Krawędzie prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka mają długości będące kolejnymi liczbami nieparzystymi. Suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi \(60\). Oblicz objętość i pole powierzchni tej bryły.

Odpowiedź:      

\(V=105\) oraz \(P_{c}=142\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu. Trzy kolejne liczby nieparzyste możemy zapisać jako: I krawędź: \(2n+1\) II krawędź: \(2n+3\) III krawędź: \(2n+5\) W prostopadłościanie każda z krawędzi występuje czterokrotnie, a skoro suma długości tych krawędzi jest równa \(60\), to: $$4\cdot(2n+1+2n+3+2n+5)=60 \           ,\ 4\cdot(6n+9)=60 \           ,\ 24n+36=60 \           ,\ 24n=24 \           ,\ n=1$$ Otrzymany wynik posłuży nam teraz do wyznaczenia konkretnych długości krawędzi prostopadłościanu. Podstawiając \(n=1\) do zapisanych wcześniej wyrażeń, otrzymamy: To oznacza, że: I krawędź: \(2\cdot1+1=2+1=3\) II krawędź: \(2\cdot1+3=2+3=5\) III krawędź: \(2\cdot1+5=2+5=7\) Krok 2. Obliczenie objętości prostopadłościanu. Znając długości krawędzi możemy bez problemu obliczyć objętość tej bryły: $$V=abc \           ,\ V=3\cdot5\cdot7 \           ,\ V=105$$ Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostopadłościanu. Musimy jeszcze obliczyć pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu, zatem korzystając ze wzoru na to pole możemy zapisać, że: $$P_{c}=2\cdot(ab+ac+bc) \           ,\ P_{c}=2\cdot(3\cdot5+3\cdot7+5\cdot7) \           ,\ P_{c}=2\cdot(15+21+35) \           ,\ P_{c}=2\cdot71 \           ,\ P_{c}=142$$

Teoria:      
W trakcie opracowania