Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) tego trapezu przecinają się w punkcie \(S\) (zobacz rysunek) tak, że \(\frac{AS}{SC}=\frac{3}{2}\). Pole trójkąta \(ABS\) jest równe \(12\). Oblicz pole trójkąta \(CDS\).

Odpowiedź:      

\(P=\frac{16}{3}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych. Jedną z własności trapezów jest to, że przekątne trapezu dzielą go na trójkąty podobne \(ABS\) oraz \(CDS\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to zawsze możemy do niej dość samodzielnie korzystając z własności kątów wierzchołkowych oraz naprzemianległych (udowodnimy wtedy, że wszystkie kąty trójkątów \(ABS\) oraz \(CDS\) mają jednakowe miary). Z treści zadania wiemy też, że \(\frac{AS}{SC}=\frac{3}{2}\), czyli tym samym skala podobieństwa tych trójkątów jest równa właśnie \(k=\frac{3}{2}\). I tu aby się nie pomylić możemy przyjąć, że trójkąt \(DCS\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(ABS\) jest trójkątem podobnym i to właśnie boki tego trójkąta są \(\frac{3}{2}\) razy większe. Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(CDS\). Z własności trójkątów podobnych wiemy, że trójkąt podobny w skali \(k\) będzie miał \(k^2\) razy większe pole. Możemy więc zapisać, że: $$P_{ABS}=k^2\cdot P_{CDS} \           ,\ 12=\left(\frac{3}{2}\right)^2\cdot P_{CDS} \           ,\ 12=\frac{9}{4}\cdot P_{CDS} \           ,\ P_{CDS}=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania