Prawo rozpadu: $N=N_0\left(\tfrac12\right)^{t/T_{1/2}}$; po każdym $T_{1/2}$ zostaje połowa jąder.
Aktywność $A=\lambda N$ maleje tak samo jak liczba jąder; to samo dotyczy masy i mocy cieplnej próbki.
Deficyt masy: $\Delta m=Zm_p+(A-Z)m_n-m_{jadra}$; energia wiązania $E=\Delta m\,c^2$, przy czym $1\ \text{u}\cdot c^2=931{,}5$ MeV.
W rozpadzie nieruchomego jądra pędy produktów są równe co do wartości, więc $\dfrac{E_{k1}}{E_{k2}}=\dfrac{m_2}{m_1}$ — lżejsza cząstka unosi większość energii.
∑ Najważniejsze wzory
$N=N_0\left(\tfrac12\right)^{t/T_{1/2}}$
$\Delta E=\Delta m\,c^2$
$1\ \text{u}\cdot c^2=931{,}5$ MeV
$A=\lambda N$
$\lambda=\dfrac{\ln2}{T_{1/2}}$
⚙️ Algorytm krok po kroku
Zapisz równanie reakcji i zbilansuj $A$ oraz $Z$.
Do prawa rozpadu policz, ile $T_{1/2}$ mieści się w podanym czasie.
Do energii: policz deficyt masy w u, a potem pomnóż przez $931{,}5\ \tfrac{\text{MeV}}{\text{u}}$.
Jeśli wykres jest w skali logarytmicznej, skorzystaj z tego, że $\log$ maleje liniowo.
Sprawdź sens: energia wiązania na nukleon to około $7$–$9$ MeV.
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ w $\beta^-$ maleje $A$
✓ $A$ się nie zmienia
neutron zmienia się w proton
✗ masa jądra = suma mas nukleonów
✓ jest mniejsza o deficyt
to źródło energii wiązania
✗ po dwóch $T_{1/2}$ nic nie zostaje
✓ zostaje $\tfrac14$
rozpad jest wykładniczy
✗ cięższy produkt unosi więcej energii
✓ lżejszy
$E_k\propto\tfrac1m$ przy równych pędach
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 11 z matury 2026
Izotop neonu $^{23}_{10}$Ne ulega rozpadowi $\beta^-$. Uzupełnij schemat rozpadu, a następnie — korzystając z wykresu zależności $\log_{10}m$ od czasu, na którym prosta maleje od punktu $(0;\,1{,}4)$ do punktu $(3{,}3;\,-0{,}2)$ (czas w minutach) — oblicz czas połowicznego rozpadu jąder $^{23}$Ne.
Bilans: $A=23$ bez zmian, $Z$ rośnie o $1$, więc powstaje $^{23}_{11}$Na (sód).
Z wykresu: $\log m$ maleje o $1{,}6$ w czasie $3{,}3$ min, czyli masa maleje $10^{1{,}6}\approx39{,}8$ razy.
$T=\dfrac{3{,}3}{5{,}31}\approx0{,}62$ min $\approx37$ s.
Odpowiedź: $^{23}_{10}\text{Ne}\to{}^{23}_{11}\text{Na}+\beta^-+\bar\nu$; $T_{1/2}\approx0{,}62$ min
Jak CKE przyznaje punkty:
1 pkt — poprawne liczby $A$ i $Z$ produktu,
2 pkt — identyfikacja pierwiastka (sód),
3 pkt — odczyt z wykresu i przeliczenie na krotność spadku masy,
4 pkt — obliczenie $T_{1/2}\approx0{,}6$ min.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Jądro $^{238}_{94}$Pu rozpada się na cząstkę $\alpha$ i jądro $X$, przy czym $\dfrac{m_X}{m_\alpha}\approx58{,}5$. Zapisz równanie rozpadu i oblicz iloraz $\dfrac{E_{kin\,X}}{E_{kin\,\alpha}}$.
Detektor zliczył łączną liczbę cząstek emitowanych przez próbkę: po $40$ min — $1275$, a po długim czasie — $2000$ (wszystkie jądra się rozpadły). Oblicz czas połowicznego rozpadu.
Po $40$ min rozpadło się $1275$ z $2000$ jąder, więc pozostało $725$, czyli $\dfrac{725}{2000}=0{,}3625$ początkowej liczby.
Masa jądra $^{4}_{2}$He wynosi $4{,}00150$ u, masa protonu $1{,}00728$ u, neutronu $1{,}00866$ u. Oblicz energię wiązania tego jądra oraz energię wiązania przypadającą na jeden nukleon ($1\ \text{u}\cdot c^2=931{,}5$ MeV).
$\Delta m=2\cdot1{,}00728+2\cdot1{,}00866-4{,}00150=0{,}03038$ u.
$E=0{,}03038\cdot931{,}5\approx28{,}30$ MeV.
Na nukleon: $\dfrac{28{,}30}{4}\approx7{,}07$ MeV.
Izotop $^{18}_{9}$F ulega rozpadowi $\beta^+$. Masy jąder: $m_F=17{,}99600$ u, $m_X=17{,}99477$ u, masa cząstki $\beta$ to $0{,}00055$ u. Zapisz równanie rozpadu i oblicz łączną energię kinetyczną produktów ($1\ \text{u}\cdot c^2=931{,}5$ MeV, jądro fluoru spoczywało).
$^{18}_{9}\text{F}\to{}^{18}_{8}\text{O}+\beta^++\nu$ — liczba masowa bez zmian, $Z$ maleje o $1$.
$\Delta m=17{,}99600-(17{,}99477+0{,}00055)=0{,}00068$ u.
$E=0{,}00068\cdot931{,}5\approx0{,}633$ MeV.
Cała ta energia przechodzi w energię kinetyczną produktów (i neutrina).
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
