ułamek o tym samym mianowniku: $1=\frac{c}{c}$.

Przykład: $1-\frac27=\frac77-\frac27=\frac57$.

Na co uważać

Najczęstszy błąd to dodawanie mianowników — $\frac13+\frac13$ to $\frac23$, a nie $\frac26$. Mianownik opisuje rozmiar części i przy dodawaniu takich samych części się nie zmienia. Wynik zawsze podajemy w postaci nieskracalnej.

Jednostki czasu

• $1$ minuta $=60$ sekund
• $1$ godzina $=60$ minut
• $1$ doba $=24$ godziny
• $1$ tydzień $=7$ dni
• $1$ rok $=365$ dni (przestępny $366$)

Dodawanie czasu

Najpierw dodajemy pełne godziny, potem minuty. Gdy minut wyjdzie $60$ lub więcej, zamieniamy je na godzinę.

Przykład: $16{:}30$ plus $105$ minut. Najpierw $105$ min $=1$ h $45$ min. Potem $16{:}30+1$ h $=17{:}30$, a $17{:}30+45$ min $=18{:}15$.

Obliczanie czasu trwania

Wygodnie liczyć „przez pełną godzinę”: najpierw ile brakuje do pełnej godziny, potem ile zostaje.

Przykład: od $14{:}50$ do $15{:}20$ — do pełnej godziny $10$ minut, potem jeszcze $20$ minut, razem $30$ minut.

Liczba dni w miesiącach

Po $31$ dni mają: styczeń, marzec, maj, lipiec, sierpień, październik, grudzień. Po $30$ dni: kwiecień, czerwiec, wrzesień, listopad. Luty ma $28$ dni, a w roku przestępnym $29$.

Rok przestępny

Rok jest przestępny, gdy dzieli się przez $4$. Wyjątkiem są pełne stulecia — te muszą dzielić się przez $400$. Dlatego rok $2000$ był przestępny, a $1900$ nie.

Dni tygodnia i cykl siedmiodniowy

Aby ustalić dzień tygodnia za $n$ dni, dzielimy $n$ przez $7$ i liczy się tylko reszta. Przykład: za $10$ dni od poniedziałku — $10:7=1$ reszty $3$, więc przesuwamy się o $3$ dni do czwartku.

Obliczenia pieniężne

Kwoty zapisujemy z dwoma miejscami po przecinku, a przy dodawaniu i odejmowaniu wyrównujemy przecinki, nie ostatnie cyfry: $50{,}00-34{,}60=15{,}40$ zł.

Na co uważać

Czas nie jest zapisem dziesiętnym — $2{,}5$ godziny to $2$ h $30$ min, a nie $2$ h $50$ min. Ułamek godziny mnożymy przez $60$, a nie przez $100$. Zapis $10{:}75$ nie istnieje, bo minut nie może być więcej niż $59$.

Co to znaczy rozwiązać równanie

Rozwiązać równanie to znaleźć wszystkie liczby, które po wstawieniu w miejsce niewiadomej dają zdanie prawdziwe.

Zasada przekształceń

Równanie można zmieniać, o ile to samo robimy z obiema stronami:

• dodać lub odjąć tę samą liczbę
• pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera

Schemat rozwiązywania

1. rozwiń nawiasy
2. przenieś niewiadome na jedną stronę, liczby na drugą (zmieniając znak)
3. zredukuj wyrazy podobne
4. podziel przez współczynnik przy niewiadomej
5. sprawdź, podstawiając wynik do pierwotnego równania

Przykład

$$5x-3=2x+9$$

$$5x-2x=9+3 \quad\Rightarrow\quad 3x=12 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Sprawdzenie: lewa strona $5\cdot4-3=17$, prawa $2\cdot4+9=17$. Zgadza się.

Trzy możliwe wyniki

• Jedno rozwiązanie — po redukcji zostaje $ax=b$ z $a\neq0$
• Brak rozwiązań (równanie sprzeczne) — zostaje fałsz, np. $3=5$
• Nieskończenie wiele (równanie tożsamościowe) — zostaje prawda, np. $0=0$

Zadania tekstowe — schemat

1. oznacz szukaną wielkość literą i zapisz, co ona znaczy
2. wyraź pozostałe wielkości przez tę literę
3. ułóż równanie na podstawie warunku z treści
4. rozwiąż i sprawdź, czy wynik ma sens (np. wiek nie może być ujemny)
5. odpowiedz pełnym zdaniem na pytanie zadania

Na co uważać

Przy przenoszeniu przez znak równości zmieniamy znak składnika. Minus przed nawiasem dotyczy całego nawiasu: $7y-2(y+3)=7y-2y-6$, a nie $7y-2y+6$. Sprawdzenie wyniku kosztuje kilkanaście sekund i wyłapuje większość pomyłek rachunkowych.

Obwód a pole — dwie różne wielkości

Obwód to długość linii dookoła figury — mierzymy ją w centymetrach, metrach, kilometrach. Pole to wielkość powierzchni wewnątrz figury — mierzymy je w jednostkach kwadratowych: cm$^2$, m$^2$.

Dobre skojarzenie: obwód to długość płotu wokół działki, a pole to ilość trawy w środku.

Wzory

$$O_{\text{kwadratu}}=4a,\qquad P_{\text{kwadratu}}=a\cdot a$$

$$O_{\text{prostokąta}}=2a+2b=2(a+b),\qquad P_{\text{prostokąta}}=a\cdot b$$

Przykład

Prostokąt $9$ cm na $4$ cm: obwód $2(9+4)=26$ cm, pole $9\cdot4=36$ cm$^2$.

Zadania odwrotne

Znając obwód kwadratu, bok znajdujemy dzieleniem: $a=O:4$. Znając pole prostokąta i jeden bok, drugi bok to $b=P:a$.

Jednostki pola

Przelicznik jednostek pola jest kwadratem przelicznika długości:

• $1$ cm $=10$ mm, więc $1$ cm$^2=100$ mm$^2$
• $1$ dm $=10$ cm, więc $1$ dm$^2=100$ cm$^2$
• $1$ m $=100$ cm, więc $1$ m$^2=10\,000$ cm$^2$
• $1$ ar $=100$ m$^2$ (kwadrat $10$ m na $10$ m)
• $1$ hektar $=10\,000$ m$^2=100$ arów (kwadrat $100$ m na $100$ m)

Figury złożone

Figurę o dziwnym kształcie dzielimy na prostokąty i dodajemy ich pola — albo uzupełniamy do dużego prostokąta i odejmujemy to, czego brakuje.

Przy obwodzie figury złożonej z kilku sklejonych kwadratów pamiętaj: boki stykowe leżą wewnątrz i nie liczą się do obwodu.

Największe pole przy danym obwodzie

Spośród wszystkich prostokątów o tym samym obwodzie największe pole ma kwadrat. Przy obwodzie $20$ cm prostokąt $7\times3$ ma pole $21$ cm$^2$, a kwadrat o boku $5$ — aż $25$ cm$^2$.

Na co uważać

Dwa najczęstsze błędy: podanie pola tam, gdzie pytano o obwód (i odwrotnie), oraz przeliczanie jednostek pola tak jak długości — $1$ m$^2$ to $10\,000$ cm$^2$, a nie $100$.

Czym jest graniastosłup prosty

To bryła o dwóch jednakowych, równoległych podstawach połączonych ścianami bocznymi, które są prostokątami. Nazwa bierze się od kształtu podstawy: graniastosłup trójkątny, czworokątny, sześciokątny.

Ile ma elementów

Dla podstawy o $n$ bokach:

• ścian: $n+2$ (dwie podstawy i $n$ ścian bocznych)
• wierzchołków: $2n$
• krawędzi: $3n$ ($n$ w dole, $n$ w górze, $n$ pionowych)

Przykład dla sześciokąta: $8$ ścian, $12$ wierzchołków, $18$ krawędzi.

Siatka

Siatka to bryła rozłożona na płasko: dwie podstawy plus pas $n$ prostokątów. Wysokość każdego prostokąta jest równa wysokości graniastosłupa.

Pole powierzchni

$$P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=O_p\cdot H$$

Pole boczne liczymy jako obwód podstawy razy wysokość, bo rozwinięte ściany boczne tworzą jeden duży prostokąt.

Objętość

$$V=P_p\cdot H$$

Dla prostopadłościanu upraszcza się to do $V=a\cdot b\cdot c$, a dla sześcianu do $V=a^3$.

Sześcian i prostopadłościan

$$P_{\text{sześcianu}}=6a^2,\qquad V_{\text{sześcianu}}=a^3$$

$$P_{\text{prostopadłościanu}}=2(ab+ac+bc)$$

Sześcian ma $12$ krawędzi — to przydaje się w zadaniach o szkielecie z drutu: potrzeba $12a$.

Jednostki objętości

• $1$ cm$^3=1000$ mm$^3$
• $1$ dm$^3=1000$ cm$^3=1$ litr
• $1$ m$^3=1000$ dm$^3=1000$ litrów

Przelicznik jednostek objętości to sześcian przelicznika długości.

Zadania odwrotne

Z $V=P_p H$ wyznaczamy brakującą wielkość dzieleniem: $H=V:P_p$ albo $P_p=V:H$.

Na co uważać

Pole zapisujemy w cm$^2$, objętość w cm$^3$ — pomylona jednostka to najczęstszy powód utraty punktu. Przy pytaniu „ile kostek się zmieści” bezpieczniej liczyć kostki wzdłuż każdej krawędzi niż dzielić objętości: jeśli wymiary nie dzielą się bez reszty, sam iloraz objętości daje wynik zawyżony.

Czym różni się ostrosłup od graniastosłupa

Ostrosłup ma jedną podstawę i jeden wierzchołek nad nią; wszystkie ściany boczne to trójkąty zbiegające się w tym wierzchołku. Graniastosłup ma dwie podstawy i prostokątne ściany boczne.

Ile ma elementów

Dla podstawy o $n$ bokach:

• ścian: $n+1$
• wierzchołków: $n+1$
• krawędzi: $2n$

Stąd zadania odwrotne: ostrosłup o $12$ krawędziach ma podstawę sześciokątną ($2n=12$), a ostrosłup o $9$ wierzchołkach — ośmiokątną ($n+1=9$).

Ostrosłup prawidłowy

Ma podstawę będącą wielokątem foremnym, a spodek wysokości leży w środku podstawy. Wszystkie ściany boczne są wtedy przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Siatka

Ostrosłup prawidłowy czworokątny: jeden kwadrat i cztery jednakowe trójkąty równoramienne. Czworościan foremny: cztery jednakowe trójkąty równoboczne.

Pole powierzchni

$$P_c=P_p+P_b$$

Pole boczne to suma pól trójkątów. Dla ostrosłupa prawidłowego o $n$ ścianach, krawędzi podstawy $a$ i wysokości ściany bocznej $h$ (apotemie):

$$P_b=n\cdot\frac{a\cdot h}{2}$$

Objętość

$$V=\frac13 P_p\cdot H$$

Współczynnik $\frac13$ nie jest przypadkowy: trzy jednakowe ostrosłupy wypełniają dokładnie graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.

Wysokość bryły a wysokość ściany

To dwie różne wielkości. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym łączy je trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $H$ i $\frac{a}{2}$ oraz przeciwprostokątnej $h$:

$$h^2=H^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$$

Przykład: $a=10$, $h=13$, więc $H=\sqrt{169-25}=12$.

Zadania odwrotne

Z $V=\frac13 P_p H$ wynika $H=\frac{3V}{P_p}$ oraz $P_p=\frac{3V}{H}$. Zwróć uwagę na trójkę w liczniku — to najczęściej gubiony element.

Na co uważać

Pomijanie $\frac13$ przy objętości ostrosłupa to błąd numer jeden. Numer dwa to wstawianie wysokości bryły zamiast wysokości ściany bocznej przy liczeniu pola — zawsze sprawdź, którą wielkość podano w treści.

Zasada ogólna

Zamieniając na jednostkę mniejszą, mnożymy. Zamieniając na większą, dzielimy. Warto sprawdzić wynik zdrowym rozsądkiem: $3$ km to na pewno więcej niż $3$ m, więc liczba metrów musi być większa.

Długość

$$1\ \text{km}=1000\ \text{m},\qquad 1\ \text{m}=100\ \text{cm},\qquad 1\ \text{cm}=10\ \text{mm}$$

Pole — przelicznik podniesiony do kwadratu

$$1\ \text{cm}^2=100\ \text{mm}^2,\qquad 1\ \text{dm}^2=100\ \text{cm}^2,\qquad 1\ \text{m}^2=10\,000\ \text{cm}^2$$

$$1\ \text{ar}=100\ \text{m}^2,\qquad 1\ \text{ha}=10\,000\ \text{m}^2=100\ \text{arów}$$

Objętość — przelicznik podniesiony do sześcianu

$$1\ \text{cm}^3=1000\ \text{mm}^3,\qquad 1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3,\qquad 1\ \text{m}^3=1\,000\,000\ \text{cm}^3$$

Pojemność

$$1\ \text{litr}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3,\qquad 1\ \text{ml}=1\ \text{cm}^3$$

$$1\ \text{m}^3=1000\ \text{litrów}$$

To najczęściej potrzebne przejście w zadaniach o akwariach i basenach.

Masa

$$1\ \text{t}=1000\ \text{kg},\qquad 1\ \text{kg}=1000\ \text{g},\qquad 1\ \text{g}=1000\ \text{mg}$$

$$1\ \text{dag}=10\ \text{g},\qquad 1\ \text{kg}=100\ \text{dag}$$

Czas — uwaga, system nie jest dziesiętny

$$1\ \text{h}=60\ \text{min},\qquad 1\ \text{min}=60\ \text{s}$$

$2$ h $15$ min to $135$ minut, a nie $215$. W obliczeniach prędkości zapisujemy czas ułamkiem godziny: $15$ min $=0{,}25$ h, $20$ min $=\frac13$ h, $45$ min $=0{,}75$ h.

Przykłady

• $3{,}5$ km $=3500$ m
• $5$ dm$^2=500$ cm$^2$
• $4$ m$^3=4000$ litrów
• $2{,}4$ kg $=2400$ g
• $0{,}75$ l $=750$ ml

Na co uważać

Największa pułapka to stosowanie przelicznika długości do pola lub objętości. Przy polu przelicznik podnosimy do kwadratu, przy objętości — do sześcianu. Druga pułapka to czas: $1{,}5$ godziny to $90$ minut, a nie $150$.

Trzy podstawowe pytania

• Ile to $p\%$ z $a$? $\ \to\ $ mnożymy: $a\cdot\frac{p}{100}$
• Jakim procentem $a$ jest $b$? $\ \to\ $ dzielimy: $\frac{b}{a}\cdot100\%$
• $b$ to $p\%$ pewnej liczby — jakiej? $\ \to\ $ dzielimy: $b:\frac{p}{100}$

Podwyżka i obniżka jednym mnożeniem

$$\text{wzrost o } p\%:\ a\cdot\left(1+\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{spadek o } p\%:\ a\cdot\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$$

Wzrost o $20\%$ to mnożenie przez $1{,}2$, spadek o $35\%$ — przez $0{,}65$.

Cena przed obniżką

Jeśli po obniżce o $30\%$ towar kosztuje $91$ zł, to $91$ stanowi $70\%$ ceny pełnej:

$$91:0{,}7=130\ \text{zł}$$

Częsty błąd to doliczenie $30\%$ do $91$ zł — daje $118{,}30$ zł, czyli wynik fałszywy, bo procent liczy się od innej podstawy.

Zmiany złożone

Przy dwóch zmianach po kolei mnożymy współczynniki, a nie dodajemy procenty:

$$+10\%,\ \text{potem} +10\%:\quad 1{,}1\cdot1{,}1=1{,}21 \ \text{(a nie } 1{,}2)$$

$$+50\%,\ \text{potem} -50\%:\quad 1{,}5\cdot0{,}5=0{,}75$$

Wzrost i taki sam procentowo spadek nigdy nie wracają do punktu wyjścia — drugi procent liczony jest od innej kwoty.

Punkty procentowe

Gdy porównujemy dwie wartości wyrażone w procentach, ich różnicę podajemy w punktach procentowych.

Frekwencja wzrosła z $54\%$ do $61\%$ — to wzrost o $7$ punktów procentowych. Wzrost względny to $\frac{7}{54}\approx13\%$. Obie liczby są poprawne, ale opisują co innego i nie wolno ich mylić.

VAT, marża i lokata

$$\text{brutto}=\text{netto}\cdot\left(1+\tfrac{VAT}{100}\right)$$

Marża doliczana do ceny zakupu działa tak samo jak podwyżka. Odsetki od lokaty za jeden rok to $K\cdot\frac{p}{100}$, a stan konta to $K\left(1+\frac{p}{100}\right)$.

Stężenie procentowe

$$C_p=\frac{m_{\text{substancji}}}{m_{\text{roztworu}}}\cdot100\%$$

W mianowniku jest masa całego roztworu, a nie samej wody. Dolewanie wody nie zmienia masy substancji — zmienia tylko mianownik.

Na co uważać

Zawsze ustal, od czego liczony jest procent. Ten sam procent od innej podstawy daje inną kwotę — to źródło większości błędów w zadaniach o rabatach, podwyżkach i stężeniach.

Liczby i działania

Kolejność: nawiasy, potęgi i pierwiastki, mnożenie i dzielenie, dodawanie i odejmowanie.

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^0=1$$

$$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\qquad \sqrt{a}+\sqrt{b}\neq\sqrt{a+b}$$

Notacja wykładnicza

Liczbę zapisujemy jako $a\cdot10^n$, gdzie $1\le a<10$. Wykładnik dodatni oznacza liczbę dużą, ujemny — mniejszą od $1$: $0{,}00042=4{,}2\cdot10^{-4}$.

Procenty

Wzrost o $p\%$ to mnożenie przez $1+\frac{p}{100}$, spadek — przez $1-\frac{p}{100}$. Cenę sprzed obniżki znajdujemy dzieleniem, nigdy doliczaniem tego samego procentu.

Wyrażenia algebraiczne i równania

Opuszczając nawias po minusie, zmieniamy znak każdego składnika: $3(2x-1)-2(x-4)=6x-3-2x+8=4x+5$.

Równanie rozwiązujemy, grupując niewiadome po jednej stronie, a liczby po drugiej. Wynik zawsze warto sprawdzić przez podstawienie.

Geometria płaska

$$c^2=a^2+b^2,\qquad S_{\text{kątów } n\text{-kąta}}=(n-2)\cdot180^\circ$$

$$P_{\triangle}=\frac{a\cdot h}{2},\qquad P_{\text{trapezu}}=\frac{(a+b)\cdot h}{2},\qquad P_{\text{koła}}=\pi r^2,\qquad L=2\pi r$$

Trójki pitagorejskie warte zapamiętania: $3$–$4$–$5$, $6$–$8$–$10$, $9$–$12$–$15$, $5$–$12$–$13$, $8$–$15$–$17$.

Bryły

$$V_{\text{graniastosłupa}}=P_p H,\qquad V_{\text{ostrosłupa}}=\tfrac13 P_p H$$

$$1\ \text{m}^3=1000\ \text{litrów},\qquad 1\ \text{dm}^3=1\ \text{litr}$$

Statystyka i prawdopodobieństwo

Średnia to suma podzielona przez liczbę elementów. Znając średnią i liczbę elementów, odzyskujemy sumę — to klucz do zadań o brakującej ocenie.

$$P(A)=\frac{\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich zdarzeń}}$$

Prędkość, droga, czas

$$v=\frac{s}{t},\qquad s=v\cdot t,\qquad t=\frac{s}{v}$$

Czas podajemy w godzinach zapisanych ułamkiem: $2$ h $15$ min $=2{,}25$ h.

Na co uważać na egzaminie

Czytaj, o co pytano — obwód czy pole, ile zostało czy ile zużyto. Sprawdzaj jednostki w odpowiedzi. W zadaniach otwartych zapisuj obliczenia: punkty przyznaje się także za metodę, nawet gdy wynik końcowy jest błędny.

Zestawienie wzorów

$$P_{\text{równoległoboku}}=a\cdot h$$

$$P_{\text{trójkąta}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

$$P_{\text{trapezu}}=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$

$$P_{\text{rombu}}=a\cdot h=\frac{e\cdot f}{2}$$

Skąd bierze się dzielenie przez dwa

Przekątna dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty. Każdy z nich ma więc połowę pola — stąd $\frac{a h}{2}$ we wzorze na trójkąt.

Podobnie romb mieści się dokładnie w prostokącie o bokach równych jego przekątnym i zajmuje połowę jego pola — stąd $\frac{e f}{2}$.

Wysokość to nie bok

We wzorach występuje wysokość, czyli odcinek prostopadły do podstawy. W równoległoboku wysokość jest zawsze krótsza od drugiego boku (chyba że figura jest prostokątem). Podstawienie boku zamiast wysokości to najczęstszy błąd w tym dziale.

Który wzór wybrać dla rombu

Gdy dane są bok i wysokość — używamy $a\cdot h$. Gdy dane są przekątne — $\frac{e f}{2}$. Oba dają ten sam wynik, ale każdy wymaga innych danych.

Trójkąt prostokątny

Przyprostokątne pełnią rolę podstawy i wysokości, więc pole to po prostu połowa ich iloczynu. Dla przyprostokątnych $5$ i $12$ pole wynosi $30$.

Zadania odwrotne

$$h=\frac{2P}{a} \ \text{(trójkąt)},\qquad a=\frac{P}{h} \ \text{(równoległobok)}$$

$$a+b=\frac{2P}{h} \ \text{(trapez)},\qquad f=\frac{2P}{e} \ \text{(romb)}$$

W trójkącie, trapezie i rombie pamiętaj o mnożeniu przez $2$ — to najczęściej gubiony element.

Figury złożone

Figurę dzielimy na znane kształty i dodajemy pola, albo uzupełniamy do prostokąta i odejmujemy nadmiar. Wybieramy sposób dający mniej rachunków.

Ciekawa zależność

Trapez o podstawach $a$ i $b$ ma takie samo pole jak trójkąt o podstawie $a+b$ i tej samej wysokości — oba wzory sprowadzają się do tego samego rachunku.

Na co uważać

Pole zapisujemy w jednostkach kwadratowych. Przy trójkącie i trapezie łatwo zapomnieć o dzieleniu przez $2$ — warto na koniec sprawdzić, czy wynik nie jest podejrzanie duży.

Rodzaje kątów

• ostry — mniej niż $90^\circ$
• prosty — dokładnie $90^\circ$
• rozwarty — między $90^\circ$ a $180^\circ$
• półpełny — $180^\circ$
• pełny — $360^\circ$

Pary kątów

Przyległe dopełniają się do $180^\circ$. Wierzchołkowe są równe.

Przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe. Powstają wtedy tylko dwie różne miary — np. $58^\circ$ i $122^\circ$.

Suma kątów w wielokącie

$$S=(n-2)\cdot180^\circ$$

Bierze się stąd, że $n$-kąt dzielimy przekątnymi z jednego wierzchołka na $n-2$ trójkąty.

Trójkąt $180^\circ$, czworokąt $360^\circ$, pięciokąt $540^\circ$, sześciokąt $720^\circ$.

Wielokąt foremny

$$\text{kąt wewnętrzny}=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n},\qquad \text{kąt zewnętrzny}=\frac{360^\circ}{n}$$

Suma kątów zewnętrznych każdego wielokąta wypukłego wynosi $360^\circ$ — to często szybsza droga do wyniku.

Kąt zewnętrzny trójkąta

Jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych. Dla trójkąta $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$ kąt zewnętrzny przy trzecim wierzchołku to $110^\circ=50^\circ+60^\circ$.

Własności czworokątów

• równoległobok — przeciwległe boki i kąty równe; kąty przy tym samym boku dają $180^\circ$; przekątne dzielą się na połowy
• prostokąt — jak równoległobok, dodatkowo cztery kąty proste i równe przekątne
• romb — jak równoległobok, dodatkowo cztery równe boki i prostopadłe przekątne
• trapez równoramienny — kąty przy tej samej podstawie równe, przekątne równe

Liczba przekątnych

$$\frac{n(n-3)}{2}$$

Z każdego wierzchołka prowadzimy $n-3$ przekątne (pomijamy siebie i dwóch sąsiadów), a dzielimy przez $2$, bo każdą liczylibyśmy dwukrotnie.

Konstrukcje cyrklem i linijką

Symetralna odcinka: tym samym rozwarciem cyrkla (większym niż połowa odcinka) kreślimy łuki z obu końców i łączymy punkty ich przecięcia. Działa, bo te punkty są jednakowo oddalone od obu końców.

Dwusieczna kąta: z wierzchołka zakreślamy łuk przecinający ramiona, a następnie z obu punktów przecięcia — łuki tej samej długości. Prosta przez wierzchołek i punkt przecięcia łuków dzieli kąt na pół.

Na co uważać

Symetralna dotyczy odcinka, dwusieczna — kąta; mylenie tych nazw to najczęstsza pomyłka. Przy zadaniach z kątami zawsze warto sprawdzić na końcu, czy suma się zgadza.

Koło a okrąg

Okrąg to sama linia — zbiór punktów oddalonych od środka dokładnie o promień. Koło to okrąg razem z wnętrzem.

Stąd okrąg ma długość, a koło ma pole.

Wzory

$$L=2\pi r=\pi d,\qquad P=\pi r^2$$

gdzie $r$ to promień, a $d=2r$ — średnica. Do obliczeń przybliżonych przyjmujemy $\pi\approx3{,}14$.

Zadania odwrotne

$$r=\frac{L}{2\pi},\qquad r=\sqrt{\frac{P}{\pi}}$$

Przykład: z $L=18\pi$ dostajemy $r=9$; z $P=49\pi$ dostajemy $r=7$.

Najczęstsza pułapka

Wstawienie średnicy zamiast promienia do wzoru na pole. Dla $d=8$ poprawnie jest $P=\pi\cdot4^2=16\pi$, a nie $64\pi$ — błąd czterokrotny.

Jak zmiana promienia wpływa na wynik

Długość okręgu zależy od promienia liniowo, a pole — od jego kwadratu. Podwojenie promienia podwaja obwód, ale zwiększa pole czterokrotnie.

Części koła

$$P_{\text{półkola}}=\frac{\pi r^2}{2},\qquad P_{\text{ćwiartki}}=\frac{\pi r^2}{4}$$

Uwaga przy obwodzie: obwód półkola to łuk plus średnica, czyli $\pi r+2r$ — sam łuk nie zamyka figury.

Pierścień kołowy

$$P=\pi R^2-\pi r^2=\pi\left(R^2-r^2\right)$$

Nie wolno liczyć $\pi(R-r)^2$ — najpierw podnosimy do kwadratu, potem odejmujemy.

Koło wpisane w kwadrat

Średnica koła równa się bokowi kwadratu. Odpad (część kwadratu poza kołem) stanowi zawsze około $21{,}5\%$ powierzchni — niezależnie od rozmiaru.

Zastosowania praktyczne

Jeden obrót koła to droga równa jego obwodowi. Koło o średnicy $70$ cm po $100$ obrotach przejedzie $100\cdot\pi\cdot70\approx21\,980$ cm, czyli około $220$ m.

Na co uważać

W figurach złożonych z prostokąta i półkoli sprawdź, które odcinki naprawdę leżą na brzegu. Boki schowane wewnątrz figury nie liczą się do obwodu.

Dwa różne wzory

$$L=2\pi r=\pi d \qquad\text{(długość okręgu)}$$

$$P=\pi r^2 \qquad\text{(pole koła)}$$

Nie myl ich. Długość zależy od promienia liniowo, a pole od jego kwadratu. To najczęstsza pomyłka w tym dziale.

Okrąg a koło

Okrąg to sama linia (brzeg), koło to linia wraz z wnętrzem. Długość mierzymy dla okręgu, pole — dla koła.

Liczba pi

$$\pi\approx3{,}14\approx\frac{22}{7}$$

To liczba niewymierna — stosunek długości okręgu do jego średnicy, jednakowy dla każdego okręgu.

Zadania odwrotne

$$r=\frac{L}{2\pi},\qquad r=\sqrt{\frac{P}{\pi}}$$

Z pola $49\pi$ odczytujemy $r^2=49$, więc $r=7$ — pierwiastkowanie bywa zbędne, gdy wynik podano z $\pi$.

Jak zmienia się pole

Podwojenie promienia zwiększa długość okręgu dwukrotnie, ale pole czterokrotnie, bo $\pi(2r)^2=4\pi r^2$.

Figury złożone

Półkole ma pole $\frac{\pi r^2}{2}$, ćwiartka $\frac{\pi r^2}{4}$. Pierścień to różnica pól dwóch kół współśrodkowych. Koło wpisane w kwadrat ma promień równy połowie boku.

Na co uważać

Sprawdzaj, czy dana jest średnica, czy promień. W obliczeniach z bieżnią czy kołem rowerowym „jeden obrót” to długość okręgu.

Budowa układu

Dwie prostopadłe osie: pozioma $OX$ (odcięte) i pionowa $OY$ (rzędne). Przecinają się w początku układu $O=(0,\,0)$.

Punkt zapisujemy jako parę $(x,\,y)$ — zawsze najpierw odcięta.

Ćwiartki

• I — $(+,+)$, prawa górna
• II — $(-,+)$, lewa górna
• III — $(-,-)$, lewa dolna
• IV — $(+,-)$, prawa dolna

Punkty osi $OX$ mają postać $(x,\,0)$, a osi $OY$ — $(0,\,y)$.

Odcinki równoległe do osi

Gdy odcinek jest poziomy (równe rzędne), jego długość to różnica odciętych. Gdy pionowy — różnica rzędnych. Nie trzeba wtedy twierdzenia Pitagorasa.

Odcinek ukośny

$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$

To po prostu twierdzenie Pitagorasa: rysujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równoległych do osi.

Przykład: dla $A=(1,\,1)$ i $B=(5,\,4)$ mamy $\Delta x=4$, $\Delta y=3$, więc $|AB|=5$.

Środek odcinka

$$S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$$

Zadanie odwrotne: znając środek i jeden koniec, drugi znajdujemy z $x_B=2x_S-x_A$.

Odległość od osi

Od osi $OX$ — wartość bezwzględna rzędnej. Od osi $OY$ — wartość bezwzględna odciętej. Odległość nigdy nie jest ujemna.

Symetrie

• względem osi $OX$: $(x,\,y)\to(x,\,-y)$
• względem osi $OY$: $(x,\,y)\to(-x,\,y)$
• względem początku układu: $(x,\,y)\to(-x,\,-y)$

Przesunięcie o wektor

$$(x,\,y)\ \xrightarrow{\ [p,\,q]\ }\ (x+p,\ y+q)$$

Przesunięcie nie zmienia kształtu ani rozmiaru figury — jej pole i obwód pozostają takie same. Zmieniają się tylko współrzędne.

Pola figur w układzie

Dla figur o bokach równoległych do osi wystarczą zwykłe wzory: różnice współrzędnych dają długości boków i wysokości. Trójkąt o wierzchołkach na obu osiach i w początku układu jest prostokątny, więc jego pole to połowa iloczynu przyprostokątnych.

Na co uważać

Kolejność współrzędnych — $(3,\,5)$ i $(5,\,3)$ to różne punkty. Przy odległości od osi nie zapominaj o wartości bezwzględnej.

Proporcja

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \iff a\cdot d=b\cdot c$$

Mnożenie na krzyż to podstawowe narzędzie — zamienia proporcję w zwykłe równanie.

Proporcjonalność prosta

Wzrost jednej wielkości powoduje wzrost drugiej w tym samym stosunku. Iloraz jest stały:

$$\frac{y}{x}=k \quad\Rightarrow\quad y=kx$$

Przykłady: liczba biletów i kwota, droga i zużycie paliwa, ilość składników i liczba porcji.

Proporcjonalność odwrotna

Wzrost jednej wielkości powoduje spadek drugiej. Stały jest iloczyn:

$$x\cdot y=k$$

Przykłady: liczba robotników i czas pracy, prędkość i czas przejazdu.

Jak rozpoznać: zadaj sobie pytanie „czy więcej znaczy więcej, czy mniej?”. Czterech malarzy pracuje $9$ dni, więc sześciu — krócej. Stała jest praca: $4\cdot9=36$ dniówek, stąd $36:6=6$ dni.

Podział proporcjonalny

Schemat jest zawsze ten sam:

1. zsumuj liczby ze stosunku — dostajesz liczbę części
2. podziel całość przez liczbę części — dostajesz wartość jednej części
3. pomnóż przez odpowiednie liczby ze stosunku

Przykład: $120$ zł w stosunku $2:3$. Części jest $5$, jedna warta $24$ zł, więc podział to $48$ zł i $72$ zł.

Kontrola: suma otrzymanych wartości musi dać całość.

Skala

Zapis $1:n$ oznacza, że $1$ jednostka na mapie odpowiada $n$ jednostkom w rzeczywistości.

$$\text{odległość rzeczywista}=\text{odległość na mapie}\times n$$

Warto zapamiętać: przy skali $1:100\,000$ każdy centymetr mapy to dokładnie $1$ km.

Wyznaczanie skali

Obie odległości sprowadzamy do tych samych jednostek i tworzymy stosunek. Dla $8$ cm na mapie i $4$ km w terenie: $4$ km $=400\,000$ cm, więc skala to $\frac{8}{400\,000}=1:50\,000$.

Skala a pole

Długości zmieniają się jak skala, ale pola jak jej kwadrat. W skali $1:100$ pole rzeczywiste jest $10\,000$ razy większe niż na planie — nie $100$ razy.

Na co uważać

Najczęstszy błąd to podanie wartości jednej części zamiast szukanej części podziału. Drugi — zastosowanie proporcji prostej tam, gdzie działa odwrotna; wtedy wynik wychodzi sprzeczny ze zdrowym rozsądkiem (więcej pracowników, a dłużej), co warto wychwycić.

Czym są liczby całkowite

To liczby naturalne, ich liczby przeciwne i zero:

$$\dots,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots$$

Na osi liczbowej rozmieszczone są w równych odstępach — ujemne po lewej od zera, dodatnie po prawej.

Porównywanie

Zasada jest prosta: większa jest ta liczba, która leży bardziej na prawo.

$$-7<-3<0<2<5$$

Wśród liczb ujemnych działa to odwrotnie niż intuicja podpowiada: $-7$ jest mniejsze od $-3$, choć „siódemka jest większa od trójki”. Decyduje położenie na osi, a nie sama cyfra.

Wartość bezwzględna

To odległość liczby od zera — zawsze nieujemna:

$$|{-6}|=6,\qquad |6|=6,\qquad |0|=0$$

Dwie liczby przeciwne mają tę samą wartość bezwzględną, bo leżą w tej samej odległości od zera, tylko po przeciwnych stronach.

Liczba przeciwna

Liczbą przeciwną do $a$ jest $-a$. Ich suma zawsze wynosi zero:

$$a+(-a)=0$$

Nie myl z liczbą odwrotną — odwrotnością $5$ jest $\frac15$, a liczbą przeciwną $-5$.

Dodawanie i odejmowanie na osi

Dodawanie liczby dodatniej to ruch w prawo, odejmowanie — w lewo:

$$-3+5=2,\qquad -3-5=-8$$

Gdy znaki są różne, odejmujemy wartości bezwzględne, a wynik dostaje znak liczby o większym module: $-7+12=5$, bo $12>7$ i dwunastka jest dodatnia.

Odejmowanie liczby ujemnej

$$a-(-b)=a+b$$

Dwa minusy dają plus. Przykład: $3-(-5)=8$ — to właśnie odległość między $3$ a $-5$ na osi liczbowej.

Mnożenie i dzielenie — reguła znaków

$$(+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+,\qquad (+)\cdot(-)=-$$

Jednakowe znaki dają plus, różne — minus. Ta sama reguła obowiązuje przy dzieleniu.

Ile liczb leży między dwiema danymi

Liczb całkowitych ściśle między $a$ i $b$ jest $b-a-1$. Między $-4$ a $3$ mamy $3-(-4)-1=6$ liczb: $-3,-2,-1,0,1,2$. Zera nie wolno pominąć.

Zastosowania

Temperatury poniżej zera, poziomy w budynku, stan konta, wysokość względem poziomu morza. Dług $150$ zł zapisujemy jako $-150$ — i wtedy „większy dług” to mniejsza liczba.

Na co uważać

Trzy typowe błędy: uznanie $-5>-2$, pomylenie liczby przeciwnej z odwrotną oraz pominięcie zera przy zliczaniu liczb w przedziale.

Dzielnik i wielokrotność

Liczba $d$ jest dzielnikiem $n$, gdy $n:d$ daje wynik całkowity bez reszty. Wtedy $n$ nazywamy wielokrotnością $d$.

Przykład: $3$ jest dzielnikiem $12$, a $12$ jest wielokrotnością $3$. To dwie strony tej samej relacji.

Jak wypisać wszystkie dzielniki

Szukamy parami, zaczynając od $1$:

$$24=1\cdot24=2\cdot12=3\cdot8=4\cdot6$$

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24$$

Kończymy, gdy czynniki zaczynają się mijać. Ta metoda gwarantuje, że nic nie zostanie pominięte.

Cechy podzielności

• przez 2 — ostatnia cyfra parzysta
• przez 3 — suma cyfr dzieli się przez $3$
• przez 4 — dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez $4$
• przez 5 — ostatnia cyfra to $0$ lub $5$
• przez 9 — suma cyfr dzieli się przez $9$
• przez 10 — ostatnia cyfra to $0$

Przykład: $6543$ — suma cyfr to $18$, więc liczba dzieli się przez $9$ (a tym samym przez $3$).

Liczby pierwsze i złożone

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie samą. Pierwsze z nich to $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$.

Liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona — ma tylko jeden dzielnik. Liczba $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.

Rozkład na czynniki pierwsze

Dzielimy przez kolejne liczby pierwsze, aż dojdziemy do $1$:

$$60=2\cdot2\cdot3\cdot5=2^2\cdot3\cdot5$$

W rozkładzie wszystkie czynniki muszą być pierwsze — zapis $60=4\cdot15$ to jeszcze nie rozkład na czynniki pierwsze.

NWD i NWW

NWD to największy wspólny dzielnik, NWW — najmniejsza wspólna wielokrotność.

Dla $12$ i $18$: wspólne dzielniki to $1,2,3,6$, więc NWD$=6$. Wspólne wielokrotności to $36,72,\dots$, więc NWW$=36$.

Praktyczna zależność:

$$\text{NWD}(a,b)\cdot\text{NWW}(a,b)=a\cdot b$$

Sprawdzenie: $6\cdot36=216=12\cdot18$ ✔ Znając jedno, łatwo obliczyć drugie.

Gdzie się to przydaje

NWD skraca ułamki do postaci nieskracalnej. NWW służy do sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika i do zadań o „spotykających się” cyklach — np. dwa autobusy odjeżdżające co $12$ i co $18$ minut spotkają się po $36$ minutach.

Na co uważać

Nie myl dzielnika z wielokrotnością (dzielników jest skończenie wiele, wielokrotności nieskończenie). Nie zaliczaj $1$ do liczb pierwszych. I pamiętaj, że każda liczba jest dzielnikiem samej siebie.

Mnożnik — najważniejsze narzędzie

Zamiast liczyć rabat i odejmować, mnożymy od razu przez jedną liczbę:

$$\text{podwyżka o } p\%:\ \times\left(1+\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{obniżka o } p\%:\ \times\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$$

Podwyżka o $20\%$ to mnożenie przez $1{,}2$, obniżka o $30\%$ — przez $0{,}7$.

Trzy podstawowe typy zadań

1. Znamy cenę wyjściową, szukamy końcowej. Mnożymy: $200\cdot1{,}15=230$ zł.

2. Znamy cenę końcową, szukamy wyjściowej. Dzielimy: $\frac{850}{0{,}85}=1000$ zł.

3. Znamy obie ceny, szukamy procentu. Dzielimy zmianę przez cenę wyjściową: $\frac{15}{60}=25\%$.

Podstawa procentu — źródło większości błędów

Procent zawsze liczymy od czegoś. To „coś” nazywamy podstawą i stanowi ono $100\%$.

Przy obniżce podstawą jest cena sprzed obniżki. Gdy cena wzrosła z $18$ do $27$ zł, wzrost wynosi $\frac{9}{18}=50\%$ — dzielimy przez $18$, a nie przez $27$.

Zmiany złożone

Kolejne zmiany procentowe mnożymy, nie dodajemy:

$$1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99$$

Podwyżka o $10\%$, a potem obniżka o $10\%$ nie wraca do punktu wyjścia — daje spadek o $1\%$. Powód: obniżkę liczymy od większej kwoty.

Ogólnie $(1+p)(1-p)=1-p^2<1$ — końcowa cena jest zawsze niższa od wyjściowej.

Rabaty łączone

Dwa rabaty $30\%$ i $10\%$ dają mnożnik $0{,}7\cdot0{,}9=0{,}63$, czyli łączny rabat $37\%$ — mniej niż $40\%$. Sprzedawcy chętnie eksponują sumę procentów, ale liczy się iloczyn mnożników.

Powroty nie są symetryczne

Spadek o $50\%$ wymaga wzrostu o $100\%$, by wrócić do punktu wyjścia. Wzrost o $50\%$ odwraca spadek o $33\tfrac13\%$.

Dzieje się tak, bo za każdym razem procent liczymy od innej podstawy.

Narzut a marża

Narzut liczymy od ceny zakupu, a rabat — od ceny sprzedaży. Towar kupiony za $80$ zł z narzutem $50\%$ kosztuje $120$ zł; po rabacie $30\%$ sprzedamy go za $84$ zł, wciąż z zyskiem $4$ zł. Odejmowanie tych procentów od siebie nie ma sensu.

Na co uważać

Nie odejmuj $20\%$ od ceny po podwyżce, gdy szukasz ceny sprzed niej. Nie dodawaj procentów kolejnych rabatów. I zawsze sprawdzaj, od czego liczony jest dany procent.

Reguła mnożenia

Jeśli wybór składa się z kilku niezależnych etapów, liczby możliwości mnożymy:

$$n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$

Mając $3$ koszulki i $4$ pary spodni, ubierzemy się na $3\cdot4=12$ sposobów.

Mnożyć czy dodawać

Mnożymy, gdy wybieramy jedno i drugie (koszulkę i spodnie).

Dodajemy, gdy wybieramy jedno albo drugie — na przykład deser: albo jedno z $3$ ciast, albo jeden z $2$ lodów, czyli $3+2=5$ możliwości.

Wystarczy przeczytać treść i znaleźć spójnik.

Z powtórzeniami i bez

Kody trzycyfrowe z cyfr $1$–$9$ z powtórzeniami: $9\cdot9\cdot9=729$.

Liczby dwucyfrowe z cyfr $1,2,3,4$ bez powtórzeń: $4\cdot3=12$ — na drugiej pozycji zostaje o jedną możliwość mniej.

Zero na pierwszej pozycji

W liczbach wielocyfrowych pierwsza cyfra nie może być zerem. Liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach jest więc:

$$9\cdot9\cdot8=648$$

Pierwsza pozycja: $9$ możliwości (bez zera). Druga: znowu $9$, bo zero wraca do gry, ale jedna cyfra jest zużyta. Trzecia: $8$.

Zaczynaj od najostrzejszego warunku

Szukając liczb trzycyfrowych nieparzystych o różnych cyfrach, zaczynamy od końca:

$$5\cdot8\cdot8=320$$

Ostatnia cyfra: $5$ możliwości (nieparzyste). Pierwsza: $8$ (bez zera i bez cyfry użytej na końcu). Środkowa: $8$. Gdybyśmy zaczęli od przodu, trzeba by rozbijać zadanie na przypadki.

Ustawienia w rzędzie

$$n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1$$

Cztery książki ustawimy na $4!=24$ sposoby.

Prawdopodobieństwo klasyczne

$$P(A)=\frac{\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich zdarzeń}}$$

Wzór działa tylko wtedy, gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne.

Przy dwóch kostkach wszystkich wyników jest $6\cdot6=36$. Suma większa od $9$ zdarza się w $6$ przypadkach, więc $P=\frac{6}{36}=\frac16$.

Kostki są rozróżnialne

Wyniki $(1,6)$ i $(6,1)$ liczymy osobno — inaczej nie wszystkie zdarzenia byłyby jednakowo prawdopodobne i wzór klasyczny przestałby działać.

Na co uważać

Nie dodawaj, gdy trzeba mnożyć. Pilnuj zakazu zera na pierwszej pozycji. I sprawdzaj, czy w zadaniu elementy mogą się powtarzać.

System dziesiątkowy

Liczby zapisujemy dziesięcioma cyframi: $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$. Wartość cyfry zależy od miejsca (pozycji), na którym stoi.

Wartość miejsca

Kolejne pozycje od prawej to jedności, dziesiątki, setki, tysiące. W liczbie $3572$ mamy $3$ tysiące, $5$ setek, $7$ dziesiątek i $2$ jedności.

Rozwinięcie liczby

$$3572=3\cdot1000+5\cdot100+7\cdot10+2$$

Na co uważać

Zero „trzyma" puste miejsce i zmienia wartość: $50$ to inna liczba niż $5$.

Co to jest oś liczbowa

Oś liczbowa to prosta z zaznaczonym punktem $0$, obraną jednostką i zwrotem. Każdej liczbie odpowiada dokładnie jeden punkt osi.

Jednostka

Odcinek między $0$ a $1$ to jednostka. Kolejne liczby $2,3,4,\ldots$ odkładamy co jednostkę, idąc w prawo.

Porównywanie na osi

Im dalej w prawo, tym większa liczba. Punkt liczby $5$ leży na prawo od punktu liczby $3$, dlatego $5>3$.

Zastosowanie

Oś liczbowa pomaga porównywać liczby oraz zaznaczać i odczytywać wyniki.

Znaki porównania

Używamy znaków: $<$ (mniejsze), $>$ (większe) oraz $=$ (równe). Na przykład $7>4$ oraz $3<9$.

Jak porównywać

Większa jest liczba, która ma więcej cyfr. Przy tej samej liczbie cyfr porównujemy od lewej pierwszą różniącą się cyfrę.

Przykład

$$253<261$$ bo setki są równe ($2=2$), a wśród dziesiątek $5<6$.

Na osi liczbowej

Liczba większa leży dalej w prawo na osi liczbowej.

Po co zaokrąglamy

Zaokrąglenie zastępuje liczbę bliską wartością „okrągłą", wygodniejszą w szacowaniu i szybkich rachunkach.

Reguła zaokrąglania

Patrzymy na cyfrę na pozycji niższej niż zaokrąglana. Cyfry $0,1,2,3,4$ zaokrąglają w dół, a $5,6,7,8,9$ — w górę.

Przykłady

$$47\approx50\ (\text{do dziesiątek}),\qquad 430\approx400\ (\text{do setek})$$

Uwaga

Zawsze zaokrąglamy do wskazanego rzędu: dziesiątek, setek, tysięcy.

Jak podpisujemy liczby

Zapisujemy liczby jedną pod drugą: jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami. Działanie wykonujemy od prawej strony.

Przeniesienie

Gdy suma cyfr w kolumnie jest równa co najmniej $10$, przenosimy jedną dziesiątkę do następnej kolumny w lewo.

Pożyczka

Przy odejmowaniu, gdy cyfra u góry jest za mała, pożyczamy dziesiątkę z sąsiedniej kolumny.

Sprawdzenie

Odejmowanie sprawdzamy dodawaniem: jeśli $a-b=c$, to $c+b=a$.

Czym jest ułamek

Ułamek $\frac{a}{b}$ opisuje część całości. Licznik $a$ mówi, ile części bierzemy, a mianownik $b$ — na ile równych części podzielono całość.

Przykład

$\frac{3}{4}$ to trzy z czterech równych części — tort pokrojony na $4$ kawałki, z których bierzemy $3$.

Mianownik

Mianownik nie może być zerem. Im większy mianownik, tym drobniejsze części.

Cała całość

Ułamek $\frac{b}{b}=1$, na przykład $\frac{4}{4}$ to jedna cała.

Co to jest ułamek dziesiętny

Ułamek dziesiętny zapisujemy z przecinkiem, np. $0{,}7$ lub $3{,}25$. Cyfry po przecinku oznaczają części dziesiąte, setne, tysięczne.

Związek z ułamkiem zwykłym

$$0{,}7=\frac{7}{10},\qquad 0{,}25=\frac{25}{100}$$

Pozycje po przecinku

Pierwsza cyfra po przecinku to części dziesiąte, druga — setne. W liczbie $3{,}25$ są $2$ dziesiąte i $5$ setnych.

Zastosowanie

Ułamki dziesiętne spotykamy w cenach i pomiarach, np. $2{,}50$ zł.

Ten sam mianownik

Gdy mianowniki są równe, większy jest ułamek o większym liczniku: $\frac{3}{5}>\frac{2}{5}$.

Ten sam licznik

Gdy liczniki są równe, większy jest ułamek o mniejszym mianowniku, bo części są większe: $\frac{1}{3}>\frac{1}{4}$.

Różne mianowniki

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, a potem porównujemy liczniki.

Odniesienie do całości

$\frac{b}{b}=1$. Ułamek mniejszy od $1$ ma licznik mniejszy od mianownika.

Punkt i prosta

Punkt oznaczamy wielką literą, np. $A$. Prosta jest nieograniczona w obie strony i nie ma końców.

Półprosta

Półprosta ma początek (jeden koniec) i biegnie nieskończenie w jedną stronę.

Odcinek

Odcinek $AB$ ma dwa końce i określoną długość, którą można zmierzyć linijką.

Wzajemne położenie prostych

Dwie proste mogą być równoległe (nie przecinają się) albo przecinać się w jednym punkcie.

Prostokąt

Prostokąt ma cztery kąty proste. Przeciwległe boki są równe i równoległe.

Kwadrat

Kwadrat to prostokąt, którego wszystkie boki są równe — ma $4$ równe boki i $4$ kąty proste.

Obwód

Obwód prostokąta o bokach $a$ i $b$: $2\cdot(a+b)$. Obwód kwadratu o boku $a$: $4\cdot a$.

Pole

Pole prostokąta: $P=a\cdot b$. Pole kwadratu: $P=a\cdot a=a^2$.

Zasada

Ułamki dziesiętne dodajemy i odejmujemy pisemnie, podpisując przecinek pod przecinkiem. Wtedy jedności stoją pod jednościami, a części dziesiąte pod dziesiątymi.

Wyrównanie miejsc

Gdy liczby mają różną liczbę cyfr po przecinku, dopisujemy zera na końcu, np. $3{,}5=3{,}50$.

Przykład

$$3{,}50+1{,}25=4{,}75$$

Na co uważać

Przecinek w wyniku stawiamy dokładnie pod przecinkami składników.

Okrąg

Okrąg to linia zamknięta — zbiór punktów jednakowo odległych od środka. Ta odległość to promień $r$.

Koło

Koło to okrąg wraz z jego wnętrzem. Brzegiem koła jest okrąg.

Promień i średnica

Promień $r$ łączy środek z okręgiem, a średnica $d$ przechodzi przez środek. Zachodzi $d=2r$.

Cięciwa

Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty okręgu; najdłuższą cięciwą jest średnica.

Miara kąta

Kąty mierzymy w stopniach. Pełny obrót to $360^\circ$, kąt półpełny $180^\circ$, a kąt prosty $90^\circ$.

Kątomierz

Do mierzenia używamy kątomierza: środek przykładamy do wierzchołka kąta, a podstawę do jednego z ramion.

Rodzaje kątów

Kąt ostry ma mniej niż $90^\circ$, prosty równo $90^\circ$, a rozwarty od $90^\circ$ do $180^\circ$.

Przykład

Kąt $45^\circ$ to połowa kąta prostego.

Jak porównywać

Porównujemy cyfry na tych samych miejscach, zaczynając od najważniejszego: części całkowite, potem dziesiąte, setne.

Wyrównanie

Możemy dopisać zera, aby ułamki miały tyle samo cyfr po przecinku: $0{,}5$ i $0{,}50$ to ta sama liczba.

Przykład

$$0{,}7>0{,}65$$ bo wśród części dziesiątych $7>6$.

Uwaga

Więcej cyfr po przecinku nie oznacza większej liczby: $0{,}5>0{,}45$.

Czym jest potęga

Potęga to skrócony zapis mnożenia jednakowych czynników: $a^n=a\cdot a\cdot\ldots\cdot a$ ($n$ czynników).

Nazwy

W zapisie $a^n$ liczba $a$ to podstawa, a $n$ to wykładnik. $a^2$ czytamy „a do kwadratu", $a^3$ „a do sześcianu".

Przykłady

$$2^3=2\cdot2\cdot2=8,\qquad 5^2=25$$

Przypadki szczególne

Każda liczba do potęgi pierwszej równa się sobie: $a^1=a$.

Jednostki długości

$1\,\text{cm}=10\,\text{mm}$, $1\,\text{m}=100\,\text{cm}$, $1\,\text{km}=1000\,\text{m}$.

Jednostki masy

$1\,\text{dag}=10\,\text{g}$, $1\,\text{kg}=1000\,\text{g}$, $1\,\text{t}=1000\,\text{kg}$.

Jak zamieniać

Na jednostki mniejsze mnożymy, a na większe dzielimy. Np. $3\,\text{m}=300\,\text{cm}$.

Przykłady

$2\,\text{kg}=2000\,\text{g}$, a $500\,\text{cm}=5\,\text{m}$.

Wspólny mianownik

Aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, sprowadzamy je najpierw do wspólnego mianownika.

Rozszerzanie

Rozszerzamy ułamki tak, by miały ten sam mianownik, np. $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$ oraz $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$.

Przykład

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$

Skracanie wyniku

Otrzymany ułamek w razie potrzeby skracamy do postaci nieskracalnej.

Reguła

Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.

Odwrotność

Odwrotność ułamka $\frac{a}{b}$ to $\frac{b}{a}$ — zamieniamy licznik z mianownikiem.

Przykład

$$\frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$$

Na co uważać

Odwracamy tylko dzielnik (drugi ułamek), a nie dzielną.

Kolejność działań

Najpierw nawiasy, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie.

Przykład

$$2+3\cdot2^2=2+3\cdot4=2+12=14$$

Nawiasy

Nawiasy zmieniają kolejność: $(2+3)^2=5^2=25$.

Na co uważać

Potęgę obliczamy przed mnożeniem: w $3\cdot2^2$ najpierw $2^2=4$.

Reguła znaków

Iloczyn i iloraz liczb o tych samych znakach są dodatnie, a o różnych znakach — ujemne.

Przykłady mnożenia

$$(-3)\cdot(-4)=12,\qquad (-3)\cdot4=-12$$

Przykłady dzielenia

$$(-12):(-3)=4,\qquad 12:(-3)=-4$$

Zero

Iloczyn z zerem jest zerem, a przez zero nie dzielimy.

Kolejność działań

Stosujemy tę samą kolejność co dla liczb naturalnych: nawiasy, potęgi, mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.

Przykład

$$2{,}5+0{,}5\cdot4=2{,}5+2=4{,}5$$

Nawiasy

Działania w nawiasach wykonujemy najpierw: $(1{,}2+0{,}8)\cdot3=2\cdot3=6$.

Na co uważać

Pilnuj przecinka i kolejności — mnożenie wykonujemy przed dodawaniem.

Kolejność działań

Nawiasy, potem mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie — także dla ułamków zwykłych.

Wspólny mianownik

Do dodawania i odejmowania sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.

Przykład

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Skracanie

Wynik przedstawiamy w postaci nieskracalnej.

Cztery działania

Pisemnie wykonujemy dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, podpisując liczby zgodnie z pozycjami cyfr.

Mnożenie pisemne

Mnożymy przez kolejne cyfry drugiego czynnika i sumujemy odpowiednio przesunięte wyniki częściowe.

Dzielenie pisemne

Dzielimy od najwyższego rzędu, zapisując kolejne cyfry ilorazu oraz reszty.

Sprawdzenie

Dzielenie sprawdzamy mnożeniem: iloraz razy dzielnik plus reszta daje dzielną.

Reguła

Aby podzielić przez ułamek dziesiętny, przesuwamy przecinek w dzielniku tak, by stał się liczbą całkowitą, i o tyle samo miejsc w dzielnej.

Przykład

$$4{,}5:0{,}5=45:5=9$$

Dzielenie przez 10, 100

Dzieląc przez $10$, przesuwamy przecinek o jedno miejsce w lewo: $3{,}5:10=0{,}35$.

Na co uważać

Przecinek przesuwamy o tyle samo miejsc w obu liczbach.

Reguła

Mnożymy jak liczby naturalne (pomijając przecinki), a w wyniku odliczamy tyle miejsc po przecinku, ile mają łącznie oba czynniki.

Przykład

$$0{,}3\cdot0{,}2=0{,}06$$ — razem dwa miejsca po przecinku.

Mnożenie przez 10, 100

Mnożąc przez $10$, przesuwamy przecinek o jedno miejsce w prawo: $2{,}5\cdot10=25$.

Na co uważać

Policz miejsca po przecinku w obu czynnikach i tyle odlicz w wyniku.

Zapis potęgi

$a^n$ to iloczyn $n$ jednakowych czynników $a$. Liczbę $a$ nazywamy podstawą, a $n$ wykładnikiem.

Przykłady

$$3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81,\qquad 10^3=1000$$

Potęgi dziesiątki

$10^n$ to jedynka z $n$ zerami: $10^2=100$, $10^4=10000$.

Kwadrat i sześcian

$a^2$ nazywamy kwadratem, a $a^3$ sześcianem liczby.

Po co szacujemy

Szacowanie daje przybliżony wynik, którym sprawdzamy sensowność dokładnych obliczeń.

Zaokrąglanie składników

Zaokrąglamy liczby do wygodnych wartości, np. $198+403\approx200+400=600$.

Przykład

$$49\cdot21\approx50\cdot20=1000$$

Zastosowanie

Gdy dokładny wynik mocno różni się od oszacowania, warto sprawdzić rachunki.

Co to znaczy

Ułamek liczby to jej część. Aby obliczyć $\frac{a}{b}$ z liczby, dzielimy ją przez $b$ i mnożymy przez $a$.

Przykład

$$\frac{2}{3}\ \text{z}\ 12 = 12:3\cdot2 = 8$$

Ułamek jako mnożenie

Obliczenie ułamka liczby to mnożenie: $\frac{2}{3}\cdot12=8$.

Zastosowanie

Tak liczymy część kwoty, długości czy liczby przedmiotów.

Metoda

Ułamek zwykły zamieniamy na dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik.

Przykłady

$$\frac{1}{2}=0{,}5,\qquad \frac{3}{4}=0{,}75,\qquad \frac{1}{5}=0{,}2$$

Rozszerzanie do 10, 100

Czasem wygodnie rozszerzyć ułamek do mianownika $10$ lub $100$: $\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0{,}75$.

Rozwinięcia okresowe

Niektóre ułamki dają rozwinięcie nieskończone okresowe, np. $\frac{1}{3}=0{,}333\ldots$

Czym jest wyrażenie algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne zawiera liczby, litery (zmienne) i znaki działań, na przykład $2x+3$.

Zapisywanie treści symbolami

Słowa zamieniamy na symbole: „o $3$ więcej niż $x$" to $x+3$, a „dwa razy $x$" to $2x$.

Przykłady

Suma liczb $a$ i $b$: $a+b$. Iloczyn: $a\cdot b$. Liczba o $5$ mniejsza od $x$: $x-5$.

Wartość wyrażenia

Podstawiając liczby za litery, obliczamy wartość: dla $x=4$ wyrażenie $2x+3$ ma wartość $11$.

Czym jest procent

Procent to setna część całości: $1\%=\frac{1}{100}=0{,}01$.

Najważniejsze wartości

$50\%$ to połowa, $25\%$ to jedna czwarta, a $100\%$ to cała całość.

Procent liczby

Aby obliczyć $p\%$ z liczby, mnożymy ją przez $\frac{p}{100}$. Np. $20\%$ z $50$ to $50\cdot0{,}2=10$.

Zastosowanie

Procenty spotykamy w rabatach, podwyżkach i oprocentowaniu.

Procent na ułamek

Procent zapisujemy jako ułamek o mianowniku $100$: $30\%=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}$.

Ułamek na procent

Ułamek zamieniamy na procent, mnożąc przez $100\%$: $\frac{1}{4}=25\%$.

Procent na ułamek dziesiętny

Dzielimy przez $100$: $7\%=0{,}07$.

Przykłady

$$50\%=\frac{1}{2},\qquad 0{,}2=20\%$$

Metoda

Aby obliczyć, jakim procentem liczby $b$ jest liczba $a$, dzielimy $a$ przez $b$ i mnożymy przez $100\%$.

Wzór

$$\frac{a}{b}\cdot100\%$$

Przykład

Jakim procentem liczby $50$ jest $10$? $\frac{10}{50}\cdot100\%=20\%$.

Na co uważać

W mianowniku stoi całość — liczba, do której odnosimy porównanie.

Procent kwoty

Rabat lub podatek to procent kwoty: $20\%$ z $80$ zł to $16$ zł.

Podwyżka

Cena po podwyżce o $p\%$ to cena powiększona o $p\%$ jej wartości: $100$ zł $+10\%=110$ zł.

Obniżka

Cena po obniżce o $p\%$ to cena pomniejszona o $p\%$: $100$ zł $-20\%=80$ zł.

Zastosowanie

Tak liczymy ceny w sklepach oraz oprocentowanie lokat i kredytów.

Liczby całkowite

To liczby $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$ — dodatnie, ujemne oraz zero.

Dodawanie i odejmowanie

Dodanie liczby ujemnej to odejmowanie: $5+(-3)=2$. Odjęcie liczby ujemnej to dodawanie: $5-(-3)=8$.

Mnożenie i dzielenie

Wynik o zgodnych znakach jest dodatni, o różnych — ujemny: $(-2)\cdot(-3)=6$, a $(-2)\cdot3=-6$.

Wartość bezwzględna

$|-4|=4$ — to odległość liczby od zera na osi liczbowej.

Kolejność

Najpierw nawiasy, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.

Przykład

$$10-2\cdot3+4=10-6+4=8$$

Z potęgami

$2+3^2=2+9=11$ — potęgę liczymy przed dodawaniem.

Nawiasy

Nawiasy zmieniają kolejność: $(10-2)\cdot3=24$.

Iloczyn potęg

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ — przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.

Iloraz potęg

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ dla $a\neq0$ — odejmujemy wykładniki.

Potęga potęgi

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ — wykładniki mnożymy.

Przykłady

$$2^3\cdot2^2=2^5=32,\qquad (3^2)^2=3^4=81$$

Wyrazy podobne

Wyrazy podobne mają tę samą część literową, np. $3x$ i $5x$. Można je dodawać: $3x+5x=8x$.

Redukcja

Upraszczanie to redukcja wyrazów podobnych: $2a+3a-a=4a$.

Opuszczanie nawiasów

$2(x+3)=2x+6$. Przed znakiem minus zmieniamy znaki: $-(x-2)=-x+2$.

Przykład

$$4x+2(x-1)=4x+2x-2=6x-2$$

Co to jest

Wartość liczbowa wyrażenia to liczba otrzymana po podstawieniu konkretnych liczb za litery.

Przykład

Dla $x=3$ wyrażenie $2x+1$ ma wartość $2\cdot3+1=7$.

Więcej zmiennych

Dla $a=2$ i $b=5$ wyrażenie $a+b$ ma wartość $7$, a $a\cdot b$ wartość $10$.

Kolejność

Po podstawieniu zachowujemy kolejność działań: dla $x=4$ mamy $x^2-1=16-1=15$.

Czym jest równanie

Równanie to równość zawierająca niewiadomą, na przykład $x+3=7$.

Rozwiązanie

Rozwiązać równanie to znaleźć wartość niewiadomej spełniającą równość. Dla $x+3=7$ jest to $x=4$.

Metoda

Wykonujemy te same działania po obu stronach: od $x+3=7$ odejmujemy $3$ i otrzymujemy $x=4$.

Sprawdzenie

Podstawiamy wynik: $4+3=7$ — równość jest prawdziwa.

Dodawanie i odejmowanie

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i dodajemy (odejmujemy) liczniki: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$.

Mnożenie

Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik: $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$.

Dzielenie

Dzielenie to mnożenie przez odwrotność: $\frac{1}{2}:\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot4=2$.

Skracanie

Wynik przedstawiamy w postaci nieskracalnej.

Budowa

Graniastosłup ma dwie przystające podstawy oraz ściany boczne, które w graniastosłupie prostym są prostokątami.

Objętość

$$V=P_p\cdot H$$ pole podstawy razy wysokość.

Pole powierzchni

$$P_c=2P_p+P_b$$ gdzie $P_b$ to pole powierzchni bocznej.

Przykład: sześcian

Dla sześcianu o krawędzi $a$: $V=a^3$ oraz $P_c=6a^2$.

Prostokąt i kwadrat

Pole prostokąta o bokach $a$ i $b$: $a\cdot b$. Pole kwadratu o boku $a$: $a^2$.

Trójkąt

$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$ podstawa razy wysokość podzielone przez dwa.

Równoległobok i romb

Pole równoległoboku: $a\cdot h$. Pole rombu: $\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2$ (połowa iloczynu przekątnych).

Trapez

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$

Jak rozwiązywać

Niewiadomą oznaczamy literą, np. $x$, i zapisujemy treść zadania równaniem.

Przykład

„Liczba powiększona o $5$ daje $12$": $x+5=12$, więc $x=7$.

Kolejne kroki

1. Wprowadź niewiadomą. 2. Ułóż równanie. 3. Rozwiąż je. 4. Sprawdź i zapisz odpowiedź.

Sprawdzenie

Podstawiamy wynik do treści zadania, aby upewnić się, że pasuje.

Jednomian

Jednomian to iloczyn liczby i potęg zmiennych, np. $3x$, $-2ab$, $5x^2$. Liczbę nazywamy współczynnikiem.

Suma algebraiczna

Suma algebraiczna to suma jednomianów, np. $2x+3y-1$. Jednomiany nazywamy jej wyrazami.

Wyrazy podobne

Wyrazy podobne mają tę samą część literową, np. $2x$ i $5x$ — można je redukować.

Stopień jednomianu

To suma wykładników zmiennych: $3x^2y$ ma stopień $3$.

Dodawanie

Opuszczamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne: $(2x+3)+(x-1)=3x+2$.

Odejmowanie

Przed nawiasem z minusem zmieniamy znaki wszystkich wyrazów: $(2x+3)-(x-1)=2x+3-x+1=x+4$.

Przykład

$$(3a-2b)-(a-2b)=3a-2b-a+2b=2a$$

Na co uważać

Najczęstszy błąd to niezmienienie znaku wyrazu po minusie.

Prawo rozdzielności

Jednomian mnożymy przez każdy wyraz sumy: $a(b+c)=ab+ac$.

Przykład

$$2x(x+3)=2x\cdot x+2x\cdot3=2x^2+6x$$

Znaki

Uważamy na znaki: $-3(x-2)=-3x+6$.

Wyłączanie przed nawias

Operacja odwrotna: $2x^2+6x=2x(x+3)$ — wyłączamy wspólny czynnik.

Iloczyn i iloraz

$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ oraz $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ dla $a,b\ge0$ i $b\neq0$.

Wyłączanie czynnika

$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}$.

Kwadrat pierwiastka

$(\sqrt{a})^2=a$ dla $a\ge0$.

Na co uważać

Pierwiastka sumy nie rozkładamy: $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Liczby wymierne

To liczby, które można zapisać jako ułamek $\frac{p}{q}$ liczb całkowitych ($q\neq0$) — dodatnie, ujemne oraz zero.

Reguła znaków

Iloczyn i iloraz o zgodnych znakach są dodatnie, o różnych — ujemne: $\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot(-4)=2$.

Dodawanie

Sprowadzamy do wspólnego mianownika i uwzględniamy znaki: $-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}$.

Wartość bezwzględna

$\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}$.

Rodzaje kątów

Ostry (mniej niż $90^\circ$), prosty ($90^\circ$), rozwarty (od $90^\circ$ do $180^\circ$), półpełny ($180^\circ$), pełny ($360^\circ$).

Kąty przyległe i wierzchołkowe

Kąty przyległe sumują się do $180^\circ$, a wierzchołkowe są równe.

Przy prostych równoległych

Kąty odpowiadające oraz naprzemianległe są równe.

Suma kątów

W trójkącie kąty sumują się do $180^\circ$, a w czworokącie do $360^\circ$.

Definicja

Pierwiastek kwadratowy z liczby $a\ge0$ to taka liczba nieujemna, której kwadrat równa się $a$. Zapis $\sqrt{a}=b$ oznacza $b^2=a$ oraz $b\ge0$.

Przykłady

$\sqrt{9}=3$, $\sqrt{25}=5$, $\sqrt{0}=0$.

Własności

$(\sqrt{a})^2=a$ oraz $\sqrt{a^2}=|a|$.

Na co uważać

W zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej.

Co to jest

Notacja wykładnicza zapisuje liczbę jako iloczyn liczby z przedziału od $1$ do $10$ oraz potęgi dziesiątki: $a\cdot10^n$.

Przykłady

$3000=3\cdot10^3$, a $0{,}002=2\cdot10^{-3}$.

Zastosowanie

Jest wygodna dla bardzo dużych i bardzo małych liczb, np. w fizyce i astronomii.

Na co uważać

Współczynnik $a$ musi spełniać warunek $1\le a<10$.

Reguła

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ — podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki mnożymy.

Przykład

$(2^3)^2=2^6=64$.

Powiązane wzory

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ oraz $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

Na co uważać

Nie myl mnożenia wykładników (potęga potęgi) z ich dodawaniem (iloczyn potęg).

Wyrazy podobne

Wyrazy podobne mają tę samą część literową, np. $2x$ i $5x$.

Redukcja

Dodajemy współczynniki wyrazów podobnych, a część literową zostawiamy: $2x+5x=7x$.

Przykład

$3a+2b-a+4b=2a+6b$.

Na co uważać

Wyrazów o różnej części literowej ($x$ i $x^2$) nie łączymy.

Reguła

$ab+ac=a(b+c)$ — wspólny czynnik wynosimy przed nawias.

Przykłady

$6x+9=3(2x+3)$, a $2x^2+4x=2x(x+2)$.

Zastosowanie

Upraszcza wyrażenia i pomaga rozwiązywać równania.

Sprawdzenie

Wymnażamy nawias z powrotem, aby potwierdzić poprawność rozkładu.

Co to znaczy

Dwa równania są równoważne, gdy mają dokładnie ten sam zbiór rozwiązań.

Przekształcenia

Równanie pozostaje równoważne, gdy do obu stron dodamy tę samą liczbę lub obie strony pomnożymy przez tę samą liczbę różną od zera.

Przykład

$x+3=7$ jest równoważne równaniu $x=4$.

Na co uważać

Pomnożenie obu stron przez zero niszczy równoważność.

Równanie sprzeczne

Nie ma rozwiązań, bo prowadzi do fałszywej równości, np. $0\cdot x=5$.

Równanie tożsamościowe

Spełnia je każda liczba, bo sprowadza się do prawdziwej równości, np. $0\cdot x=0$ lub $2x=2x$.

Przykład

$x+1=x+2$ jest sprzeczne — po redukcji otrzymujemy fałsz $1=2$.

Jak rozpoznać

Po redukcji: fałszywa równość oznacza równanie sprzeczne, prawdziwa — tożsamościowe.

Metoda

Szukaną wielkość oznaczamy literą, zapisujemy warunki zadania równaniem, rozwiązujemy je i sprawdzamy wynik.

Przykład

„Liczba powiększona o swoją połowę daje $9$": $x+\frac{1}{2}x=9$, czyli $\frac{3}{2}x=9$, więc $x=6$.

Kroki

1. Wprowadź niewiadomą. 2. Ułóż równanie z treści. 3. Rozwiąż. 4. Sprawdź i zapisz odpowiedź.

Na co uważać

Odpowiedź musi mieć sens — liczba osób czy przedmiotów jest liczbą naturalną.

Definicja

Średnia arytmetyczna to suma liczb podzielona przez ich liczbę: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$.

Przykład

Średnia liczb $2,4,6$ to $\frac{2+4+6}{3}=4$.

Suma ze średniej

Jeśli średnia $n$ liczb wynosi $\bar{x}$, to ich suma równa się $n\cdot\bar{x}$.

Zastosowanie

Średnią liczymy np. dla ocen, temperatur czy wyników pomiarów.

Źródła danych

Dane odczytujemy z tabel oraz diagramów słupkowych, kołowych i wykresów liniowych.

Diagram kołowy

Cały okrąg odpowiada $100\%$ (czyli $360^\circ$); część danych to odpowiedni wycinek.

Przykład

Jeśli jeden słupek pokazuje $12$, a drugi $8$, to łącznie mamy $20$.

Na co uważać

Zwracaj uwagę na jednostki i skalę osi — może zaczynać się od wartości innej niż zero.

Podział

Do czworokątów należą m.in. kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez. Każdy ma cztery boki i cztery kąty.

Suma kątów

Suma miar kątów wewnętrznych każdego czworokąta wynosi $360^\circ$.

Własności

W równoległoboku przeciwległe boki są równe i równoległe, a przekątne dzielą się na połowy. W prostokącie przekątne mają równą długość.

Trapez

Trapez ma dokładnie jedną parę boków równoległych, zwanych podstawami.

Rodzaje

Dane przedstawiamy na diagramach słupkowych, kołowych oraz wykresach liniowych.

Diagram słupkowy

Wysokość słupka odpowiada wartości — ułatwia porównywanie kategorii.

Diagram kołowy

Cały okrąg to $100\%$ (czyli $360^\circ$); wielkość wycinka odpowiada udziałowi danej części.

Wykres liniowy

Najlepiej pokazuje zmiany wielkości w czasie.

Prostokąt i kwadrat

Pole prostokąta o bokach $a$ i $b$: $a\cdot b$. Pole kwadratu o boku $a$: $a^2$.

Trójkąt

$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$ gdzie $a$ to podstawa, a $h$ wysokość.

Równoległobok i romb

Pole równoległoboku: $a\cdot h$. Pole rombu: $\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2$.

Trapez

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$ gdzie $a,b$ to podstawy.

Podział ze względu na boki

Równoboczny (trzy równe boki), równoramienny (dwa równe boki) i różnoboczny.

Podział ze względu na kąty

Ostrokątny, prostokątny (jeden kąt $90^\circ$) i rozwartokątny.

Suma kątów

Kąty wewnętrzne trójkąta sumują się do $180^\circ$.

Pole

$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$

Twierdzenie

W trójkącie prostokątnym $a^2+b^2=c^2$, gdzie $c$ to przeciwprostokątna.

Wyznaczanie boku

Znając dwa boki, obliczamy trzeci: $c=\sqrt{a^2+b^2}$ albo $a=\sqrt{c^2-b^2}$.

Przykład

Dla $a=6$ i $b=8$: $c=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.

Zastosowania

Przekątna prostokąta, wysokość, odległości — wszędzie, gdzie pojawia się kąt prosty.

Definicja

Liczba wymierna to liczba, którą można zapisać jako ułamek $\frac{p}{q}$ liczb całkowitych, gdzie $q\neq0$.

Przykłady

$\frac{1}{2}$, $-3$, $0{,}25$ oraz $\frac{7}{3}$ — wszystkie są wymierne.

Rozwinięcie dziesiętne

Liczby wymierne mają rozwinięcie skończone lub nieskończone okresowe.

Działania

Działania wykonujemy jak na ułamkach, pamiętając o regule znaków.

Oś liczbowa

To prosta z punktem $0$, jednostką i zwrotem. Liczby dodatnie leżą na prawo, a ujemne na lewo od zera.

Porównywanie

Liczba położona bardziej na prawo jest większa: $-2<1$ oraz $-5<-3$.

Wartość bezwzględna

$|a|$ to odległość liczby $a$ od zera, np. $|-4|=4$.

Liczby przeciwne

Liczby przeciwne, np. $3$ i $-3$, leżą symetrycznie względem zera.

Przystawanie

Trójkąty przystające mają równe odpowiednie boki i kąty — są identyczne co do kształtu i wielkości.

Trzy cechy

bok-bok-bok (bbb), bok-kąt-bok (bkb), kąt-bok-kąt (kbk).

Zastosowanie

Wystarczy sprawdzić jeden z trzech zestawów danych, aby wykazać przystawanie w dowodzie.

Oznaczenie

Przystawanie zapisujemy symbolem $\cong$.

Zasada

W każdym trójkącie suma długości dwóch boków jest większa od trzeciego boku.

Zapis

Dla boków $a,b,c$ zachodzi $a+b>c$, $a+c>b$ oraz $b+c>a$.

Kiedy trójkąt istnieje

Trójkąt o danych bokach istnieje tylko wtedy, gdy każdy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych.

Przykład

Z odcinków $2,3,10$ nie zbudujemy trójkąta, bo $2+3<10$.

Co to znaczy

Figury przystające mają ten sam kształt i te same wymiary — można je nałożyć na siebie tak, by się pokryły.

Własności

Odpowiednie boki i kąty figur przystających są równe.

Przystawanie a podobieństwo

Przystawanie to szczególny przypadek podobieństwa — w skali $1$.

Przykład

Dwa kwadraty o boku $5$ są przystające.

Rodzaje brył

Wyróżniamy graniastosłupy, ostrosłupy oraz bryły obrotowe (walec, stożek, kula).

Elementy

Bryły mają ściany, krawędzie i wierzchołki. Sześcian ma $6$ ścian, $12$ krawędzi i $8$ wierzchołków.

Objętość i pole

Objętość mierzymy w jednostkach sześciennych (np. $cm^3$), a pole powierzchni w kwadratowych (np. $cm^2$).

Siatka

Siatka to płaska figura, z której po zagięciu powstaje bryła.

Budowa

Graniastosłup ma dwie przystające podstawy połączone ścianami bocznymi. W graniastosłupie prostym ściany boczne to prostokąty.

Rodzaje

Prawidłowy — podstawą jest wielokąt foremny; prostopadłościan i sześcian to szczególne przypadki.

Objętość

$V=P_p\cdot H$, gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $H$ wysokość.

Pole powierzchni

$P_c=2P_p+P_b$, gdzie $P_b$ to pole powierzchni bocznej.

Budowa

Ostrosłup ma jedną podstawę i wierzchołek. Ściany boczne to trójkąty.

Rodzaje

Prawidłowy — podstawą jest wielokąt foremny; czworościan to ostrosłup trójkątny.

Objętość

$V=\frac{1}{3}P_p\cdot H$ — trzy razy mniejsza niż graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości.

Pole powierzchni

$P_c=P_p+P_b$.

Wzór

$V=P_p\cdot H$ — pole podstawy razy wysokość.

Sześcian i prostopadłościan

Sześcian: $V=a^3$. Prostopadłościan: $V=a\cdot b\cdot c$.

Przykład

Prostopadłościan $2\times3\times4$ ma objętość $24$.

Jednostki

Objętość podajemy w $cm^3$, $dm^3$, $m^3$; $1\,dm^3=1$ litr.

Wzór

$P=\pi r^2$, gdzie $r$ to promień koła.

Ze średnicy

Jeśli dana jest średnica $d$, to $r=\frac{d}{2}$.

Przykład

Dla $r=5$ pole wynosi $25\pi$.

Liczba pi

$\pi$ to liczba niewymierna, w przybliżeniu $\pi\approx3{,}14$.

Pierwiastek kwadratowy

$\sqrt{a}=b$ oznacza $b^2=a$ dla $a\ge0$ oraz $b\ge0$.

Pierwiastek sześcienny

$\sqrt[3]{a}=b$ oznacza $b^3=a$; istnieje także dla liczb ujemnych.

Własności

$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ oraz $\sqrt{a^2}=|a|$.

Przykłady

$\sqrt{49}=7$, $\sqrt[3]{27}=3$, $\sqrt[3]{-8}=-2$.

Wielokąty

Trójkąty, czworokąty i wielokąty foremne to figury ograniczone odcinkami.

Koło i okrąg

Okrąg to linia, a koło to okrąg wraz z wnętrzem.

Suma kątów

Trójkąt $180^\circ$, czworokąt $360^\circ$, a $n$-kąt $(n-2)\cdot180^\circ$.

Pola

Prostokąt $a\cdot b$, trójkąt $\frac{1}{2}ah$, koło $\pi r^2$.

Oś symetrii

To prosta, względem której figura odbija się na siebie. Kwadrat ma $4$ osie symetrii, a prostokąt $2$.

Środek symetrii

To punkt, względem którego figura jest symetryczna — obrót o $180^\circ$ nakłada ją na siebie.

Przykłady

Koło ma nieskończenie wiele osi symetrii oraz środek symetrii w środku.

Litery

Litera A ma oś symetrii, a litera S ma środek symetrii.

Rodzaje

Diagramy słupkowe, kołowe i wykresy liniowe służą do przedstawiania danych.

Diagram kołowy

Cały okrąg to $100\%$ (czyli $360^\circ$); wycinek odpowiada udziałowi danej części.

Odczyt

Z diagramów odczytujemy wartości i porównujemy kategorie.

Na co uważać

Zwracaj uwagę na skalę osi — może nie zaczynać się od zera.

Wzory

Długość okręgu $L=2\pi r$, a pole koła $P=\pi r^2$.

Ze średnicy

$L=\pi d$, ponieważ $d=2r$.

Przykład

Dla $r=4$: $L=8\pi$ oraz $P=16\pi$.

Odwrotnie

Znając obwód, wyznaczymy promień: z $L=2\pi r$ mamy $r=\frac{L}{2\pi}$.

Wzór

$P_c=2P_p+P_b$.

Elementy

$P_p$ to pole podstawy (są dwie), $P_b$ to pole powierzchni bocznej.

Powierzchnia boczna

Dla graniastosłupa prostego $P_b=Ob_p\cdot H$.

Przykład

Sześcian o krawędzi $a$: $P_c=6a^2$.

Wzór

$P_c=P_p+P_b$.

Elementy

$P_p$ pole podstawy (jedno), $P_b$ pole powierzchni bocznej złożonej ze ścian trójkątnych.

Ściana boczna

Pole trójkąta bocznego liczymy z wysokości ściany bocznej.

Przykład

Ostrosłup ma jedną podstawę i trójkątne ściany schodzące się w wierzchołku.

Definicja

$a^n$ to iloczyn $n$ czynników równych $a$.

Prawa działań

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$.

Wykładnik zerowy

$a^0=1$ dla $a\neq0$.

Notacja wykładnicza

Duże liczby zapisujemy jako $c\cdot10^k$.

Prawdopodobieństwo

$P(A)=\frac{\text{liczba wyników sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich wyników}}$.

Zakres

$0\le P(A)\le1$; zdarzenie pewne ma $1$, niemożliwe $0$.

Przykład

Rzut kostką: $P(\text{szóstka})=\frac16$.

Reguła mnożenia

Liczbę wyników w etapach mnożymy.

Symetralna odcinka

Prosta prostopadła do odcinka przechodząca przez jego środek; jej punkty są równo oddalone od końców odcinka.

Dwusieczna kąta

Półprosta dzieląca kąt na dwa równe; jej punkty są równo oddalone od ramion kąta.

Zastosowanie

Konstrukcje geometryczne, wyznaczanie środka okręgu opisanego i wpisanego.

Interpretacja danych

Te same dane można przedstawić tak, by sugerowały różne wnioski.

Pułapki wykresów

Ucięta oś, nierówne skale lub dobór okresu mogą wprowadzać w błąd.

Krytyczne czytanie

Warto sprawdzać źródło danych, wielkość próby i sposób prezentacji.

Definicja

Wielkości są wprost proporcjonalne, gdy ich iloraz jest stały: $y=ax$.

Współczynnik

$a$ to współczynnik proporcjonalności.

Wykres

Prosta przechodząca przez początek układu.

Przykład

Droga przy stałej prędkości jest wprost proporcjonalna do czasu.

Definicja

Wielokąt foremny ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe.

Kąt wewnętrzny

$\alpha=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$.

Przykłady

Trójkąt równoboczny ($60^\circ$), kwadrat ($90^\circ$), sześciokąt foremny ($120^\circ$).

Okrąg

Każdy wielokąt foremny można wpisać w okrąg i opisać na okręgu.

Zbieranie

Dane gromadzimy przez obserwacje, pomiary lub ankiety.

Porządkowanie

Zestawiamy je w tabelach częstości i przedstawiamy na diagramach.

Rodzaje diagramów

Słupkowy, kołowy, liniowy — dobierany do rodzaju danych.

Miary

Z danych wyznaczamy średnią, medianę i dominantę.

Procenty w życiu

Obliczamy podwyżki, obniżki, podatki i odsetki.

Jednostki

Zamieniamy jednostki długości, masy, czasu i pola.

Skala i mapy

Skala wiąże odległość na mapie z odległością rzeczywistą.

Prędkość

$v=\frac{s}{t}$ w zadaniach o ruchu.

Budowa

Twierdzenie ma założenie („jeżeli") i tezę („to").

Dowód

To rozumowanie wyprowadzające tezę z założeń.

Twierdzenie odwrotne

Powstaje przez zamianę założenia z tezą — nie zawsze prawdziwe.

Kontrprzykład

Jeden przykład wystarczy, aby obalić zdanie ogólne.

Analiza

Przeczytaj treść, wypisz dane i szukane, wykonaj rysunek.

Plan

Dobierz metodę: równanie, wzór, proporcję.

Wykonanie

Prowadź rachunki starannie, pilnuj jednostek.

Sprawdzenie

Oceń, czy wynik ma sens i odpowiedz pełnym zdaniem.

Cechy przystawania

bok-bok-bok (BBB), bok-kąt-bok (BKB), kąt-bok-kąt (KBK).

Wniosek

Z przystawania wynika równość odpowiednich boków i kątów.

Zastosowanie

Dowodzimy równości odcinków lub kątów, wskazując przystające trójkąty.

Objętości

Graniastosłup $V=P_p H$; ostrosłup $V=\frac{1}{3}P_p H$.

Pola

Pole powierzchni to suma pól z siatki bryły.

Strategia

Wypisz dane, rozpoznaj bryłę, dobierz wzór, pilnuj jednostek.

Przykład

Sześcian o krawędzi $a$: $V=a^3$, $P_c=6a^2$.

Graniastosłup

Dwie równoległe podstawy i ściany boczne będące prostokątami; $V=P_p H$.

Ostrosłup

Jedna podstawa i ściany boczne trójkątne schodzące się w wierzchołku; $V=\frac{1}{3}P_p H$.

Pola

$P_c=2P_p+P_b$ (graniastosłup), $P_c=P_p+P_b$ (ostrosłup).

Kąty przyległe i wierzchołkowe

Przyległe sumują się do $180^\circ$, wierzchołkowe są równe.

Proste równoległe

Kąty naprzemianległe i odpowiadające są równe.

Wielokąty

Suma kątów wewnętrznych $n$-kąta to $(n-2)\cdot180^\circ$.

Strategia

Zaznacz znane kąty i korzystaj z zależności między nimi.